111 年警專考試甲組專41正期組考古題與詳解

Question 1

等差數列 $4,11,18,\ldots$ 的第 $15$ 項是？ (A) $95$ (B) $102$ (C) $109$ (D) $116$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查等差數列（Arithmetic Progression, AP）的基本定義與通項公式。 在等差數列中，任意相鄰兩項的差值為一定值，稱為公差（記為 $d$）。若已知首項 $a1$ 與公差 $d$，則第 $n$ 項 $an$ 之公式為： $$an = a1 + (n - 1)d$$ 解題方法 1. 求出首項與公差： 觀察題目給定的數列 $4, 11, 18, \ldots$： - 首項 $a1 = 4$ - 公差 $d = 11 - 4 = 7$ （驗算：$18 - 11 = 7$，公差一致） 2. 帶入通項公式求第 $15$ 項： 欲求第 $15$ 項，即 $n = 15$，帶入公式 $an = a1 + (n - 1)d$： $$a{15} = 4 + (15 - 1) 	imes 7$$ $$a{15} = 4 + 14 	imes 7$$ $$a{15} = 4 + 98 = 102$$

Question 2

箱中有六顆球，分別標示 $1,2,3,4,5,6$。抽取流程是：小明先從中抽取一球後放回，小華再從中抽取一球。若兩人抽球時每球被取中的機會均等，則兩人抽中同號球的機率是？ (A) $\frac{1}{6}$ (B) $\frac{1}{12}$ (C) $\frac{1}{18}$ (D) $\frac{1}{36}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查古典機率（Classical Probability）的基本定義與取後放回（Drawing with Replacement）的獨立試驗性質。 1. 古典機率定義：若樣本空間 $S$ 中的每一個基本事件發生機會均等，則事件 $A$ 發生的機率為 $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$，其中 $n(S)$ 為所有可能結果的總數，$n(A)$ 為符合事件 $A$ 的結果數。 2. 取後放回與獨立事件：小明抽球後將球放回箱中，小華抽球時箱內球數與號碼完全相同，故兩人的抽取結果互相獨立，每次抽中任一球的機率皆為 $\frac{1}{6}$。 --- 解題方法 方法一：樣本空間法（標準推導） 1. 計算樣本空間總數 $n(S)$： 小明從 $6$ 顆球中抽出一球，有 $6$ 種可能；球放回後，小華再從 $6$ 顆球中抽出一球，亦有 $6$ 種可能。 依乘法原理，兩人抽球結果的總可能組合數為： $$n(S) = 6 	imes 6 = 36$$ 2. 計算目標事件可能數 $n(A)$： 設目標事件 $A$ 為「兩人抽中同號球」，即點對 $(小明, 小華)$ 的可能組合共有 $6$ 種： $$(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$$ 故 $n(A) = 6$。 3. 計算機率 $P(A)$： $$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$ --- 方法二：條件獨立法（快速觀念推導） 無論小明抽中哪一個號碼（機率為 $1$），因為球有放回，小華抽球時箱中依然有 $6$ 顆球。

Question 3

已知 $\alpha<\beta$，則下列各式的數值，哪一個最大？ (A) $\frac{\alpha+2\beta}{3}$ (B) $\frac{\alpha+3\beta}{4}$ (C) $\frac{\alpha+4\beta}{5}$ (D) $\frac{\alpha+5\beta}{6}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查實數的大小比較與數線分點公式（內分點）的幾何與代數意義。 若 $\alpha < \beta$，在數線上，形如 $\frac{\alpha + k\beta}{k+1}$（其中 $k 0$）的數值代表連接 $\alpha$ 與 $\beta$ 的內分點。當靠近較大數 $\beta$ 的權重比例 $k$ 越大時，該分點在數線上越偏向右側（越靠近 $\beta$），故其數值越大。 --- 解題方法 將各選項表示為一般式 $P(k) = \frac{\alpha + k\beta}{k+1}$（其中 $k 0$），並進行代數拆解： $$P(k) = \frac{\alpha + k\beta}{k+1} = \frac{(\alpha - \beta) + (k+1)\beta}{k+1} = \beta - \frac{\beta - \alpha}{k+1}$$ 已知 $\alpha < \beta$，故 $\beta - \alpha 0$。 當正整數 $k$ 越大時，$k+1$ 隨之增大，導致減項 $\frac{\beta - \alpha}{k+1}$ 變小。 因為從固定值 $\beta$ 中減去的數值越小，結果就越大，所以 $k$ 值越大者，整體數值越大。 比對各選項之 $k$ 值： - (A) $k=2$ - (B) $k=3$ - (C) $k=4$ - (D) $k=5$ 因此 $k=5$ 時，數值最大。 --- 選項分析 將各式化為以 $\alpha$ 為基準的推導式 $\alpha + \frac{k}{k+1}(\beta - \alpha)$（因 $\beta - \alpha 0$）： - (A) $\frac{\alpha+2\beta}{3}$： 可化簡為 $\alpha + \frac{2}{3}(\beta - \alpha)$。表示將線段分成 $3$ 等分，位在距離 $\alpha$ 為 $\frac{2}{3}$ 處，為四個選項中數值最小者。

Question 4

多項式 $2x^9-3x^7+5$ 除以多項式 $2x-2$ 的餘式為？ (A) $5$ (B) $4$ (C) $3$ (D) $2$

Accepted Answer

核心觀念 多項式 $P(x)$ 除以一次式 $ax+b$ 的餘式為常數。若除式的根為 $x=r$，則由餘式定理： $$ P(x)	ext{ 除以 }x-r	ext{ 的餘式}=P(r) $$ 本題除式為 $$ 2x-2=2(x-1) $$ 其根為 $x=1$，因此餘式可由 $P(1)$ 求得。 解題方法 設 $$ P(x)=2x^9-3x^7+5 $$ 除法關係可寫成 $$ P(x)=(2x-2)Q(x)+R $$ 其中 $R$ 為常數餘式。令 $x=1$，因為 $2(1)-2=0$，可得 $$ P(1)=R $$ 計算： $$ \begin{aligned} R&=2(1)^9-3(1)^7+5\ &=2-3+5\ &=4 \end{aligned} $$

Question 5

三次函數 $y=f(x)=3(x-2)^3+2x-5$ 之圖形的對稱中心為？ (A) $(2,-5)$ (B) $(2,-3)$ (C) $(2,-1)$ (D) $(2,1)$

Accepted Answer

核心觀念 三次函數圖形的對稱中心，可由函數的「平移後奇函數形式」判定。 若函數可整理為 $$ y=a(x-h)^3+b(x-h)+k, $$ 其中只含有 $(x-h)$ 的奇次項，再加上常數 $k$，則其圖形的對稱中心為 $$ (h,k). $$ 本題函數為 $$ f(x)=3(x-2)^3+2x-5. $$ 需將 $2x-5$ 也改寫成含有 $(x-2)$ 的形式。 --- 解題方法 令 $$ t=x-2, $$ 則 $x=t+2$。代入原函數： $$ \begin{aligned} f(x) &=3(x-2)^3+2x-5\ &=3t^3+2(t+2)-5\ &=3t^3+2t-1. \end{aligned} $$ 因此函數可寫成 $$ y=3(x-2)^3+2(x-2)-1. $$ 相對於平移後的變數 $t=x-2$，函數為 $$ y=3t^3+2t-1. $$ 其中 $3t^3+2t$ 是奇函數，圖形以原點為對稱中心；再向右平移 $2$、向下平移 $1$，所以原圖形的對稱中心為 $$ (2,-1). $$ 也可直接利用三次函數對稱中心的性質驗證： $$ f(2)=3(0)^3+2(2)-5=-1. $$ 且對任意 $h$，

Question 6

圓 $x^2+y^2+2\sqrt{3}x+4y-2=0$ 的半徑為？ (A) $3$ (B) $4$ (C) $5$ (D) $6$

Accepted Answer

核心觀念 圓的標準式為 $$ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 $$ 其中圓心為 $(h,k)$，半徑為 $r$。本題需將一般式配方，整理成圓的標準式。 解題方法 原方程式為 $$ x^2+y^2+2\sqrt{3}x+4y-2=0 $$ 分別對 $x$ 與 $y$ 配方： $$ x^2+2\sqrt{3}x=(x+\sqrt{3})^2-3 $$ $$ y^2+4y=(y+2)^2-4 $$ 代回原式： $$ (x+\sqrt{3})^2-3+(y+2)^2-4-2=0 $$ 整理得 $$ (x+\sqrt{3})^2+(y+2)^2=9 $$ 與圓的標準式比較： $$ r^2=9 $$ 因此 $$ r=3 $$ 半徑必取正值，所以半徑為 $3$。 選項分析

Question 7

已知 $\log 7\approx0.8451$，據此可算出 $7^{100}$ 為 $a$ 位數，請問 $a$ 之值為何？ (A) $86$ (B) $85$ (C) $84$ (D) $83$

