111 警專考試甲組 專41正期組 學年度警專第41期(正期學生組)-物理 考古題詳解

核心觀念

本題考查物理量的微觀長度單位換算與數量級計算：

1. 國際單位制詞頭與長度單位定義：

• 奈米（$\text{nm}$）：$1\text{ nm} = 10^{-9}\text{ m}$
• 埃（$\text{\AA}$）：$1\text{ \AA} = 10^{-10}\text{ m}$

2. 長度與微觀粒子排列關係：

• 若原子一維緊密排列，原子數目 $N$ 為總長度 $L$ 與單一原子直徑 $d$ 的比值： $N = \frac{L}{d}$

解題方法

1. 統一長度單位至公尺（$\text{m}$）：

• 題目給定製程尺度（總長度）$L = 3\text{ nm} = 3 \times 10^{-9}\text{ m}$
• 單一原子直徑 $d = 1\text{ \AA} = 1 \times 10^{-10}\text{ m}$

2. 計算排列原子數 $N$： $N = \frac{L}{d} = \frac{3 \times 10^{-9}\text{ m}}{1 \times 10^{-10}\text{ m}} = 3 \times 10^{(-9) - (-10)} = 3 \times 10^1 = 30\text{（個）}$

因此，$3\text{ nm}$ 約為 $30$ 個原子的排列長度。

核心觀念

本題考查基礎運動學中的自由落體運動（初速度為零的等加速度直線運動）與國際標準制（SI 制）單位換算。

1. 自由落體位移與時間關係：物體由靜止自高度 $h$ 自由落下，其位移公式為： $h = \frac{1}{2}gt^2$ 落至地面所需時間： $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$
2. SI 制單位換算：重力加速度單位為 $\mathrm{m/s^2}$，高度必須先由公分（$\mathrm{cm}$）轉換為公尺（$\mathrm{m}$），即 $1\ \mathrm{m} = 100\ \mathrm{cm}$。

解題方法

1. 統整已知條件並換算單位：

• 初速度 $v_0 = 0$
• 落下高度 $h = 80\ \mathrm{cm} = 0.8\ \mathrm{m}$
• 重力加速度 $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$

2. 代入自由落體公式計算： 根據自由落體運動公式： $h = \frac{1}{2}gt^2$ 將數值代入： $0.8 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$ $0.8 = 5t^2$ $t^2 = \frac{0.8}{5} = 0.16$ 開根號求得時間 $t$： $t = \sqrt{0.16} = 0.4\ \mathrm{s}$

因此，手機自釋放到落至地面約需歷時 $0.4$ 秒。

核心觀念

1. 自由落體運動：物體由靜止釋放（初速 $v_0 = 0$），僅受重力作用向下運動，其加速度為重力加速度 $g$ 的等加速度直線運動。
2. 等加速度運動無時間公式：末速率 $v$、初速 $v_0$、加速度 $g$ 與位移 $h$ 之關係式為： $v^2 = v_0^2 + 2gh$
3. 力學能守恆定律（能量觀點）：下落過程中重力位能完全轉化為動能： $mgh = \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{2gh}$
4. SI 制單位換算：計算物理量前須統一單位，長度由公分（$\mathrm{cm}$）換算為公尺（$\mathrm{m}$）： $80\ \mathrm{cm} = 0.8\ \mathrm{m}$

解題方法

步驟一：整理已知物理量並轉換單位

• 初速度：$v_0 = 0\ \mathrm{m/s}$（靜止釋放）
• 下落距離（位移）：$h = 80\ \mathrm{cm} = 0.8\ \mathrm{m}$
• 重力加速度：$g = 10\ \mathrm{m/s^2}$

步驟二：代入運動學公式求末速率 利用等加速度運動公式： $v^2 = v_0^2 + 2gh$

將數值代入： $v^2 = 0^2 + 2 \times 10 \times 0.8 = 16$

兩邊開平方根取正值： $v = \sqrt{16} = 4\ \mathrm{m/s}$

選項分析

核心觀念

1. 動量的定義：在古典力學中，質點的線性動量（Linear Momentum，簡稱動量）定義為物體「質量」與其「瞬時速度」的乘積，數學式為： $\vec{p} = m\vec{v}$ 若僅求動量的大小（量值），則為質量與速率的乘積： $p = m v$ 其國際標準制（SI）單位為 $\mathrm{kg\cdot m/s}$（或 $\mathrm{N\cdot s}$）。
2. 狀態量性質：動量是物體在「某一特定時刻」的運動狀態量，其大小僅由該瞬間的質量 $m$ 與速率 $v$ 決定，與物體的運動歷程（如加速度大小、起始速度、歷時多久）無關。

