112 鐵路特考佐級 電力工程 基本電學大意 考古題詳解

核心觀念

四環式色碼電阻的前三環依序表示「第一位有效數字、第二位有效數字、倍率」，第四環表示誤差。串聯電阻的等效電阻為各電阻值相加：

$R_{\text{總}}=R_1+R_2$

解題方法

棕色代表 $1$、紅色代表 $2$、黑色代表 $0$；紅色倍率為 $10^2$，銀色誤差為 $\pm 10\%$。

• 棕、黑、紅、銀：$10\times 10^2=1{,}000\ \Omega=1.0\ \text{k}\Omega$
• 紅、黑、紅、銀：$20\times 10^2=2{,}000\ \Omega=2.0\ \text{k}\Omega$

串聯標稱值為：

$R_{\text{總}}=1.0+2.0=3.0\ \text{k}\Omega$

選項分析

核心觀念

直流伏特計改變量程時，須在原伏特計內部電阻 $R_v$ 外串聯倍率電阻 $R_m$，使滿刻度時通過表頭的電流維持不變。

原伏特計滿刻度電流為

其中：

• $V_v=200\text{ V}$
• $R_v=15\text{ k}\Omega$

解題方法

原伏特計的滿刻度電流：

改裝後量測 $600\text{ V}$ 時，總電阻必須為

代入 $I_m$：

總電阻由原內電阻與串聯電阻組成，因此

選項分析

核心觀念

電阻的溫度係數描述溫度改變時，材料電阻如何變化。金屬通常具有正的電阻溫度係數：溫度升高時，晶格振動加劇，電子散射增加，電阻隨之上升。半導體的電阻溫度係數通常為負值：溫度升高時，載子數量增加，電阻傾向下降。

解題方法

辨認材料種類即可判斷：

• 銀、鎳、鋁皆為金屬，室溫下電阻溫度係數為正值。
• 矽為半導體，室溫下電阻溫度係數為負值。

因此應選半導體材料「矽」。

選項分析

核心觀念

原子所帶的淨電量，等於質子與電子電量的代數和。每個質子帶正電量 $+e$，每個電子帶負電量 $-e$，其中基本電荷量 $e\approx1.6\times10^{-19}\,\text{C}$。

解題方法

此原子有 $3$ 個質子與 $2$ 個電子，因此淨電量為

質子比電子多一個，故原子帶一個基本正電荷。

選項分析

核心觀念

本題考查：

• 串聯電路：電流相同，電阻可直接相加。
• 並聯電路：各支路電壓相同。
• 電阻消耗功率： $P=I^2R=\frac{V^2}{R}$

圖中 $2\ \Omega$ 電阻兩端與導線並聯，等同被理想導線短路，因此 $2\ \Omega$ 電阻不影響電路。

解題方法

右側支路的 $5\ \Omega$ 與 $7\ \Omega$ 串聯：

$R_{\text{右支路}}=5+7=12\ \Omega$

此 $12\ \Omega$ 支路與中間的 $6\ \Omega$ 電阻並聯：

再與上下兩個 $1\ \Omega$ 電阻串聯，總電阻為：

$R_{\text{總}}=1+4+1=6\ \Omega$

電源為 $18\ \text{V}$，因此總電流：

$I_{\text{總}}=\frac{18}{6}=3\ \text{A}$

並聯部分的等效電阻為 $4\ \Omega$，其兩端電壓：

核心觀念

均勻導線的電阻由材料電阻係數、導線長度及截面積決定：

其中 $R$ 為電阻，$\rho$ 為電阻係數，$L$ 為導線長度，$A$ 為截面積。計算前須將長度與截面積換成一致的 SI 單位。

解題方法

已知電阻係數 $\rho=1.8\times10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$。單位換算如下：

代入電阻公式：

選項分析

核心觀念

本題考查：

• 歐姆定律：$V=IR$
• 基爾霍夫電流定律（KCL）：節點流入電流總和等於流出電流總和
• 電路左右對稱，兩個 $3\ \Omega$ 電阻的電流相同

兩個電源皆為上端正極、下端負極，且下方導線為共同參考節點。

解題方法

已知任一個 $3\ \Omega$ 電阻的電流為 $2\text{ A}$，因此兩個 $3\ \Omega$ 電阻各有 $2\text{ A}$ 電流流入中央節點。