Accepted Answer

核心觀念 正整數 $N$ 的位數可由常用對數判斷： $$ N	ext{ 為 }a	ext{ 位數} \iff 10^{a-1}\le N<10^a $$ 兩邊取以 $10$ 為底的對數，可得： $$ a-1\le \log N<a $$ 因此，若 $N$ 不是 $10$ 的整數次方，則其位數為： $$ \lfloor \log Nfloor+1 $$ 本題使用的是常用對數，即 $\log=\log{10}$。 解題方法 已知： $$ \log 7\approx 0.8451 $$ 利用對數的乘冪公式： $$ \log(7^{100})=100\log 7 $$ 代入數值： $$ \log(7^{100})\approx100(0.8451)=84.51 $$ 因此： $$ 84<\log(7^{100})<85 $$ 代表： $$ 10^{84}<7^{100}<10^{85} $$ 所以 $7^{100}$ 的整數部分共有 $85$ 位數。 亦可直接套用位數公式： $$ a=\lfloor84.51floor+1=84+1=85 $$

Question 8

某公司有 $6$ 名員工，將他們的薪資減去 $28173$ 以後再除以 $600$ ，得新數據如下： $1,1,3,4,4,5$ 。請問這 $6$ 名員工的平均薪資為何？

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「平均數與線性變換」的關係。 若每位員工的原薪資為 $x$，將薪資先減去 $28173$，再除以 $600$，所得新數據為 $$ \frac{x-28173}{600} $$ 線性變換後的新平均數，可先由新數據求出，再反向還原原薪資平均數。 --- 解題方法 新數據為 $$ 1,1,3,4,4,5 $$ 因此新數據的平均數為 $$ \frac{1+1+3+4+4+5}{6} =\frac{18}{6} =3 $$ 設原來 $6$ 名員工的平均薪資為 $\overline{x}$，則經過「減去 $28173$ 再除以 $600$」後，平均數也會進行相同的變換： $$ \frac{\overline{x}-28173}{600}=3 $$ 解得 $$ \overline{x}-28173=1800 $$ $$ \overline{x}=28173+1800=29973 $$ 所以 $6$ 名員工的平均薪資為 $29973$ 元。 --- 選項分析 - (A) $28773$：錯誤。代回變換後的平均數：

Question 9

下列哪一個選項的三角函數值和其他選項不同？ (A) $\cos15^\circ$ (B) $\cos165^\circ$ (C) $\sin75^\circ$ (D) $\sin105^\circ$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查三角函數的誘導公式與特殊角關係： $$ \cos(180^\circ-	heta)=-\cos	heta $$ $$ \sin(90^\circ-	heta)=\cos	heta $$ $$ \sin(90^\circ+	heta)=\cos	heta $$ 因此可將各選項化為以 $\cos15^\circ$ 表示，再比較其正負與大小。 解題方法與選項分析 (A) $\cos15^\circ$ 此項直接為 $$ \cos15^\circ $$ (B) $\cos165^\circ$ 因為 $$ 165^\circ=180^\circ-15^\circ $$ 所以 $$ \cos165^\circ =\cos(180^\circ-15^\circ) =-\cos15^\circ $$ 故此項為負值。 (C) $\sin75^\circ$ 因為 $$ 75^\circ=90^\circ-15^\circ $$ 所以 $$ \sin75^\circ =\sin(90^\circ-15^\circ) =\cos15^\circ $$ (D) $\sin105^\circ$ 因為

Question 10

三年 A 班有 $50$ 人，某次段考數學成績及格的有 $39$ 人，英文成績及格的有 $41$ 人，這兩科都及格的有 $35$ 人，則這兩科都不及格的有幾人？

Accepted Answer

核心觀念 本題考查集合的「容斥原理」。 設： - 數學及格集合為 $M$，$|M|=39$ - 英文及格集合為 $E$，$|E|=41$ - 兩科都及格者為 $|M\cap E|=35$ - 全班人數為 $50$ 至少一科及格的人數為： $$ |M\cup E|=|M|+|E|-|M\cap E| $$ 扣除交集是因為兩科都及格者在相加時被重複計算一次。 解題方法 先求至少一科及格的人數： $$ |M\cup E|=39+41-35=45 $$ 因此，兩科都不及格的人數為全班人數減去至少一科及格的人數： $$ 50-45=5 $$ 所以兩科都不及格的有 $5$ 人。 選項分析 - (A) $15$：錯誤。 未扣除兩科都及格者的重複計算，不能得到正確的「至少一科及格」人數。

Question 11

有一個扇形半徑為 $12$，面積為 $48\pi$，請問它的圓心角大小為何？ (A) $\frac{5\pi}{3}$ (B) $\frac{4\pi}{3}$ (C) $\frac{\pi}{3}$ (D) $\frac{2\pi}{3}$

Accepted Answer

核心觀念 扇形面積公式為 $$ A=\frac{1}{2}r^2	heta $$ 其中： - $A$ 為扇形面積； - $r$ 為半徑； - $	heta$ 為圓心角，單位須用弧度。 本題給定半徑 $r=12$，面積 $A=48\pi$，代入公式即可求出圓心角。 解題方法 將已知條件代入扇形面積公式： $$ 48\pi=\frac{1}{2}	imes 12^2	imes	heta $$ 先計算右側係數： $$ \frac{1}{2}	imes 144=72 $$ 因此： $$ 48\pi=72	heta $$ 兩邊同除以 $72$： $$ 	heta=\frac{48\pi}{72} =\frac{2\pi}{3} $$ 所以圓心角為 $\frac{2\pi}{3}$。 選項分析 - (A) $\frac{5\pi}{3}$：錯誤。 代入面積公式： $$ A=\frac{1}{2}	imes 12^2	imes\frac{5\pi}{3} =120\pi $$ 與題目給定的 $48\pi$ 不符。 - (B) $\frac{4\pi}{3}$：錯誤。 此圓心角所對應的扇形面積為：

Question 12

$\cos72^\circ\cos12^\circ+\sin72^\circ\sin12^\circ$ 之值為？ (A) $1$ (B) $\frac{1}{2}$ (C) $\frac{3}{2}$ (D) $\frac{1}{2}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查餘弦差角公式： $$ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta $$ 題目中的式子正好符合右側形式，因此可直接合併為一個餘弦函數。 解題方法 令 $\alpha=72^\circ$、$\beta=12^\circ$，則 $$ \begin{aligned} \cos72^\circ\cos12^\circ+\sin72^\circ\sin12^\circ &=\cos(72^\circ-12^\circ)\ &=\cos60^\circ\ &=\frac{1}{2} \end{aligned} $$ 所以原式的值為 $\frac{1}{2}$。 選項分析 - (A) $1$：錯誤。 $\cos60^\circ=\frac{1}{2}$，不是 $1$。

Question 13

下列哪個選項正確？ (A) $\log{-3}(-9)=2$ (B) $\log1 0=1$ (C) $\log(7+9)=\log7+\log9$ (D) $\log5+\log6=1+\log3$

Accepted Answer

核心觀念 1. 對數的定義與存在條件： 在實數範圍內，若對數式 $\loga b$ 有意義，則必須同時滿足： - 底數條件：$a 0$ 且 $a 
eq 1$。 - 真數條件：$b 0$。 2. 常用對數與對數律： - 常用對數以 $10$ 為底，記為 $\log x = \log{10} x$，其中 $\log 10 = 1$。 - 同底對數相加等於真數相乘：$\loga x + \loga y = \loga (xy)$（需滿足 $x 0, y 0$）。 - 注意：對數不具備加法分配律，即 $\log(x + y) 
eq \log x + \log y$。 --- 解題方法 1. 第一步（檢查定義域）：檢視各選項中對數的「底數」與「真數」是否符合存在條件，若不符合則式子無意義，直接排除。 2. 第二步（運用對數律化簡）：對於符合定義的式子，利用「同底相加轉為真數相乘」與「常數 $1 = \log 10$」進行左右兩邊的化簡與比對。 --- 選項分析 - (A) 錯誤： 在實數系中，對數 $\loga b$ 的底數必須滿足 $a 0$ 且 $a 
eq 1$，真數必須滿足 $b 0$。 選項中底數為 $-3 \le 0$、真數為 $-9 \le 0$，均不符合對數存在條件，故該式在實數上無意義。

Question 14

$\vec a=(1,-2)$，$\vec b=(-3,-4)$，則 $\lvert4\vec a-\vec b\rvert$ 之值為？ (A) $\sqrt{65}$ (B) $\sqrt{55}$ (C) $\sqrt{45}$ (D) $\sqrt{35}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查高中數學的「平面向量基本運算」與「向量長度（模長）」： 1. 平面向量的線性組合：若向量 $\vec u = (x1, y1)$、$\vec v = (x2, y2)$，且 $k \in \mathbb{R}$，則 $$k\vec u - \vec v = (k x1 - x2, k y1 - y2)$$ 2. 向量長度公式：若向量 $\vec v = (x, y)$，則其長度（絕對值）定義為 $$\lvert\vec v\rvert = \sqrt{x^2 + y^2}$$ --- 解題方法 步驟一：計算線性組合向量 $4\vec a - \vec b$ 的坐標表示 已知 $\vec a = (1, -2)$，先計算純量積： $$4\vec a = 4(1, -2) = (4, -8)$$ 接著進行向量減法（注意負號運算）： $$4\vec a - \vec b = (4, -8) - (-3, -4) = (4 - (-3), -8 - (-4)) = (4 + 3, -8 + 4) = (7, -4)$$