解題方法

本題要求計算人在此特定時刻的動量大小，依據動量定義式直接求解。

1. 提取已知條件：

• 人的質量 $m = 60\ \mathrm{kg}$
• 該時刻的速率 $v = 3\ \mathrm{m/s}$
• （題目所提「等加速度 $1\ \mathrm{m/s^2}$」與「自靜止開始移動」為多餘的運動學敘述，不影響瞬時動量的計算）

2. 代入公式計算： $p = m \times v = 60\ \mathrm{kg} \times 3\ \mathrm{m/s} = 180\ \mathrm{kg\cdot m/s}$

核心觀念

本題考查牛頓第二運動定律與動量守恆與衝量定理：

1. 衝量－動量定理：物體所受的平均合力（$\bar{F}_{\text{net}}$）等於其動量變化量（$\Delta p$）除以作用時間（$\Delta t$），即： $\bar{F}_{\text{net}} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = m \frac{\Delta v}{\Delta t}$
2. 速度的向量性：速度為向量，反彈過程方向相反，計算速度變化量時必須設定正負方向。
3. 單位制轉換：質量必須換算為標準國際單位（$\mathrm{kg}$），即 $500\ \mathrm{g} = 0.5\ \mathrm{kg}$。

解題方法

1. 定義正方向與已知條件：

• 設鉛直向上為正方向（$+$），鉛直向下為負方向（$-$）。
• 籃球質量：$m = 500\ \mathrm{g} = 0.5\ \mathrm{kg}$。
• 撞擊前速度（向下）：$v_1 = -3\ \mathrm{m/s}$。
• 反彈後速度（向上）：$v_2 = +1\ \mathrm{m/s}$。
• 接觸時間：$\Delta t = 0.1\ \mathrm{s}$。

2. 計算速度變化量（$\Delta v$）： $\Delta v = v_2 - v_1 = 1 - (-3) = 4\ \mathrm{m/s} \quad (\text{方向向上})$

3. 計算籃球所受之平均合力（$F_{\text{net}}$）： $F_{\text{net}} = m \frac{\Delta v}{\Delta t} = 0.5 \times \frac{4}{0.1} = 0.5 \times 40 = 20\ \mathrm{N} \quad (\text{方向向上})$

核心觀念

1. 動量守恆定律（Law of Conservation of Momentum）：在水平方向上，若系統所受之合外力為零（碰撞時間極短，重力與地面摩擦力之衝量可忽略），系統在碰撞前後的總動量保持不變： $P_{\text{初}} = P_{\text{末}}$
2. 動量的向量性：動量為向量（$\vec{p} = m\vec{v}$），在直線運動中必須先設定正方向，反向運動之速度必須以「負號」代入運算。
3. 完全非彈性碰撞：兩物體碰撞後「合為一體」，代表碰撞後兩物體具有相同的共同速度 $v_{\text{共}}$。

解題方法

步驟一：設定坐標方向與已知條件

• 設定「向東」為正方向（$+$），則「向西」為負方向（$-$）。
• A 車：質量 $m_A = 1000\text{ kg}$，初速度 $v_A = +40\text{ km/h}$（向東）。
• B 車：質量 $m_B = 1500\text{ kg}$，初速度 $v_B = -10\text{ km/h}$（向西對撞）。

步驟二：計算碰撞前的系統總動量 $P_{\text{初}} = m_A v_A + m_B v_B$ $P_{\text{初}} = 1000 \times (+40) + 1500 \times (-10) = 40000 - 15000 = 25000\text{ kg}\cdot\text{km/h}$

步驟三：依動量守恆定律求解合體後的共同速度 設合體後兩車之共同速度為 $v_{\text{共}}$，系統總質量為 $M = m_A + m_B = 1000 + 1500 = 2500\text{ kg}$。 根據動量守恆定律 $P_{\text{初}} = P_{\text{末}}$： $25000 = (m_A + m_B) v_{\text{共}}$ $25000 = 2500 \times v_{\text{共}}$ $v_{\text{共}} = \frac{25000}{2500} = +10\text{ km/h}$