由 KCL，流經中央 $6\ \Omega$ 電阻的電流為：

中央節點相對於下方共同節點的電壓為：

每個 $3\ \Omega$ 電阻上的電壓降為：

由左側或右側電源上端到中央節點，電壓關係為：

因此：

選項分析

核心觀念

並聯電路各支路兩端的電壓相同。電阻消耗的功率可用 $P=\dfrac{V^2}{R}$ 計算；在電壓相同時，功率與電阻值成反比。

解題方法

因為 $R_1$ 與 $R_2$ 並聯，所以兩者電壓相同，設共同電壓為 $V$：

題目給定 $R_2=3R_1$，因此：

選項分析

核心觀念

本題考查電阻功率公式與電壓極性判斷：

其中 $V_R$ 為電阻兩端的電壓。關鍵在於判斷 $R_1$ 兩端的電位差，而非直接將兩電源的功率相加。

解題方法

以下端公共節點作為參考電位 $0$。

左側電源 $E_1$ 的上端為正，因此 $R_1$ 左端電位為：

右側電源 $E_2$ 的上端標示為負、下端為正，因此 $R_1$ 右端電位為：

所以 $R_1$ 兩端電壓為：

套用電阻功率公式：

因此正確選項為 (B)。

選項分析

• (A) $\left(\frac{E_1^2}{R_1}-\frac{E_2^2}{R_2}\right)$ 錯誤。

核心觀念

均勻電場中，電場力對電荷所做的功為

其中 $q$ 為電荷量，$E$ 為電場強度，$d$ 為位移大小，$\theta$ 為位移方向與電場方向的夾角。點積中的 $\cos\theta$ 代表位移在電場方向上的分量。

解題方法

題目給定 $E=200\ \text{V/m}$、$d=50\ \text{m}$、$\theta=120^\circ$，且電場力做功 $W=20000\ \text{J}$。代入公式：

因為 $\cos120^\circ=-\frac{1}{2}$，所以

解得

核心觀念

戴維寧等效電路的開路電壓為

由於端點 $a$ 開路，右側 $1\Omega$ 電阻沒有電流通過，因此其電壓降為 $0$，可視為：

其中 $V_N$ 為 $10\Omega$、$6\Omega$ 與 $2\text{ A}$ 電流源交會的上方節點電壓。

解題方法

令下方節點 $b$ 為接地，則

由上方節點套用 KCL，取離開節點的電流為正。

左側 $10\Omega$、$54\text{ V}$ 電壓源與 $2\Omega$ 串聯支路的總電阻為

該支路由節點 $N$ 流向下方節點的電流為

$6\Omega$ 電阻電流為

電流源由上往下輸出 $2\text{ A}$，因此 KCL 為

核心觀念

本題考查克希荷夫電壓定律（KVL）與網孔電流法。電路中兩個電壓源的負端均接到底部共同節點，因此可先將底部節點設為接地：

• 左側電源上端電位為 $4\text{ V}$
• 右側電源上端電位為 $8\text{ V}$
• 中央上方節點電位設為 $V$

圖中 $I_b$ 的方向為右側網孔順時針方向，因此其上方 $1\Omega$ 電阻的實際電流方向為由右側 $8\text{ V}$ 電源流向中央節點。

解題方法

對中央節點套用KCL：

兩邊同乘以 $6$：

整理得：

右側 $1\Omega$ 電阻兩端電壓為：

因此由右側電源流向中央節點的電流為：

但圖中 $I_b$ 的順時針方向，在上方支路是由中央節點流向右側電源，與實際電流方向相反，所以：

核心觀念

諾頓等效電流 $I_N$ 定義為輸出端 $a$、$b$ 短路時，流經短路線的電流：

本題將 $a$、$b$ 短路後，原本的 $3\,\text{k}\Omega$ 電阻被短路旁路，不影響短路電流。

解題方法

短路後，$2\,\text{k}\Omega$ 與 $4\,\text{k}\Omega$ 皆連接在左側上方節點與下方節點之間，兩者並聯，並由 $75\,\text{mA}$ 電流源供電。