Question 15

若 $P(-2,3,-1)$ 為坐標空間中的一點，則點 $P$ 至 $y$ 軸的距離為？ (A) $3$ (B) $\sqrt{10}$ (C) $\sqrt{7}$ (D) $\sqrt{5}$

Accepted Answer

核心觀念 1. 空間中點到坐標軸的距離： 設空間中一點 $P(x0, y0, z0)$，則 $P$ 點在各坐標軸上的正射影（垂足）坐標分別為： - 在 $x$ 軸的正射影為 $(x0, 0, 0)$，距離為 $\sqrt{y0^2 + z0^2}$ - 在 $y$ 軸的正射影為 $(0, y0, 0)$，距離為 $\sqrt{x0^2 + z0^2}$ - 在 $z$ 軸的正射影為 $(0, 0, z0)$，距離為 $\sqrt{x0^2 + y0^2}$ 2. 空間兩點距離公式： 設兩點 $A(x1, y1, z1)$ 與 $B(x2, y2, z2)$，則兩點距離為： $$\overline{AB} = \sqrt{(x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 + (z1 - z2)^2}$$ --- 解題方法 方法一：利用投影點（垂足）計算 1. 設點 $P(-2, 3, -1)$ 在 $y$ 軸上的正射影點為 $Q$，因 $Q$ 點在 $y$ 軸上且與 $P$ 點有相同的 $y$ 分量，故 $Q(0, 3, 0)$。 2. 點 $P$ 至 $y$ 軸的距離即為線段 $\overline{PQ}$ 的長度： $$\overline{PQ} = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (3 - 3)^2 + (-1 - 0)^2}$$ $$\overline{PQ} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5}$$

Question 16

$\vec a=(1,-2,3)$，$\vec b=(0,-3,4)$，則 $\vec a,\vec b$ 所張成的平行四邊形面積為？ (A) $\sqrt{24}$ (B) $\sqrt{25}$ (C) $\sqrt{26}$ (D) $\sqrt{27}$

Accepted Answer

核心觀念 1. 空間向量的外積（Cross Product）與幾何意義： 在空間坐標系中，由兩空間向量 $\vec a = (a1, a2, a3)$ 與 $\vec b = (b1, b2, b3)$ 所張成的平行四邊形面積 $A$，其值等於兩向量外積的長度（模長）： $$A = |\vec a 	imes \vec b|$$ 2. 外積計算公式： $$\vec a 	imes \vec b = \left( \begin{vmatrix} a2 & a3 \ b2 & b3 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a3 & a1 \ b3 & b1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a1 & a2 \ b1 & b2 \end{vmatrix} ight) = (a2 b3 - a3 b2, \; a3 b1 - a1 b3, \; a1 b2 - a2 b1)$$ 3. 另解公式（拉格朗日恆等式）： $$A = \sqrt{|\vec a|^2 |\vec b|^2 - (\vec a \cdot \vec b)^2}$$ --- 解題方法 方法一：外積法（推薦首選） 1. 計算外積向量 $\vec a 	imes \vec b$： 給定 $\vec a = (1, -2, 3)$，$\vec b = (0, -3, 4)$。 $$\vec a 	imes \vec b = \left( \begin{vmatrix} -2 & 3 \ -3 & 4 \end{vmatrix}, \; \begin{vmatrix} 3 & 1 \ 4 & 0 \end{vmatrix}, \; \begin{vmatrix} 1 & -2 \ 0 & -3 \end{vmatrix} ight)$$ 分別展開各分量的二階行列式： - $x$ 分量：$(-2)(4) - (3)(-3) = -8 + 9 = 1$ - $y$ 分量：$(3)(0) - (1)(4) = 0 - 4 = -4$ - $z$ 分量：$(1)(-3) - (-2)(0) = -3 - 0 = -3$ 得外積向量為： $$\vec a 	imes \vec b = (1, -4, -3)$$ 2. 計算外積向量長度（即平行四邊形面積）： $$	ext{面積} = |\vec a 	imes \vec b| = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26}$$ --- 方法二：長度與內積公式（代數驗算法）

Question 17

直線 $$ L1:\frac{x-1}{5}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-4}{3} $$ 和 $$ L2:\frac{x+6}{-10}=\frac{y+4}{4}=\frac{z-1}{-6} $$ 的關係為？ (A) 平行 (B) 重合 (C) 交於一點 (D) 歪斜

Accepted Answer

核心觀念 空間中兩直線的幾何關係可由「方向向量」與「有無交點（或公共點）」進行判定，主要分為四種情形： 1. 重合：方向向量平行，且兩直線有無限多個公共點（即其中一線上的任一點均在另一線上）。 2. 平行：方向向量平行，但兩直線無任何公共點（即其中一線上的點不在另一線上）。 3. 交於一點：方向向量不平行，且兩直線共平面（恰有一個公共點）。 4. 歪斜：方向向量不平行，且兩直線不共平面（無公共點）。 空間直線的對稱比例式 $\frac{x-x0}{a}=\frac{y-y0}{b}=\frac{z-z0}{c}$ 中，分母 $(a, b, c)$ 即為直線的方向向量，分子 $(x0, y0, z0)$ 為直線通過的一點。 --- 解題方法 步驟一：找出兩直線的方向向量與基準點 - 直線 $L1$：通過點 $P1(1, -2, 4)$，方向向量為 $\vec{v}1 = (5, -2, 3)$。 - 直線 $L2$：通過點 $P2(-6, -4, 1)$，方向向量為 $\vec{v}2 = (-10, 4, -6)$。 步驟二：檢驗方向向量是否平行 觀察 $\vec{v}1$ 與 $\vec{v}2$ 各分量的比例關係： $$ \frac{-10}{5} = \frac{4}{-2} = \frac{-6}{3} = -2 $$ 可得 $\vec{v}2 = -2\vec{v}1$，即 $\vec{v}1 \parallel \vec{v}2$。 因此，$L1$ 與 $L2$ 的關係必為平行或重合。 步驟三：檢驗點是否在另一條直線上（區分平行或重合） 將直線 $L1$ 上的點 $P1(1, -2, 4)$ 代入直線 $L2$ 的方程式檢驗： $$ \frac{x+6}{-10} = \frac{1+6}{-10} = -\frac{7}{10} $$

Question 18

有 $400$ 人分成 A、B、C 三組參加測驗，其中 A 組 $200$ 人，B、C 兩組各 $100$ 人。若 A 組的通過率為 $83\%$ ，B 組的通過率為 $91\%$ ，C 組的通過率為 $93\%$ ，則公平抽籤隨機抽取一人，取中通過測驗的人之機率是？

Accepted Answer

核心觀念 本題考查機率論中的全機率公式（Law of Total Probability）與加權平均機率（Weighted Average Probability）。當樣本空間可劃分為互斥的若干子集（A、B、C 三組）時，隨機抽取一人通過測驗的總機率，即為各組通過率依據人數比例進行加權平均的結果；亦可直接透過計算「總通過人數」與「總人數」的比值求解。 --- 解題方法 本題提供兩種極佳的解題切入點： 方法一：總人數法（直觀計算） 1. 計算各組通過人數： - A 組通過人數：$$200 	imes 83\% = 200 	imes 0.83 = 166 	ext{（人）}$$ - B 組通過人數：$$100 	imes 91\% = 100 	imes 0.91 = 91 	ext{（人）}$$ - C 組通過人數：$$100 	imes 93\% = 100 	imes 0.93 = 93 	ext{（人）}$$ 2. 計算總通過人數與取中機率： - 總通過人數：$$166 + 91 + 93 = 350 	ext{（人）}$$ - 隨機抽取一人取中通過測驗者的機率： $$P(	ext{通過}) = \frac{350}{400} = \frac{35}{40} = \frac{7}{8} = 0.875 = 87.5\%$$ 方法二：全機率公式（權重比例法） 1. 計算選中各組的人數權重機率： - 選中 A 組的機率 $P(A) = \frac{200}{400} = \frac{1}{2} = 0.5$ - 選中 B 組的機率 $P(B) = \frac{100}{400} = \frac{1}{4} = 0.25$ - 選中 C 組的機率 $P(C) = \frac{100}{400} = \frac{1}{4} = 0.25$

Question 19

行列式 $$ \begin{vmatrix} 2&0&0\ 9&3&4\ -7&5&8 \end{vmatrix} $$ 的值為？ (A) $16$ (B) $14$ (C) $12$ (D) $8$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查三階行列式（$3 	imes 3$ Determinant）的計算，主要運用降階展開法（余因子展開法）與二階行列式的定義： 1. 二階行列式定義： $$ \begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $$ 2. 三階行列式降階展開法： 任意 $3 	imes 3$ 行列式可沿著任一列（Row）或任一行（Column）展開。展開時各項係數之正負號依據棋盤陣列 $(-1)^{i+j}$ 決定： $$ \begin{pmatrix} + & - & + \ - & + & - \ + & - & + \end{pmatrix} $$ --- 解題方法 觀察給定的三階行列式： $$ D = \begin{vmatrix} 2&0&0\ 9&3&4\ -7&5&8 \end{vmatrix} $$ 步驟一：選擇最佳展開列 第一列（Row 1）包含兩個 $0$（元素為 $2, 0, 0$），沿第一列展開可直接消去兩項，大幅簡化計算量。 步驟二：沿第一列進行降階展開 $$ D = 2 \cdot (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 3 & 4 \ 5 & 8 \end{vmatrix} - 0 + 0 $$ $$ D = 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \ 5 & 8 \end{vmatrix} $$ 步驟三：計算二階行列式並求值 $$ D = 2 \cdot (3 	imes 8 - 4 	imes 5) $$ $$ D = 2 \cdot (24 - 20) $$ $$ D = 2 \cdot 4 = 8 $$ ---