核心觀念

本題考查物理學中「等速圓周運動」（Uniform Circular Motion）的向心加速度（Centripetal Acceleration）定義與公式運用。

1. 等速圓周運動的特徵：物體沿圓周軌道以恆定速率跑步時，雖然速率（大小）保持不變，但運動方向時刻改變，因此必存在指向圓心的加速度，稱為「向心加速度」。
2. 向心加速度公式： $a_c = \frac{v^2}{R}$ 其中 $v$ 為線速率（$\mathrm{m/s}$），$R$ 為圓軌道半徑（$\mathrm{m}$）。
3. 質量的獨立性：運動學中的加速度僅取決於運動軌道的幾何特徵與速率大小，與物體自身的質量 $m$ 無關。

解題方法

1. 整理題目已知條件：

• 圓形跑道半徑 $R = 10\ \mathrm{m}$
• 跑步速率 $v = 2\ \mathrm{m/s}$
• 人體質量 $m = 50\ \mathrm{kg}$（誘答多餘條件，計算加速度時不需使用）

2. 帶入公式推導計算： 根據向心加速度公式： $a = \frac{v^2}{R} = \frac{2^2}{10} = \frac{4}{10} = 0.4\ \mathrm{m/s^2}$

得此人的加速度量值為 $0.4\ \mathrm{m/s^2}$。

選項分析

核心觀念

本題考查動量守恆定律（Law of Conservation of Momentum）與牛頓第三運動定律（Newton's Third Law of Motion）。

1. 動量定義：物體的動量 $\vec{p}$ 為質量 $m$ 與速度 $\vec{v}$ 的乘積，即 $\vec{p} = m\vec{v}$。
2. 動量守恆定律：當系統所受的「合外力為零」（在水平冰面上，重力與支持力平衡且摩擦力可忽略）時，系統的總動量保持不變，即系統初總動量等於末總動量： $P_{\text{初}} = P_{\text{末}}$
3. 內力不影響總動量：A 施力推 B 時，A 對 B 的推力與 B 對 A 的反作用力屬於系統內部的相互作用力（內力），不改變系統總動量。

解題方法

1. 設定系統與初狀態： 將 A 與 B 兩人視為同一個系統。兩人在溜冰場上原本皆為靜止，故系統的初始總動量 $P_{\text{初}}$ 為零： $P_{\text{初}} = m_A \cdot 0 + m_B \cdot 0 = 0$

2. 分析末狀態與方向： A 施力推 B 後，兩人在水平方向分道揚鑣。若取 B 的運動方向為正方向，則 B 的速度 $v_B = +3\ \mathrm{m/s}$；A 受反作用力向相反方向運動，速度設為 $v_A$。

3. 列出動量守恆方程式： 由於水平方向無外力作用，系統末總動量 $P_{\text{末}}$ 必等於初總動量 $P_{\text{初}}$： $P_{\text{初}} = P_{\text{末}}$ $0 = m_A v_A + m_B v_B$

4. 代入數值求解： 將已知條件 $m_A = 60\ \mathrm{kg}$、$m_B = 40\ \mathrm{kg}$、$v_B = 3\ \mathrm{m/s}$ 代入：

核心觀念

本題考查弦波的傳播速率與弦上駐波的基頻（最低音頻）​關係。

1. 弦波波速公式： 在線密度為 $\mu$、張力為 $F$ 的均勻緊繃弦上，橫波傳播速率 $v$ 為： $v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$

2. 弦上駐波頻率公式： 兩端固定的弦長為 $L$，其發出的最低音頻（即基頻 $f_1$，對應波長 $\lambda = 2L$）為： $f = \frac{v}{2L} = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{F}{\mu}}$ 在弦長 $L$ 與線密度 $\mu$ 保持不變的情況下，弦發出的音調（頻率 $f$）與弦張力 $F$ 的平方根成正比，即： $f \propto \sqrt{F}$

解題方法

1. 建立比例關係： 設原本弦的張力為 $F_1$，發出的基頻為 $f_1 = 300\text{ Hz}$；調整後的張力為 $F_2 = 4F_1$，調整後的基頻為 $f_2$。

2. 代入公式推導： 由 $f \propto \sqrt{F}$ 可得： $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{F_2}{F_1}}$