流經 $2\,\text{k}\Omega$ 的電流為電流分配：

此電流經過 $2\,\text{k}\Omega$ 後，由短路線流向 $a$、$b$ 端，因此：

核心觀念

含內阻的電源可等效為理想電壓源 $E$ 串聯內阻 $r$，再接上負載電阻 $R_L$。負載獲得最大功率時，符合最大功率傳輸條件：

傳輸效率定義為負載消耗的功率占電源總供給功率的比例：

解題方法

電源內阻與負載串聯，流過兩者的電流相同，設為 $I$。當 $R_L=r$ 時，負載功率與內阻損失分別為：

因此，電源總供給功率為 $P_{\text{總}}=P_L+P_r=2I^2r$，傳輸效率為：

核心觀念

本題考查節點電壓法中的「超節點（supernode）」分析：

• 電壓源直接跨接在兩個非參考節點 $v_1$、$v_2$ 之間，需將 $v_1$、$v_2$ 視為同一超節點。
• 電阻電流使用歐姆定律： $I=\frac{V}{R}$
• 電壓源左端為負、右端為正，且電壓值為 $2\text{ V}$。

解題方法

由圖中 $2\text{ V}$ 電壓源的極性：

$v_2-v_1=2$

因此：

$v_2=v_1+2$

對包含 $v_1$、$v_2$ 的超節點套用 KCL。兩個電流源皆由接地端流向節點，注入超節點的總電流為：

$1+4=5\text{ A}$

流出超節點至接地端的電流為：

• 經由 $2\Omega$ 電阻： $\frac{v_1}{2}$
• 經由 $4\Omega$ 電阻： $\frac{v_2}{4}$

因此：

核心觀念

本題考查克希荷夫電壓定律（KVL）與電阻的歐姆定律。圖中已知迴路電流為 $1\text{ A}$，依被動符號約定，沿電流方向通過電阻皆產生電壓降：

要求 $V_o$，可沿著電流方向繞行一周列 KVL 方程式。

解題方法

依圖示電流方向，迴路電流為順時針方向。各電阻的電壓降為：

• $2\Omega$ 電阻：$1\times 2=2\text{ V}$
• 左上 $1\Omega$ 電阻：$1\times 1=1\text{ V}$
• $3\Omega$ 電阻：$1\times 3=3\text{ V}$
• 下方 $1\Omega$ 電阻：$1\times 1=1\text{ V}$

因此電阻總電壓降為：

沿電流方向繞行：

• 通過 $10\text{ V}$ 電壓源，由負端到正端，為電壓上升 $+10\text{ V}$
• 通過 $6\text{ V}$ 電壓源，由正端到負端，為電壓降 $-6\text{ V}$

核心觀念

本題考查電阻的串聯、並聯化簡：

• 串聯：$R_{\text{eq}}=R_1+R_2$
• 並聯： $R_{\text{eq}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$
• 判斷並聯的要點是兩個元件連接在相同的兩個節點上。

解題方法

由右側電路開始化簡。

1. 右上方兩個 $10\Omega$ 電阻並聯：

$10\parallel10=\frac{10\times10}{10+10}=5\Omega$

再與下方 $5\Omega$ 電阻串聯：

$5+5=10\Omega$

2. 右側另一支路為 $7\Omega$ 與兩個 $6\Omega$ 並聯後串聯：

$6\parallel6=\frac{6\times6}{6+6}=3\Omega$

因此：

$7+3=10\Omega$

3. 上述兩個 $10\Omega$ 支路並聯：

$10\parallel10=5\Omega$

4. 從第二個節點往下的另一支路為 $6\Omega$ 與兩個 $4\Omega$ 並聯後串聯：

$4\parallel4=\frac{4\times4}{4+4}=2\Omega$

所以該支路為：

$6+2=8\Omega$

5. 第二個節點至下方公共導線，另一路為 $3\Omega+5\Omega=8\Omega$，因此兩個 $8\Omega$ 並聯：

$8\parallel8=4\Omega$

核心觀念

本題考查惠斯登電橋（Wheatstone bridge）的平衡條件。當檢流計 $G$ 中電流為零，即 $I_G=0$ 時，表示橋式兩端節點 $c$、$d$ 的電位相等：