Question 20

若 $M=[m{ij}]$ 為 $3	imes2$ 階矩陣且 $m{ij}=3i^2-j$，則矩陣 $M$ 為？ (A) $\begin{bmatrix}2&1\11&10\26&25\end{bmatrix}$ (B) $\begin{bmatrix}2&11&26\1&10&25\end{bmatrix}$ (C) $\begin{bmatrix}-2&-1\-11&-10\-26&-25\end{bmatrix}$ (D) $\begin{bmatrix}-2&-11&-26\-1&-10&-25\end{bmatrix}$

Accepted Answer

核心觀念 1. 矩陣的階數（維度）：$m 	imes n$ 階矩陣表示該矩陣共有 $m$ 列（row，橫排）與 $n$ 行（column，直排）。第 $i$ 列、第 $j$ 行的元素記作 $m{ij}$。 2. 矩陣元素的代數表達式：給定一般項公式 $m{ij} = f(i, j)$ 時，將對應的列指標 $i$ 與行指標 $j$ 代入公式，即可算出對應位置的數值。 --- 解題方法 1. 確立矩陣結構： 因為 $M$ 為 $3 	imes 2$ 階矩陣，表示 $M$ 包含 $3$ 列與 $2$ 行，指標範圍為 $i \in \{1, 2, 3\}$、$j \in \{1, 2\}$。一般矩陣形式為： $$M = \begin{bmatrix} m{11} & m{12} \ m{21} & m{22} \ m{31} & m{32} \end{bmatrix}$$ 2. 代入公式 $m{ij} = 3i^2 - j$ 計算各元素： - 第一列 ($i=1$)： $m{11} = 3(1)^2 - 1 = 3 - 1 = 2$ $m{12} = 3(1)^2 - 2 = 3 - 2 = 1$ - 第二列 ($i=2$)： $m{21} = 3(2)^2 - 1 = 3(4) - 1 = 11$ $m{22} = 3(2)^2 - 2 = 3(4) - 2 = 10$

Question 21

函數 $f(x)=6\cos x+8\sin x$ 的最小值為？ (A) $-14$ (B) $-12$ (C) $-10$ (D) $-8$

Accepted Answer

核心觀念 1. 三角函數的疊合（輔助角公式）： 對於形如 $f(x) = a\sin x + b\cos x$ 的線性組合函數（其中 $a, b$ 為不全為零的實數），可利用和角公式將其疊合為單一正弦函數： $$f(x) = \sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\phi)$$ 其中 $\cos\phi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\sin\phi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$。 2. 正弦函數的值域限制： 對任意實數 $x$ 與相角 $\phi$，正弦函數的範圍恆為 $-1 \le \sin(x+\phi) \le 1$。因此 $f(x)$ 的最大值為 $\sqrt{a^2+b^2}$，最小值為 $-\sqrt{a^2+b^2}$。 3. 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）： 在二維空間中，對任意實數 $a, b, x, y$，恆滿足 $(a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2$。 --- 解題方法 【方法一】三角函數疊合法（標準解法） 1. 計算振幅（提取平方和開根號）： 已知函數 $f(x) = 6\cos x + 8\sin x$，係數分別為 $6$ 與 $8$。 計算其平方和開根號： $$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$ 2. 提出公因數並進行疊合： 將 10 提出： $$f(x) = 10 \left( \frac{8}{10}\sin x + \frac{6}{10}\cos x \right) = 10 \left( \frac{4}{5}\sin x + \frac{3}{5}\cos x \right)$$ 3. 引進輔助角 $\phi$： 設存在一角 $\phi$，使得 $\cos\phi = \frac{4}{5}$ 且 $\sin\phi = \frac{3}{5}$。利用正弦和角公式 $\sin(x+\phi) = \sin x\cos\phi + \cos x\sin\phi$，可將函數化簡為： $$f(x) = 10\sin(x+\phi)$$

Question 22

$3$ 個男生、$3$ 個女生排成一列拍合照，若要求男生彼此不相鄰，女生也彼此不相鄰，則可能的排法有幾種？ (A) $36$ (B) $48$ (C) $60$ (D) $72$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查排列組合中的直線排列與交錯排列（相鄰與不相鄰問題）。 1. 交錯排列型態：當兩類元素數量相等（本題男生 $3$ 人、女生 $3$ 人），且同時要求「男生彼此不相鄰」且「女生彼此不相鄰」時，隊形必然呈現男女交替站立的形態。 2. 階乘與直線排列： $n$ 個相異物體進行全排列的法數為 $P^nn = n!$。 3. 乘法原理與加法原理：完成同一件事的連續步驟採用乘法原理；互斥的不同隊形型態採用加法原理。 --- 解題方法 步驟一：分析隊形排列型態 設 $3$ 名男生為 $B1, B2, B3$，$3$ 名女生為 $G1, G2, G3$。 若要同時滿足男生不相鄰且女生不相鄰，隊形只能是「男女交錯」排列，共有以下兩種互斥的型態： - 型態一（男開頭）：男－女－男－女－男－女（$B - G - B - G - B - G$） - 型態二（女開頭）：女－男－女－男－女－男（$G - B - G - B - G - B$） 步驟二：計算各型態的可能排法 - 型態一（男－女－男－女－男－女）： - $3$ 名男生填入 $3$ 個指定位置，共有 $3! = 3 	imes 2 	imes 1 = 6$ 種排法。 - $3$ 名女生填入 $3$ 個指定位置，共有 $3! = 3 	imes 2 	imes 1 = 6$ 種排法。 - 根據乘法原理，型態一共有 $3! 	imes 3! = 6 	imes 6 = 36$ 種排法。

Question 23

小明參加某個大型測驗，國文得 $72$ 分，英文得 $64$ 分。已知所有考生的國文分數平均為 $67$ ，標準差為 $15$ ，而所有考生的英文分數平均為 $59$ ，標準差為 $10$ 。請問小明在國文、英文哪一科的排名比較好？

Accepted Answer

核心觀念 不同科目的平均分數與標準差不同，不能直接比較原始分數。應將各科成績轉換為標準分數（$z$ 分數）： $$ z=\frac{x-\mu}{\sigma} $$ 其中： - $x$：個人成績 - $\mu$：該科平均分數 - $\sigma$：該科標準差 $z$ 分數越高，表示考生成績高於該科平均分數越多，該科的相對排名越好。 解題方法 小明的國文標準分數為： $$ z{	ext{國文}}=\frac{72-67}{15} =\frac{5}{15} =\frac{1}{3} \approx 0.333 $$ 小明的英文標準分數為： $$ z{	ext{英文}}=\frac{64-59}{10} =\frac{5}{10} =\frac{1}{2} =0.5 $$ 比較兩科標準分數： $$ z{	ext{英文}}=\frac{1}{2}\frac{1}{3}=z{	ext{國文}} $$

Question 24

下列哪個選項的散佈圖的相關係數最大？ (A) 散佈圖（請參考原卷） (B) 散佈圖（請參考原卷） (C) 散佈圖（請參考原卷） (D) 散佈圖（請參考原卷）

Accepted Answer

核心觀念 散佈圖的相關係數 $r$ 用來衡量兩變數間「線性關係的方向與強度」： - $r0$：正相關，$x$ 增加時，$y$ 大致增加。 - $r<0$：負相關，$x$ 增加時，$y$ 大致減少。 - $|r|$ 越接近 $1$：線性關係越強。 - $r$ 越接近 $0$：線性關係越弱。 本題問的是相關係數「最大」，比較的是 $r$ 的數值大小，不是比較 $|r|$。 解題方法 先判斷各散佈圖的相關方向： 1. 圖形由左下往右上分布，表示正相關，相關係數為正。 2. 圖形由左上往右下分布，表示負相關，相關係數為負。 3. 在正相關圖形中，點越接近一條向上直線，相關係數越接近 $1$，數值越大。 由原圖可見：

Question 25

若實數 $x,y$ 滿足 $3x-2y=20$，則 $x^2+4y^2$ 的最小值為？ (A) $20$ (B) $30$ (C) $40$ (D) $50$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查柯西－施瓦茲不等式： $$ (a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2 $$ 等號成立的條件是兩組向量成比例。 題目中的條件可改寫為： $$ 3x-2y=3x+(-1)(2y)=20 $$ 而欲求的式子為： $$ x^2+4y^2=x^2+(2y)^2 $$ 因此可將其視為兩個向量的內積與長度平方問題。 解題方法 由柯西－施瓦茲不等式： $$ \left[x^2+(2y)^2\right]\left[3^2+(-1)^2\right] \geq \left[3x+(-1)(2y)\right]^2 $$ 代入題目條件 $3x-2y=20$，得： $$ (x^2+4y^2)(9+1)\geq 20^2 $$ $$ 10(x^2+4y^2)\geq 400 $$ 所以： $$ x^2+4y^2\geq 40 $$ 接著確認等號可以成立。等號成立時，須有： $$ (x,2y)=k(3,-1) $$ 因此： $$ x=3k,\qquad 2y=-k $$ 代入條件： $$ 3(3k)-2\left(-\frac{k}{2}\right)=20 $$ $$ 9k+k=20 $$ $$ k=2 $$ 故： $$ x=6,\qquad y=-1 $$ 此時：