3. 數值計算： $\frac{f_2}{300} = \sqrt{\frac{4F_1}{F_1}} = \sqrt{4} = 2$

核心觀念

本題考查帶電粒子在均勻磁場中作等速圓周運動的物理特性，主要包含以下觀念與公式：

1. 磁力與向心力： 帶電量為 $q$ 的粒子以速度 $v$ 垂直射入磁感應強度為 $B$ 的均勻磁場時，所受磁力 $F_B = qvB$ 提供圓周運動所需的向心力： $qvB = \frac{mv^2}{r}$

2. 圓周運動週期公式推導： 軌道半徑 $r = \frac{mv}{qB}$。 將半徑代入圓周運動週期 $T = \frac{2\pi r}{v}$ 中： $T = \frac{2\pi \cdot \left(\frac{mv}{qB}\right)}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$ 此式顯示：在相同均勻磁場下，粒子的圓周運動週期 $T$ 僅與粒子的質量 $m$ 與 電量 $q$（即質量電量比 $\frac{m}{q}$）有關，與粒子的速度、動量及軌道半徑完全無關。

3. 質子與 $\alpha$ 粒子的基本特性：

• 質子（$p$）：質量 $m_p = m$，電量 $q_p = +e$。
• $\alpha$ 粒子（$\text{He}^{2+}$）：質量 $m_\alpha = 4m$，電量 $q_\alpha = +2e$。

解題方法

1. 建立週期正比關係： 由週期公式 $T = \frac{2\pi m}{qB}$ 可知，在相同的磁場 $B$ 下： $T \propto \frac{m}{q}$

2. 代入質子與 $\alpha$ 粒子的質量與電量：

• 質子的質量與電量比值： $\frac{m_p}{q_p} = \frac{m}{e} = 1$
• $\alpha$ 粒子的質量與電量比值： $\frac{m_\alpha}{q_\alpha} = \frac{4m}{2e} = 2$

核心觀念

地球自轉時，各緯度位置繞「地球自轉軸」旋轉一周所需時間相同，因此角速度相同。

角速度定義為

地球上任一固定位置皆隨地球自轉，每日相對地球自轉軸轉過 $360^\circ$，所以

其中 $T$ 為地球自轉週期。由於 A、B 同屬地球表面，具有相同的自轉週期 $T$，故角速度相同。

解題方法

A 位於赤道，B 位於北緯 $37^\circ$。雖然兩者距離地球自轉軸的距離不同，但均隨地球完成一次自轉：

且

因此

所以

緯度只會影響繞軸旋轉的圓周半徑與線速度。若地球半徑為 $R$，緯度為 $\phi$ 的位置到自轉軸的距離為

線速度為

核心觀念

本題考查楊氏雙狹縫干涉實驗的條紋間隔公式：

其中：

• $\Delta y$：相鄰兩亮帶之間的距離
• $\lambda$：雷射光波長
• $L$：雙狹縫至光屏的距離
• $d$：雙狹縫間距

題目給定相鄰亮帶間隔、狹縫間距與光屏距離，要求雷射光波長。

解題方法

由雙狹縫干涉條紋間隔公式：

解出波長：

將題目數據換算為 SI 制：

代入：

又因為：

核心觀念

本題考查角動量的運動定律：

其中：

• $\vec{L}$：物體的角動量
• $\dfrac{d\vec{L}}{dt}$：角動量的時變率
• $\vec{\tau}_{\text{net}}$：物體所受的合力矩

因此，角動量的時變率等於物體所受的合力矩。

解題方法

對質點而言，角動量定義為：

其中 $\vec{r}$ 是質點相對於參考原點的位置向量，$\vec{p}=m\vec{v}$ 是動量。

對時間微分：

利用向量乘積微分法則：

因為 $\dfrac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v}$，且 $\vec{p}=m\vec{v}$，所以：