因此電橋達到平衡時，四個電阻滿足比例關係：

解題方法

由題圖可知：

• 左支路上方為 $R_1=50\ \Omega$
• 左支路下方為 $R_3=20\ \Omega$
• 右支路上方為 $R_2=20\ \Omega$
• 右支路下方為未知電阻 $R_4$

套用電橋平衡條件：

代入數值：

交叉相乘：

因此：

核心觀念

電阻的額定功率表示它可承受的最大耗散功率。由 $P=I^2R$ 可知，電阻串聯時電流相同；由 $P=V^2/R$ 可知，電阻並聯時兩端電壓相同。此題須比較各電阻達到額定功率時，整體電路所能承受的功率。

解題方法

先求兩個 $10\ \Omega$ 並聯電阻各自的額定電流：

兩個並聯電阻承受相同電壓，因此其電流比為 $1:\sqrt{2}$。串聯的 $20\ \Omega$ 電阻電流等於並聯支路的總電流。當 $10\ \text{W}$ 電阻達到額定功率時，並聯總電流為

此時串聯 $20\ \Omega$ 電阻的功率為

已超過其 $60\ \text{W}$ 額定值，因此串聯電阻會先達到額定功率，成為限制條件。令串聯電阻電流為額定值：

核心觀念

本題考查三端網路的 Y–Δ（星形–三角形）等效轉換。

左圖為星形（Y 型）電路，三個電阻分別為：

• 左端至中心：$R_A=1\ \Omega$
• 右端至中心：$R_B=4\ \Omega$
• 下端至中心：$R_C=0.8\ \Omega$

右圖為π型電路，可視為三角形（Δ 型）電路：

• 左端與下端之間：$R_1$
• 左端與右端之間：$R_2$
• 右端與下端之間：$R_3$

解題方法

Y 轉換為 Δ 時，各三角形電阻為相鄰兩個星形電阻之和，再加上兩者乘積除以對面星形電阻：

代入數值：

因此：

選項分析

核心觀念

本題考查電磁感應與楞次定律：

• 開關 $S$ 閉合後，左側線圈中的電流由電池正極流入，且電流逐漸增加。
• 變動磁通量會在右側線圈產生感應電動勢。
• 依楞次定律，感應電流所產生的磁場，必須阻礙左側線圈磁通量的增加。

圖中左右線圈繞線方向相同。左側線圈電流由右端流向左端，因此右側線圈的感應電流必須由左端流向右端，才能產生反向磁場。

解題方法

右側線圈的左端為 $A$，右端為 $B$。感應電流由 $A$ 經線圈流向 $B$，再經外接電阻由 $B$ 流回 $A$。

電阻中的電流方向為：

電流通過電阻時由高電位流向低電位，因此：

所以：

選項分析

核心觀念

本題考查「動生電動勢」與法拉第電磁感應定律。

導體以速度 $\vec v$ 在磁場 $\vec B$ 中運動時，感應電動勢為

其中 $\theta$ 為導體運動方向與磁場方向的夾角。若導體內形成閉合路徑，且有感應電動勢，才會產生感應電流。

解題方法

由圖可見：

• 均勻磁場 $B$ 的方向向右；
• 圓形導體的移動方向也向右。

因此，導體速度與磁場方向平行，故

代入動生電動勢公式：

也可由洛倫茲力判斷：

因為 $\vec v$ 與 $\vec B$ 平行，所以

導體內沒有電荷受磁力推動，故無感應電動勢，也無感應電流。

選項分析

核心觀念

通電導線置於磁場中會受到磁力，大小由公式 $F=BIL\sin\theta$ 決定，其中 $B$ 為磁通密度、$I$ 為電流、$L$ 為導線長度，$\theta$ 為電流方向與磁場方向的夾角。