Question 26

下列哪個選項的 $a$ 值讓 $x+ay=3$ 和 $ax+9y=9$ 的圖形沒有共同點？ (A) $6$ (B) $3$ (C) $-3$ (D) $-6$

Accepted Answer

核心觀念 兩條直線「沒有共同點」的情況，是兩直線： 1. 互相平行且不重合； 2. 不會是相交直線； 3. 也不會是完全重合的同一直線。 方程式為 $$ x+ay=3 $$ 與 $$ ax+9y=9 $$ 當 $a
eq 0$ 時，可分別寫成斜率式： $$ y=-\frac{1}{a}x+\frac{3}{a} $$ $$ y=-\frac{a}{9}x+1 $$ 兩直線平行的必要條件是斜率相等。 解題方法 令兩直線斜率相等： $$ -\frac{1}{a}=-\frac{a}{9} $$ 因此 $$ \frac{1}{a}=\frac{a}{9} $$ $$ a^2=9 $$ $$ a=\pm 3 $$ 接著分別檢查 $a=3$ 與 $a=-3$ 是否為重合直線。 情況一：$a=3$ 原方程式變為 $$ x+3y=3 $$ $$ 3x+9y=9 $$ 第二式恰為第一式乘以 $3$： $$ 3(x+3y)=3\cdot 3 $$ 兩方程式代表同一直線，因此有無限多個共同點，不符合題意。 情況二：$a=-3$ 原方程式變為 $$ x-3y=3 $$ $$ -3x+9y=9 $$ 將第一式乘以 $-3$： $$ -3x+9y=-9 $$ 但第二式為 $$ -3x+9y=9 $$

Question 27

坐標空間中有兩平面 $x+2y+2z=3$ 以及 $6x+3y-2z=7$。若這兩平面的銳夾角為 $	heta$，則 $\cos	heta$ 的值為？ (A) $\frac{5}{21}$ (B) $\frac{6}{21}$ (C) $\frac{7}{21}$ (D) $\frac{8}{21}$

Accepted Answer

核心觀念 兩平面的夾角，等於兩平面法向量的夾角。若兩平面的法向量分別為 $\vec n1,\vec n2$，則其銳夾角 $	heta$ 滿足 $$ \cos	heta = \frac{|\vec n1\cdot\vec n2|} {|\vec n1||\vec n2|}. $$ 平面方程式 $$ ax+by+cz=d $$ 的法向量為 $\vec n=(a,b,c)$。 --- 解題方法 兩平面為 $$ x+2y+2z=3 $$ 以及 $$ 6x+3y-2z=7。 $$ 因此可取兩平面的法向量： $$ \vec n1=(1,2,2),\qquad \vec n2=(6,3,-2)。 $$ 先計算法向量內積： $$ \vec n1\cdot\vec n2 = 1\cdot6+2\cdot3+2\cdot(-2) =6+6-4=8。 $$ 再計算兩法向量的長度： $$ |\vec n1| = \sqrt{1^2+2^2+2^2} = \sqrt9=3， $$ $$ |\vec n2| = \sqrt{6^2+3^2+(-2)^2} = \sqrt{49}=7。 $$

Question 28

$A$、$B$ 為樣本空間中的兩事件，且機率值 $$ P(A\cup B)=\frac{3}{4},\quad P(A)=\frac{2}{3},\quad P(B)=\frac{1}{2}, $$ 則條件機率 $P(A\mid B)$ 之值為？ (A) $\frac{5}{6}$ (B) $\frac{5}{8}$ (C) $\frac{5}{9}$ (D) $\frac{5}{12}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩事件的聯集公式與條件機率定義： $$ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) $$ 因此， $$ P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B) $$ 條件機率的定義為： $$ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)0 $$ 題目已知 $P(B)=\frac120$，所以條件機率有定義。 解題方法 先由聯集公式求出交集機率： $$ \begin{aligned} P(A\cap B) &=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\ &=\frac23+\frac12-\frac34 \end{aligned} $$ 通分得： $$ P(A\cap B) =\frac{8}{12}+\frac{6}{12}-\frac{9}{12} =\frac{5}{12} $$ 再代入條件機率公式： $$ \begin{aligned} P(A\mid B) &=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\ &=\frac{\frac{5}{12}}{\frac12}\ &=\frac{5}{12}	imes 2\ &=\frac56 \end{aligned} $$ 選項分析 - (A) $\frac56$：正確。 由計算可得：

Question 29

坐標平面上，函數 $y=2^x$ 的圖形以 $y$ 軸為基準左右伸縮為 $3$ 倍，再以 $x$ 軸為基準上下伸縮為 $4$ 倍，可得下列哪個選項的圖形？ (A) $y=\frac{1}{4}(\sqrt[3]{2})^x$ (B) $y=4(\sqrt[3]{2})^x$ (C) $y=4\cdot8^x$ (D) $y=\frac{1}{4}\cdot8^x$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查函數圖形的伸縮變換： - 以 $y$ 軸為基準，左右伸縮 $a$ 倍：將原式中的 $x$ 改為 $\dfrac{x}{a}$。 - 以 $x$ 軸為基準，上下伸縮 $b$ 倍：將函數值乘以 $b$。 原函數為 $$ y=2^x $$ 解題方法 先處理左右伸縮。 以 $y$ 軸為基準左右伸長 $3$ 倍，須將 $x$ 替換為 $\dfrac{x}{3}$： $$ y=2^{x/3} $$ 利用指數律： $$ 2^{x/3}=(2^{1/3})^x=(\sqrt[3]{2})^x $$ 再以 $x$ 軸為基準上下伸長 $4$ 倍，函數值乘以 $4$： $$ y=4\cdot 2^{x/3} =4(\sqrt[3]{2})^x $$ 因此正確圖形為 $$ \boxed{y=4(\sqrt[3]{2})^x} $$ 選項分析 - (A) $y=\dfrac14(\sqrt[3]{2})^x$ 水平伸縮部分正確，但上下伸縮 $4$ 倍應乘以 $4$，不是乘以 $\dfrac14$，故錯誤。 - (B) $y=4(\sqrt[3]{2})^x$

Question 30

設矩陣 $M$ 為矩陣 $$ \begin{bmatrix}3&2\4&3\end{bmatrix} $$ 的乘法反矩陣。若 $$ M^2=\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}, $$ 則 $a+b+c+d$ 之值為？ (A) $2$ (B) $0$ (C) $-2$ (D) $-4$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查二階矩陣的乘法反矩陣與矩陣乘法。 對二階矩陣 $$ A=\begin{bmatrix}p&q\r&s\end{bmatrix}, $$ 若行列式 $ps-qr
eq 0$，則其反矩陣為 $$ A^{-1}=\frac{1}{ps-qr} \begin{bmatrix}s&-q\-r&p\end{bmatrix}. $$ 題目給定 $$ A=\begin{bmatrix}3&2\4&3\end{bmatrix}, $$ 且 $M=A^{-1}$，要求計算 $M^2$ 中四個元素的總和。 解題方法 先求矩陣 $A$ 的行列式： $$ \det(A)=3\cdot 3-2\cdot 4=9-8=1. $$ 因此 $$ M=A^{-1} =\frac{1}{1} \begin{bmatrix}3&-2\-4&3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3&-2\-4&3\end{bmatrix}. $$ 接著計算 $M^2$： $$ M^2= \begin{bmatrix}3&-2\-4&3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}3&-2\-4&3\end{bmatrix}. $$ 逐項相乘得

Question 31

$$ f(x)=\frac{(2x-8)(5x-1)}{(x-2)(3x+2)}. $$ 下列哪些 $x$ 值會使 $f(x)$ 之值為負？ (A) $11$ (B) 圓周率 $\pi$ (C) $\sqrt[3]{3}$ (D) $2022$ (E) $\log{11}1$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查有理式的正負判斷。先注意定義域： $$ (x-2)(3x+2)
eq 0 $$ 因此 $$ x
eq 2,\qquad x
eq -\frac23 $$ 將函數因式分解： $$ f(x)=\frac{2(x-4)(5x-1)}{(x-2)(3x+2)} $$ 常數 $2$ 為正，不影響整體正負。影響符號的關鍵臨界值為： $$ -\frac23,\quad \frac15,\quad 2,\quad 4 $$ 其中 $x=-\frac23,2$ 會使分母為 $0$，不在定義域內；$x=\frac15,4$ 會使函數值為 $0$。 --- 解題方法：符號分析法 依臨界值將數線分成五個區間： $$ \left(-\infty,-\frac23ight),\quad \left(-\frac23,\frac15ight),\quad \left(\frac15,2ight),\quad (2,4),\quad (4,\infty) $$ 判斷各因式符號如下： | $x$ 的範圍 | $x-4$ | $5x-1$ | $x-2$ | $3x+2$ | $f(x)$ | |---|---:|---:|---:|---:|---:| | $\left(-\infty,-\frac23ight)$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $+$ | | $\left(-\frac23,\frac15ight)$ | $-$ | $-$ | $-$ | $+$ | $-$ | | $\left(\frac15,2ight)$ | $-$ | $+$ | $-$ | $+$ | $+$ | | $(2,4)$ | $-$ | $+$ | $+$ | $+$ | $-$ | | $(4,\infty)$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | 所以