又根據牛頓第二定律：

因此：

核心觀念

本題考查交流發電機的最大感應電動勢。依據法拉第電磁感應定律：

其中磁通量為：

因此感應電動勢為：

其最大值為：

其中：

• $N$：線圈匝數
• $B$：磁場大小
• $A$：線圈面積
• $\omega$：旋轉角頻率

解題方法

題目給定：

代入最大感應電動勢公式：

所以此交流發電機可產生的最大電動勢為 $800$ 伏特。

選項分析

核心觀念

光子的能量與波長成反比，公式為：

其中：

• $E$：光子能量
• $h$：普朗克常數
• $f$：光頻率
• $c$：光速
• $\lambda$：波長

因此，在光速與普朗克常數固定的情況下：

波長越長，光子能量越小。

解題方法

已知波長 $100$ 奈米的光子能量為 $12.4\ \text{eV}$。設波長 $200$ 奈米的光子能量為 $E_2$，利用反比關係：

因此：

所以波長 $200$ 奈米的光子能量為 $6.2\ \text{eV}$。

選項分析

核心觀念

本題考查德布羅意物質波公式。電子具有動量 $p$，其物質波波長為

電子由靜止開始，經電壓 $V$ 加速後，電場所做的功轉換為電子的動能：

其中 $e$ 為基本電荷量。

解題方法

電子初速為零，因此經過 $100\ \text{V}$ 電壓加速後：

由動量 $p=mv$，可得

因此

代入德布羅意公式：

電子經電壓 $V$ 加速時，常用快速公式為

本題 $V=100\ \text{V}$，所以

因此選擇 $\text{(D)}$。

選項分析

核心觀念

光由真空進入折射率為 $n$ 的介質時：

• 光的頻率 $f$ 由光源決定，通過介面時保持不變。
• 光在介質中的速率為 $v=\frac{c}{n}$
• 波速、頻率與波長的關係為 $v=f\lambda$