解題方法

先統一單位：$50\ \text{cm}=0.5\ \text{m}$。導線與磁力線垂直，因此 $\theta=90^\circ$，且 $\sin90^\circ=1$。

選項分析

核心觀念

MKS 是以公尺（meter）、公斤（kilogram）、秒（second）為基本單位的單位制。凡可由這三種基本單位組成的單位，都屬於 MKS 系統。

本題是辨認單位制：公分屬於 CGS 系統的長度單位；馬克士威是 CGS 制的磁通量單位；牛頓則是 MKS 制的力單位。①「章伯倫」是電容量單位，採 MKS 制。

解題方法

逐一辨認四個名稱代表的物理量與單位制：

• 章伯倫（farad）：電容量單位，屬 MKS 制。
• 公分（cm）：長度單位，屬 CGS 制（公分、克、秒）。
• 馬克士威（maxwell）：磁通量單位，屬 CGS 制。
• 牛頓（N）：力的 MKS 制單位，可由基本單位表示為

核心觀念

平行極板電容器的電容取決於極板面積、極板間距，以及極板間介質的介電常數。其公式為

其中 $C$ 為電容、$\varepsilon$ 為介電常數、$A$ 為極板面積、$d$ 為極板間距。

解題方法

在極板面積與介質均固定時，公式中的 $\varepsilon A$ 為常數，因此

也就是極板距離增加，電容減小；極板距離減少，電容增加。電容與距離成反比。

核心觀念

電容器串聯時，各電容器所帶電荷量相同；電壓則依電容量大小分配。電容器儲存的能量為

其中 $C$ 為電容量，$V$ 為該電容器兩端的電壓。

解題方法

串聯電容的等效電容量為

串聯電路中的電荷量相同，因此整體電荷量為

$6\ \mu\text{F}$ 電容器兩端的電壓為

所以其儲存能量為

核心觀念

本題考查 RC 電路的時間常數：

題目已指定經過 $5$ 倍時間常數視為充電完成，因此：

其中 $R_{\text{th}}$ 為電容器端所見的等效電阻，$C_{\text{eq}}$ 為整組電容器的等效電容量。

解題方法

先化簡電容器組合。

右側的 $12\text{ mF}$ 與 $4\text{ mF}$ 串聯：

此結果與中間的 $9\text{ mF}$ 並聯，因此：

再與左側的 $6\text{ mF}$ 串聯：

求時間常數時，將理想電壓源短路，電容器所見的等效電阻即為圖中的 $5\text{ k}\Omega$：

所以：

核心觀念

電感器儲存的磁場能量為

線圈的電感量 $L$ 與磁通量 $\Phi$ 的關係為

其中 $N$ 為線圈匝數，$I$ 為電流。題目所給的磁通量是每匝線圈所鏈結的磁通量，故磁通鏈結量為 $N\Phi$。

解題方法

先由磁通鏈結量求出電感量：

再代入電感器的儲能公式：

選項分析

核心觀念

本題考查一階 RC 電路的暫態響應。先將電容兩端以外的電路化為戴維寧等效電路，再使用電容充放電公式：

其中：

• $V_C(0^+)=4\text{ V}$：電容電壓不可瞬間改變。
• $V_{\infty}$：電容充電至穩態時的電壓。
• $\tau=R_{\text{th}}C$：RC 時間常數。

解題方法

開關閉合後，電容兩端接至兩個 $12\text{ V}$ 電源與電阻所形成的網路。

1. 求戴維寧電壓

在直流穩態時，電容相當於開路，因此沒有電流流過 $R_1$、$R_2$，電阻上沒有壓降。電容兩端的穩態電壓為

2. 求戴維寧電阻

將理想電壓源短路後，$R_1$ 與 $R_2$ 並聯：

3. 求時間常數

4. 代入 $t=2\text{ s}$