Question 32

已知坐標平面上兩點 $A(1,1)$、$B(13,19)$。下列哪些選項是正確的？ (A) $AB$ 長為 $22$ (B) 直線 $AB$ 不通過第二象限 (C) 直線 $AB$ 的 $x$ 截距為 $\frac{1}{3}$ (D) 直線 $AB$ 的 $y$ 截距為 $\frac{1}{2}$ (E) 線段 $AB$ 上含 $A、B$ 的格子點（$x,y$ 坐標皆為整數的點）有 $7$ 個

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 兩點距離公式 - 直線斜率與直線方程式 - $x$ 截距、$y$ 截距的意義 - 象限判斷 - 線段上格子點個數公式 已知： $$ A(1,1),\qquad B(13,19) $$ --- 解題方法 先計算兩點的坐標差： $$ \Delta x=13-1=12,\qquad \Delta y=19-1=18 $$ 因此直線 $AB$ 的斜率為： $$ m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2} $$ 利用點斜式，直線 $AB$ 為： $$ y-1=\frac{3}{2}(x-1) $$ 整理得： $$ 2y-2=3x-3 $$ $$ 2y=3x-1 $$ 因此： $$ y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2} $$ --- 選項分析 (A) $AB$ 長為 $22$ 由兩點距離公式： $$ AB=\sqrt{(13-1)^2+(19-1)^2} $$ $$ =\sqrt{12^2+18^2} =\sqrt{144+324} =\sqrt{468} $$ $$ =6\sqrt{13} $$ 因為 $6\sqrt{13}
eq22$，所以此選項錯誤。 --- (B) 直線 $AB$ 不通過第二象限 直線方程式為： $$ y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2} $$ 第二象限的點須滿足： $$ x<0,\qquad y0 $$ 當 $x<0$ 時， $$ \frac{3}{2}x<0 $$ 所以： $$ y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}<0 $$ 此時直線上的點位於第三象限，不會位於第二象限。因此直線 $AB$ 不通過第二象限，此選項正確。 --- (C) 直線 $AB$ 的 $x$ 截距為 $\frac{1}{3}$ 求 $x$ 截距時令 $y=0$： $$ 0=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2} $$ $$ \frac{3}{2}x=\frac{1}{2} $$ $$ x=\frac{1}{3} $$ 故 $x$ 截距為：

Question 33

已知坐標平面上 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ 不平行，$\lvert\overrightarrow{OA}vert=2$，$\lvert\overrightarrow{OB}vert=3$，且 $$ \overrightarrow{OP}=\alpha\overrightarrow{OA}+\beta\overrightarrow{OB}. $$ 下列哪些選項是正確的？ (A) $\alpha=0.4,\ \beta=0.6$ 時，$P、A、B$ 三點共線。 (B) $\alpha=1,\ \beta=1$ 時，$	riangle OAP$ 和 $	riangle OBP$ 面積相等。 (C) $\alpha=3,\ \beta=2$ 時，$	riangle OAP$ 和 $	riangle OBP$ 面積比為 $3:2$。 (D) $\alpha=3,\ \beta=2$ 時，$OP$ 平分 $OA、OB$ 的夾角。 (E) $\alpha0,\ \beta0$ 時，$\angle POA$ 必為銳角。

Accepted Answer

核心觀念 1. 平面向量共線定理： 設 $O$ 為平面上任一點，若 $\overrightarrow{OP} = \alpha\overrightarrow{OA} + \beta\overrightarrow{OB}$，則 $P、A、B$ 三點共線的充要條件為 $\alpha + \beta = 1$。 2. 向量線性組合的三角形面積比： 若 $\overrightarrow{OP} = \alpha\overrightarrow{OA} + \beta\overrightarrow{OB}$，以 $\overrightarrow{OA}、\overrightarrow{OB}$ 為基準向量： - $	riangle OAP$ 的面積為 $\lvert\betavert 	imes 	riangle OAB$ 的面積（由 $\overrightarrow{OB}$ 分量貢獻垂直於 $\overrightarrow{OA}$ 的高）。 - $	riangle OBP$ 的面積為 $\lvert\alphavert 	imes 	riangle OAB$ 的面積（由 $\overrightarrow{OA}$ 分量貢獻垂直於 $\overrightarrow{OB}$ 的高）。 因此，$	riangle OAP$ 與 $	riangle OBP$ 的面積比為 $\lvert\betavert : \lvert\alphavert$。 3. 角平分線方向向量： 兩非零向量 $\overrightarrow{OA}$ 與 $\overrightarrow{OB}$ 的內角平分線方向向量，可表示為兩單位向量和的正倍數： $$ \overrightarrow{v} = k \left( \frac{\overrightarrow{OA}}{\lvert\overrightarrow{OA}vert} + \frac{\overrightarrow{OB}}{\lvert\overrightarrow{OB}vert} ight), \quad k 0 $$ --- 解題方法 本題考查平面向量基本定理、共線性質、面積比例以及角平分線向量的判斷： 1. (A) 選項：直接代入共線條件 $\alpha + \beta = 1$ 檢驗。 2. (B)、(C) 選項：利用向量所張成的三角形面積性質（或行列式絕對值性質），求出子三角形面積與比例。 3. (D) 選項：將向量化為單位向量形式，驗證其是否為菱形對角線方向（即內角平分線方向）。 4. (E) 選項：透過選取特殊幾何構型（如夾角為鈍角時）來尋找反例。 --- 選項分析 - (A) 正確： 因為 $\alpha = 0.4,\ \beta = 0.6$，其和為： $$ \alph…

Question 34

已知圓 $C$ 為坐標平面上的一圓，$AB$ 為圓 $C$ 的一個直徑，其中 $A$ 坐標為 $(2,2)$，$B$ 坐標為 $(-4,6)$。下列哪些選項是正確的？ (A) 圓心在第四象限 (B) 面積為 $13\pi$ (C) 圓 $C$ 的方程式為 $x^2+y^2-2x+8y-20=0$ (D) 原點落在圓 $C$ 內部 (E) 點 $(-4,2)$ 也在圓 $C$ 上

Accepted Answer

核心觀念 1. 圓的標準式與直徑式： - 圓心為直徑兩端點的中點，半徑為直徑長度的一半。 - 若直徑兩端點為 $A(x1, y1)$、$B(x2, y2)$，圓的標準式為 $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$；亦可直接寫出直徑式： $$(x - x1)(x - x2) + (y - y1)(y - y2) = 0$$ 2. 點與圓的位置關係： - 計算點到圓心的距離 $d$：若 $d < r$ 則點在圓內；若 $d = r$ 則點在圓上；若 $d r$ 則點在圓外。 3. 圓周角與直徑性質： - 直徑所對的圓周角為直角（即端點所形成的兩向量內積為 $0$）。 --- 解題方法 1. 求圓心坐標與半徑： - 圓心 $O(h,k)$ 即為線段 $\overline{AB}$ 的中點： $$O = \left( \frac{2 + (-4)}{2}, \frac{2 + 6}{2} \right) = (-1, 4)$$ - 直徑長度 $\overline{AB} = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ - 半徑 $r = \frac{1}{2}\overline{AB} = \sqrt{13}$，故 $r^2 = 13$。 2. 建立圓方程式： - 圓 $C$ 的標準式為： $$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 13$$ - 展開整理為一般式： $$x^2 + 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = 13 \implies x^2 + y^2 + 2x - 8y + 4 = 0$$ --- 選項分析