因此，介質中的波長為 $\lambda=\frac{v}{f}$

解題方法

將介質中的光速 $v=\dfrac{c}{n}$ 代入波動公式：

所以單色光在此介質中的波長為：

選項分析

• (A) $\dfrac{f}{c}$：錯誤。 此式為 $\dfrac{1}{\lambda}$ 在真空中的形式，並非波長本身，且缺少折射率 $n$ 的影響。

核心觀念

本題考查「功－能定理」：

其中，$W_{\text{合}}$ 為合力所做的功，$\Delta K$ 為物體動能的變化量。

物體由靜止開始，因此初動能為

已知物體受到水平向右的合力 $6\ \text{N}$，且向右移動 $2\ \text{m}$，合力與位移同方向，夾角為 $0^\circ$。

解題方法

合力所做的功為

代入

依功－能定理：

因為物體自靜止開始，$K_i=0$，所以

因此物體移動 $2\ \text{m}$ 時的動能為

核心觀念

本題考查單原子理想氣體的內能。理想氣體分子的總能量，指氣體的內部能量，主要來自分子無規則運動的平動動能。

單原子氣體分子具有三個平動自由度，因此每個分子的平均平動動能為

若氣瓶內有 $N$ 個分子，氣體總內能為

解題方法

由能量均分定理，單原子理想氣體每個分子的平均動能為

乘上分子總數 $N$，得到氣體總能量：

亦可利用理想氣體方程式

將其代入，可寫成

因此本題的正確表示式是 $\frac{3}{2}NkT$。

選項分析

• (A) $\frac{3}{2}kT$：錯誤

這是單一分子的平均平動動能，沒有乘上分子數 $N$，不是氣體總能量。

核心觀念

平行金屬板間的均勻電場量值為

其中：

• $E$：電場量值，單位為 $\mathrm{V/m}$
• $V$：兩板間電壓
• $d$：金屬板間距離，必須換算成公尺

題目說金屬板邊長遠大於板間距離，可忽略邊緣效應，因此可直接使用均勻電場公式。

解題方法

已知

代入公式：

因此

選項分析

核心觀念

本題考查：

• 機械能守恆
• 圓周運動頂點的向心力條件
• 滑車要「緊貼軌道面不脫離」時，軌道支持力必須滿足 $N\geq 0$

滑車沿無摩擦軌道運動，因此機械能守恆。

解題方法

設滑車在最低點 $B$ 的速率為 $v_B$，到達環頂 $A$ 的速率為 $v_A$。

由 $B$ 到 $A$ 上升高度 $2R$，故由機械能守恆：

整理得：

在圓環頂端 $A$，重力與支持力皆指向圓心，提供向心力：

因為滑車不能脫離軌道，必須有 $N\geq 0$，所以：

因此：

代入能量關係：

所以最低點速率必須滿足：

各選項中，只有 $\sqrt{6gR}$ 大於此最低要求，因此它是「可能」的速率。

選項分析

• (A) $\sqrt{2gR}$：錯誤

核心觀念

本題考查載流導體在磁場中所受的安培力，以及牛頓第二運動定律。

金屬棒通有電流 $I$，且磁場 $B$ 垂直金屬棒時，所受磁力大小為

金屬棒由靜止釋放的瞬間，速度 $v=0$，因此沒有感應電動勢，電路中的電流由理想電池決定：

再利用牛頓第二定律：

解題方法

由於金屬棒剛由靜止釋放，初始瞬間的電流為

金屬棒受到的磁力為

因此加速度量值為

所以正確選項為 $(D)$。

選項分析

題情背景說明（承第 22 題）

在水平面上放置一組開口向東的 $U$ 形固定光滑銅軌道（電阻可忽略），西側連接電壓為 $V$ 的理想直流電源（電源極性為上端北側為正極、下端南側為負極）。軌道上垂直跨放一根長度為 $L$、質量為 $m$、電阻為 $R$ 的均勻金屬棒，空間中存在均勻且垂直射入紙面（垂直地面向下）的磁場 $\vec{B}$。

核心觀念

本題主要測驗載流導線在磁場中所受的磁力（安培力）及其方向判斷：

1. 封閉迴路電流方向： 直流電路中，電流 $I$ 自電池正極流出，經軌道流經金屬棒，再由負極流回。因此金屬棒上的電流方向為由北向南（朝南）。
2. 載流導線受磁力公式： $\vec{F} = I (\vec{L} \times \vec{B})$ 其中 $\vec{L}$ 為沿電流方向的導線位移向量，$\vec{B}$ 為外加磁場向量。
3. 磁力方向判定法則（右手開掌定則）：

• 大拇指：指向電流 $I$ 的流向。
• 四指伸直：指向外加磁場 $\vec{B}$ 的方向。
• 掌心所推的方向：即為導線所受磁力 $\vec{F}$ 的方向。

解題方法

1. 確認電流方向： 金屬棒跨接於南北兩側軌道間，電流由正極（北側軌道）經金屬棒流向負極（南側軌道），故金屬棒上的電流方向為向南（在紙面上為向下）。
2. 確認磁場方向： 題目設定外加磁場為均勻垂直射入紙面（在空間中為垂直向下）。

核心觀念

本題評量天體運行（圓軌道運動）中，萬有引力提供向心力與重力位能、動能及力學能的基本定義與關聯：

1. 向心力方程式：人造衛星繞地球作半徑為 $r$ 的等速圓周運動時，兩者間的萬有引力即為衛星所需的向心力。
2. 動能（$E_k$）：由運動速率決定，$E_k = \frac{1}{2}mv^2$。
3. 重力位能（$U$）：以無窮遠處為零位面，距離為 $r$ 時的重力位能定義為 $U = -\frac{GMm}{r}$。
4. 力學能（$E$）：系統的總力學能為動能與位能之和，即 $E = E_k + U$。

解題方法

1. 求人造衛星的動能（$E_k$）： 根據萬有引力定律與圓周運動向心力公式： $\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$ 等號兩邊同乘 $\frac{r}{2}$，可得動能： $E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2r}$

2. 確認系統的重力位能（$U$）： 以無窮遠處為重力位能零位面，衛星在半徑為 $r$ 的軌道上之重力位能為： $U = -\frac{GMm}{r}$

核心觀念

1. 力平衡條件（等速度運動）：物體作等速度運動時，加速度 $a = 0$，依據牛頓第一運動定律，物體所受合力為零（$\sum F = 0$）。因此向上拉力 $F$ 至少須等於總重力 $W$。
2. 瞬時功率公式：當施力 $\vec{F}$ 與速度 $\vec{v}$ 同方向時，輸出功率為： $P = F \cdot v$
3. 單位換算：功率的 SI 制單位為瓦特（$\mathrm{W} = \mathrm{N \cdot m/s}$），因此力的單位必須由「公斤重（$\mathrm{kgw}$）」換算為「牛頓（$\mathrm{N}$）」。 $1\ \mathrm{kgw} = g\ \mathrm{N} \approx 9.8\ \mathrm{N}\ (\text{估算常取 } 10\ \mathrm{N})$

解題方法

1. 受力分析與拉力計算： 電梯以等速度上升，故馬達施加於電梯向上的拉力 $F$ 至少等於電梯總重量： $F = W = 300\ \mathrm{kgw}$ 換算為標準制單位（取重力加速度 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ 或取估算值 $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$）： $F = 300 \times 9.8 = 2940\ \mathrm{N} \quad (\text{若取 } g = 10\ \mathrm{m/s^2}\text{，則 } F = 3000\ \mathrm{N})$