Question 35

已知多項式 $$ f(x)=(x+1)^2(x-1)^3(x-5)。 $$ 下列哪些選項是正確的？ (A) $f(x)$ 展開整理後，各項係數的總和為 $5$。 (B) 不等式 $f(x)\leq0$ 的解為 $1\leq x\leq5$。 (C) 在 $f(x)\leq0$ 的解當中，有 $6$ 個整數。 (D) 不等式 $(x+1)^4(x-1)(x-5)^3\leq0$ 和 $f(x)\leq0$ 的解相同。 (E) $y=f(x)$ 和 $y=-1$ 的圖形有兩個交點。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查多項式函數的基本性質與高次不等式的解法，核心重點包含： 1. 多項式係數總和：實係數多項式 $f(x)$ 展開後各項係數總和等於 $f(1)$。 2. 高次不等式之「穿根法」（奇穿偶切）： - 偶數次方因式 $(x-c)^{2k}$ 在 $x 
eq c$ 時恆正，但在求解含等號的不等式時，不可遺漏邊界點 $x=c$。 - 奇數次方因式 $(x-c)^{2k+1}$ 的正負號與一次因式 $(x-c)$ 完全一致。 3. 函數圖形與方程式的實根（交點分析）：結合區間的正負號分析、極值走勢或連續函數之勘根定理，判斷曲線 $y=f(x)$ 與水平線 $y=k$ 的交點個數。 --- 解題方法 給定多項式為 $$ f(x)=(x+1)^2(x-1)^3(x-5) $$ 此為一個最高次項係數為正（首項為 $+x^6$）的六次多項式函數。 1. 零點（與 $x$ 軸交點）分析： - $x = -1$ 為二重根（偶數次方，圖形與 $x$ 軸相切但不穿越）。 - $x = 1$ 為三重根（奇數次方，圖形穿越 $x$ 軸）。 - $x = 5$ 為單根（奇數次方，圖形穿越 $x$ 軸）。 2. 正負號區間分佈： - 當 $x 5$ 時，$f(x) 0$ - 當 $1 < x < 5$ 時，$f(x) < 0$ - 當 $-1 < x < 1$ 時，$f(x) 0$ - 當 $x < -1$ 時，$f(x) 0$ - 當 $x \in \{-1, 1, 5\}$ 時，$f(x) = 0$ --- 選項分析 (A) 錯誤 多項式 $f(x)$ 各項係數之總和即為 $f(1)$： $$ f(1) = (1+1)^2(1-1)^3(1-5) = 4 	imes 0 	imes (-4) = 0 
eq 5 $$ 故展開整理後各項係數總和應為 $0$。 (B) 錯誤 解不等式 $f(x) \leq 0$，即 $(x+1)^2(x-1)^3(x-5) \leq 0$： - 因 $(x+1)^2 \geq 0$ 恆成立，當 $(x+1)^2 = 0$ 時 $x = -1$ 滿足等號。 - 當 $x 
eq -1$ 時，$(x+1)^2 0$，兩邊同除以 $(x+1)^2$ 得 $(x-1)^3(x-5) \leq 0 \implies 1 \leq x \leq 5$。 - 合併上述條件，不等式的完整解為： $$ x = -1 \quad	ext{或}\quad 1 \leq x \leq 5 $$ 選項漏掉了孤立解 $x = -1$，故錯誤。

Question 36

$	riangle ABC$ 中，$AB=3$，$AC=4$。下列哪些選項是正確的？ (A) $BC=\sqrt{13}$ 時，$\angle A=\frac{\pi}{3}$。 (B) $BC=5$ 時，$	riangle ABC$ 面積為 $6$。 (C) $	riangle ABC$ 面積為 $3\sqrt{3}$ 時，$\angle A=\frac{\pi}{3}$。 (D) $\angle C=\frac{\pi}{3}$ 時，$	riangle ABC$ 的外接圓半徑為 $6$。 (E) $\angle C=\frac{\pi}{6}$ 時，$	riangle ABC$ 必為鈍角三角形。

Accepted Answer

核心觀念 本題主要測驗高中數學的三角比性質與三角形解法，涵蓋以下核心公式與定理： 1. 餘弦定理：在 $	riangle ABC$ 中，$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$，即 $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$。 2. 三角形面積公式：$	ext{面積} = \dfrac{1}{2}bc\sin A$。 3. 正弦定理與外接圓半徑：$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$（其中 $R$ 為外接圓半徑）。 4. 正弦函數的多值性與角度判定：當 $\sin 	heta = k 0$ 時，在 $(0, \pi)$ 範圍內可能對應銳角或鈍角兩解。 --- 解題方法 設 $	riangle ABC$ 之三邊長對應為 $AB = c = 3$、$AC = b = 4$、$BC = a$。 依據各選項所給定的條件，分別利用正弦定理、餘弦定理或面積公式進行代數推導與幾何判斷。 --- 選項分析 (A) 正確 給定 $a = BC = \sqrt{13}$、$b = 4$、$c = 3$。 由餘弦定理： $$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{4^2 + 3^2 - (\sqrt{13})^2}{2 	imes 4 	imes 3} = \frac{16 + 9 - 13}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$$ 因 $0 < A < \pi$，故 $\angle A = \dfrac{\pi}{3}$（即 $60^\circ$）。 (B) 正確 給定 $a = BC = 5$、$b = 4$、$c = 3$。 檢驗三邊平方關係：$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，即 $c^2 + b^2 = a^2$。 故 $	riangle ABC$ 為以 $\angle A = 90^\circ$ 的直角三角形，其面積為： $$	ext{面積} = \frac{1}{2} 	imes 3 	imes 4 = 6$$ (C) 錯誤 由三角形面積公式： $$	ext{面積} = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} 	imes 4 	imes 3 	imes \sin A = 6\sin A$$ 依題意 $6\sin A = 3\sqrt{3} \implies \sin A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$。 在 $0 < A < \pi$ 的範圍內，$\angle A$ 可以是 $\dfrac{\pi}{3}$（$60^\circ$）或 $\dfrac…

Question 37

某公司對一新產品進行上市前的市場調查，得到售價 $x$（百元）時，願意購買人數 $y$（萬人）的資料如下表，其中有一欄位污損了，但是知道用最小平方法所得 $y$ 對 $x$ 的最適合直線（迴歸直線）為 $$ y=-\frac{10}{3}x+\frac{94}{3}. $$ | $x$（百元） | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | |---|---:|---:|---:|---:|---:| | $y$（萬人） | $13$ | $12$ | $9$ | | $4$ | 下列哪些選項是正確的？ (A) 變數 $x,y$ 的相關係數為 $-\frac{10}{3}$ (B) 變數 $x$ 的算術平均數為 $7$ (C) 變數 $y$ 的算術平均數為 $9$ (D) 污損欄位的值為 $2$ (E) 依此方法可預估售價為 $640$ 元時，購買人數有 $10$ 萬人

Accepted Answer

核心觀念 1. 二維數據的算術平均數： - 設資料點個數為 $n$，則 $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum{i=1}^{n} xi$，$\bar{y} = \frac{1}{n}\sum{i=1}^{n} yi$。 2. 最適合直線（迴歸直線）的幾何性質： - 由最小平方法所求得之 $y$ 對 $x$ 的迴歸直線 $y = mx + k$，必定通過資料的中心點（平均數點）$(\bar{x}, \bar{y})$，即滿足： $$ \bar{y} = m\bar{x} + k $$ 3. 相關係數的範圍與意義： - 相關係數 $r$ 之值必定滿足 $-1 \le r \le 1$。 - 迴歸直線的斜率 $m = r \cdot \frac{Sy}{Sx}$，其正負符號與 $r$ 相同，但數值一般不等於 $r$。 4. 迴歸直線的預測應用與單位換算： - 使用迴歸直線進行預測時，代入之變數數值必須符合題目設定的單位（如本題 $x$ 為「百元」、$y$ 為「萬人」）。 --- 解題方法 1. 計算 $\bar{x}$： 資料共有 $n = 5$ 筆，$x$ 的值分別為 $5, 6, 7, 8, 9$： $$ \bar{x} = \frac{5 + 6 + 7 + 8 + 9}{5} = \frac{35}{5} = 7 $$ 2. 求出 $\bar{y}$： 將中心點 $(\bar{x}, \bar{y}) = (7, \bar{y})$ 代入迴歸直線方程式 $y = -\frac{10}{3}x + \frac{94}{3}$： $$ \bar{y} = -\frac{10}{3}(7) + \frac{94}{3} = \frac{-70 + 94}{3} = \frac{24}{3} = 8 $$ 3. 求出污損欄位之值： 設污損欄位的值為 $a$，由 $\bar{y} = 8$ 得五筆 $y$ 值的總和為 $5 	imes 8 = 40$： $$ 13 + 12 + 9 + a + 4 = 40 \implies 38 + a = 40 \implies a = 2 $$ 4. 進行數值預測：

Question 38

已知 $A、B$ 均為 $2$ 階方陣，且 $$ O=\begin{bmatrix}0&0\0&0\end{bmatrix},\qquad I=\begin{bmatrix}1&0\0&1\end{bmatrix}, $$ $\det(M)$ 代表方陣 $M$ 的行列式值。下列哪些選項是正確的？ (A) 若 $A、B$ 的乘法反方陣存在，則 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。 (B) 若 $A、B$ 均為轉移矩陣，則 $\frac{1}{2}(A+B)$ 亦為轉移矩陣。 (C) $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$。 (D) $\det(5A)=5\det(A)$。 (E) 若 $A^2=A$，則 $A=O$ 或 $A=I$。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查二階矩陣的基本代數性質與運算規則，主要涵蓋以下核心知識點： 1. 反矩陣性質：若方陣可逆，則積的反矩陣滿足反向相乘規律 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。 2. 轉移矩陣定義：二階轉移矩陣的各元素皆須滿足非負性（$\ge 0$），且每一行的元素和必須等於 $1$。 3. 矩陣乘法的非交換性：一般情況下矩陣乘法不滿足交換律（$AB \neq BA$），因此乘法展開公式如 $(A+B)^2$ 不能隨意寫成 $A^2 + 2AB + B^2$。 4. 行列式值的倍數性質：對於 $n$ 階方陣 $A$ 與純量 $k$，其行列式值滿足 $\det(kA) = k^n \det(A)$；當 $n=2$ 時，$\det(kA) = k^2 \det(A)$。 5. 冪等矩陣（Idempotent Matrix）：滿足 $A^2 = A$ 的矩陣稱為冪等矩陣，除零矩陣 $O$ 與單位矩陣 $I$ 外，尚存在許多非零且非單位矩陣的投影矩陣解。 --- 解題方法 針對五個選項，採用「性質推導」與「反例檢驗」相結合的切入方式： - 對於一般性成立的命題（如反矩陣反向相乘律、轉移矩陣的凸組合），運用定義與代數性質進行嚴謹推導。 - 對於普遍不成立的假命題（如矩陣乘法展開、純量與行列式運算、矩陣方程解），舉出具體的二階矩陣反例予以否定。 --- 選項分析 - (A) 正確 若 $A, B$ 的反矩陣存在，根據反矩陣定義，只需檢驗 $(AB)$ 與 $(B^{-1}A^{-1})$ 相乘是否為單位矩陣 $I$： $$ (AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = A I A^{-1} = A A^{-1} = I $$ 同理： $$ (B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1} I B = B^{-1}B = I $$ 故 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ 確實成立。 - (B) 正確 設 $A = \begin{bmatrix} a1 & c1 \ b1 & d1 \end{bmatrix}$ 與 $B = \begin{bmatrix} a2 & c2 \ b2 & d2 \end{bmatrix}$ 為轉移矩陣，依定義滿足： 1. 各元素非負：$ai, bi, ci, di \ge 0$ ($i=1, 2$)。 2. 行和為 $1$：$a1+b1 = 1$, $c1+d1 = 1$, $a2+b2 = 1$, $c2+d2 = 1$。 令 $M = \frac{1}{2}(A+B) = \begin{bmatrix} \frac{a1+a2}{2} & \frac{c1+c2}{2} \[6pt] \frac{b1+b2}{2} & \…

Question 39

已知某傳染病的快篩試劑的陽性準確率（染病檢測出染病的機率）為 $91\%$，陰性準確率（沒染病檢測出沒染病的機率）為 $99\%$。在無症狀人口中有 $1\%$ 染病的假設下，用此快篩試劑檢測無症狀人口。下列哪些選項是正確的？ (A) 染病的人卻測出沒染病的機率為 $9\%$。 (B) 沒染病的人卻測出染病的機率為 $1\%$。 (C) 隨機抽檢一人，誤判的機率比 $1\%$ 還低。 (D) 隨機抽檢一人，結果呈現陽性的機率為 $1.9\%$。 (E) 隨機抽檢一人，結果呈現陽性，則此人真正染病的機率不到 $50\%$。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查高中數學「條件機率」、「全機率公式」與「貝氏定理」的綜合應用。 關鍵定義與計算公式如下： 1. 條件機率與餘事件關係： 在事件 $B$ 發生的條件下，事件 $A$ 的條件機率為 $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$，且其餘事件條件機率滿足 $P(A^c|B) = 1 - P(A|B)$。 2. 全機率公式（Law of Total Probability）： 若 $D$ 與 $D^c$ 構成樣本空間的分割，則事件 $T^+$ 發生的邊際機率為： $$P(T^+) = P(D) \cdot P(T^+|D) + P(D^c) \cdot P(T^+|D^c)$$ 3. 貝氏定理（Bayes' Theorem）： 已知檢驗呈現陽性，推算真正染病的條件機率（陽性預測值）： $$P(D|T^+) = \frac{P(D \cap T^+)}{P(T^+)} = \frac{P(D) \cdot P(T^+|D)}{P(D) \cdot P(T^+|D) + P(D^c) \cdot P(T^+|D^c)}$$ --- 解題方法 定義相關事件符號： - $D$：個人真正「染病」，$D^c$：個人「未染病」。 - $T^+$：快篩檢測結果為「陽性」，$T^-$：快篩檢測結果為「陰性」。 依題意列出已知條件： - 無症狀人口染病率：$P(D) = 1\% = 0.01$，因此未染病率 $P(D^c) = 1 - 0.01 = 99\% = 0.99$。 - 陽性準確率（敏感度）：$P(T^+|D) = 91\% = 0.91$。 - 陰性準確率（特異度）：$P(T^-|D^c) = 99\% = 0.99$。 算定各分組事件之交集機率（即全體人口的比率）： 1. 染病且檢測陽性：$P(D \cap T^+) = P(D) \cdot P(T^+|D) = 0.01 	imes 0.91 = 0.0091$（$0.91\%$） 2. 染病但檢測陰性：$P(D \cap T^-) = P(D) \cdot P(T^-|D) = 0.01 	imes (1 - 0.91) = 0.0009$（$0.09\%$） 3. 未染病但檢測陽性：$P(D^c \cap T^+) = P(D^c) \cdot P(T^+|D^c) = 0.99 	imes (1 - 0.99) = 0.0099$（$0.99\%$） 4. 未染病且檢測陰性：$P(D^c \cap T^-) = P(D^c) \cdot P(T^-|D^c) = 0.99 	imes 0.99 = 0.9801$（$98.01\%$） --- 選項分析 - (A) 正確 題目定義「染病的人測出染病」為 $P(T^+|D) = 91\%$。 故「染病的人卻測出沒染病…

Question 40

【題組共用題幹】 如圖，在長方體 $OABC-DEFG$ 中，點 $A、C、G$ 依序在 $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸的正向上，$OA=OC=6$，$OG=12$。$\lambda$ 為長方體表面上從 $A$ 點到 $F$ 點的最短路徑，$P$ 為 $\lambda$ 和長方體稜邊的交點（$P
e A$ 且 $P
e F$），$	heta$ 為平面 $ABC$ 和平面 $AGC$ 在長方體內部的夾角。下列哪些選項是正確的？ (A) $E$ 點坐標為 $(6,12,6)$ (B) $\lambda$ 的長度小於 $20$ (C) $P$ 點 $z$ 坐標為 $8$ (D) $E$ 點到平面 $AGC$ 的距離為 $8$ (E) $\cos	heta=-\frac{1}{3}$ （圖形請參考原卷。）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 長方體的空間坐標表示。 - 長方體表面最短路徑：將經過的表面展開成平面後，以兩點間線段求長。 - 點到平面的距離公式。 - 兩平面夾角的判定，並注意題目所指為長方體內部的二面角。 建立坐標： $$ O=(0,0,0),\quad A=(6,0,0),\quad C=(0,6,0),\quad G=(0,0,12). $$ 因此 $$ B=(6,6,0),\quad D=(6,0,12),\quad E=(6,6,12),\quad F=(0,6,12). $$ --- 解題方法 (A) 判斷 $E$ 點坐標 由長方體三個方向的邊長分別為 $6,6,12$，所以 $$ E=(6,6,12). $$ 題目選項給出 $(6,12,6)$，坐標順序與實際位置不符，故錯誤。 --- (B) 求表面最短路徑 $\lambda$ 取經過面 $ABED$ 與面 $DEFG$ 的路徑，將兩面沿著公共邊 $DE$ 展開。 展開後，$A$ 到 $F$ 的水平距離為 $6$，垂直距離為 $$ 12+6=18. $$ 因此展開圖中的最短路徑長為 $$ \lambda=\sqrt{6^2+18^2} =\sqrt{36+324} =6\sqrt{10}. $$ 因為 $$ 6\sqrt{10}\approx18.97<20, $$ 故選項正確。 --- (C) 判斷交點 $P$ 的 $z$ 坐標 在上述展開圖中，線段 $AF$ 從高度 $0$ 上升至高度 $18$。經過公共邊 $DE$ 時，高度為 $12$，但此公共邊在原長方體中即為上方水平稜邊，故其 $z$ 坐標為 $$ z=12. $$ 不是 $8$，故錯誤。 --- (D) 求 $E$ 到平面 $AGC$ 的距離 平面 $AGC$ 通過

111 警專考試甲組 專41正期組 學年度警專第41期(正期學生組)- 甲組數學 考古題詳解

第 1 題2 分

第 2 題2 分

第 3 題2 分

第 4 題2 分

第 5 題2 分

第 6 題2 分

第 7 題2 分

第 8 題2 分

第 9 題2 分

第 10 題2 分

第 11 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 12 題2 分

第 13 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 14 題2 分

核心觀念

解題方法

第 15 題2 分

核心觀念

解題方法

第 16 題2 分

核心觀念

解題方法

方法一：外積法（推薦首選）

方法二：長度與內積公式（代數驗算法）

第 17 題2 分

核心觀念

解題方法

第 18 題2 分

方法一：總人數法（直觀計算）

方法二：全機率公式（權重比例法）

第 19 題2 分

核心觀念

解題方法

第 20 題2 分

第 21 題2 分

第 22 題2 分

第 23 題2 分

第 24 題2 分

第 25 題2 分

第 26 題2 分

核心觀念

解題方法

情況一：a=3a=3a=3

情況二：a=−3a=-3a=−3

第 27 題2 分

第 28 題2 分

第 29 題2 分

第 30 題2 分

第 31 題4 分

第 32 題4 分

第 33 題4 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 34 題4 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 35 題4 分

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) 錯誤

(B) 錯誤

第 36 題4 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 37 題4 分

核心觀念

解題方法

第 38 題4 分

第 39 題4 分

111 警專考試甲組專41正期組學年度警專第41期(正期學生組)- 甲組數學考古題詳解

情況一： $a=3$

情況二： $a=-3$

(A) 判斷 $E$ 點坐標

(B) 求表面最短路徑 $\lambda$

(C) 判斷交點 $P$ 的 $z$ 坐標

(D) 求 $E$ 到平面 $AGC$ 的距離