2. 計算馬達輸出功率： 代入功率公式 $P = F \times v$： $P = 2940\ \mathrm{N} \times 0.5\ \mathrm{m/s} = 1470\ \mathrm{W} \approx 1500\ \mathrm{W}$

核心觀念

本題測驗幾何光學中薄透鏡成像公式與凸透鏡成像性質。

1. 薄透鏡公式（高斯公式）： $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}$

• $p$：物距（實物為正，本題 $p = +20\text{ cm}$）
• $q$：像距（實像為正，虛像為負）
• $f$：焦距（凸透鏡 $f > 0$，本題 $f = +10\text{ cm}$）

2. 橫向放大率公式： $m = -\frac{q}{p} = \frac{h'}{h}$

• $h$：物體高度（本題 $h = 2\text{ cm}$）
• $h'$：像的高度
• $m > 0$ 為正立虛像；$m < 0$ 為倒立實像；$|m|$ 為尺寸放大倍率。

解題方法

已知凸透鏡焦距 $f = 10\text{ cm}$、物距 $p = 20\text{ cm}$、物高 $h = 2\text{ cm}$。

步驟一：計算像距 $q$ 與判定像的虛實 將數值代入薄透鏡公式： $\frac{1}{20} + \frac{1}{q} = \frac{1}{10}$ $\frac{1}{q} = \frac{1}{10} - \frac{1}{20} = \frac{1}{20} \implies q = +20\text{ cm}$ 計算所得 $q > 0$，表示成像於透鏡後方（光線實際會聚處），為實像，位置在鏡後 $20\text{ cm}$。

步驟二：計算放大率 $m$ 與像長 $h'$ 將 $p$ 與 $q$ 代入放大率公式： $m = -\frac{q}{p} = -\frac{20}{20} = -1$

核心觀念

1. 電功（電能）與電功率之關係： 電器消耗的電能等於電功率與使用時間的乘積： $E = P \times t$ 其中 $E$ 為電能（焦耳 $\text{J}$ 或度 $\text{kWh}$）、$P$ 為電功率（瓦特 $\text{W}$ 或仟瓦 $\text{kW}$）、$t$ 為使用時間（秒 $\text{s}$ 或小時 $\text{hr}$）。

2. 電能實用單位「度」之定義： 日常生活中計量用電所稱的「1 度電」，定義為功率為 1 仟瓦（$1\text{ kW} = 1000\text{ W}$）的電器，連續運轉 1 小時（$\text{hr}$）所消耗的電能，即 1 仟瓦・小時（$1\text{ kWh}$）： $1\text{ 度} = 1\text{ kWh} = 1000\text{ W} \times 1\text{ hr} = 1000\text{ W} \times 3600\text{ s} = 3.6 \times 10^6\text{ J}$

3. 計算耗電度數公式： $\text{耗電度數 (度)} = \frac{P(\text{W})}{1000} \times t(\text{hr}) = P(\text{kW}) \times t(\text{hr})$

解題方法

1. 整理已知條件：

• 冷氣機運轉功率：$P = 1500\text{ W} = 1.5\text{ kW}$

核心觀念

本題考查都卜勒效應：聲源與聽者之間的相對運動，會使聽者接收到的頻率改變。

聽者固定在 $P$ 點，因此關鍵不是聲源的速率大小，而是聲源速度在「聲源與聽者連線方向」上的分量：

• 聲源朝向聽者運動：接收頻率升高。
• 聲源背離聽者運動：接收頻率降低。
• 聲源速度垂直於聲源與聽者連線：沒有沿連線方向的速度分量，頻率不因徑向運動而改變。

對固定聽者、運動聲源而言，可表示為

其中 $\theta$ 為聲源速度方向與聲源指向聽者方向的夾角。當聲源朝向聽者的速度分量越大，$f'$ 越高。

解題方法

聲源沿圓周順時針運動，逐點判斷其瞬時速度方向與 $P$ 點的相對位置：

• 在 $A$ 點，聲源速度向下，而 $AP$ 為水平線，兩者垂直，因此沒有朝向 $P$ 的速度分量。
• 在 $B$ 點，聲源速度方向為左下方，而聲源到 $P$ 的方向為右上方，聲源遠離聽者，接收頻率降低。