111 鐵路特考佐級 機檢工程 機械原理大意 考古題詳解

核心觀念

本題考查步進馬達的步進角，以及多線導螺桿的「螺距」與「導程」關係。

• 步進馬達每輸入一個脈波所轉動的角度，稱為一步進角。
• 導螺桿旋轉一整圈時，螺帽沿軸向移動的距離稱為導程。
• 雙線導螺桿具有兩條螺紋，因此：

$$\text{導程}=\text{螺距}\times\text{螺紋線數}$$

進給機構的最小解析度，即馬達轉動一步時所造成的軸向位移。

解題方法

已知步進角為 $3.6^\circ$，因此馬達轉一整圈所需的步數為：

$$N=\frac{360^\circ}{3.6^\circ}=100\text{ 步}$$

題目給定螺距為 $2\ \mathrm{mm}$，且為雙線導螺桿，因此每轉一圈的導程為：

$$L=2\ \mathrm{mm}\times 2=4\ \mathrm{mm}$$

馬達每轉動一步，導螺桿轉動的角度為 $3.6^\circ$，軸向進給量為：

$$\Delta x=\frac{\text{導程}}{\text{每圈步數}} =\frac{4\ \mathrm{mm}}{100} =0.04\ \mathrm{mm}$$

因此，此進給機構的最小解析度為：

$$\boxed{0.04\ \mathrm{mm}}$$

選項分析

• (A) $0.01\ \mathrm{mm}$：錯誤。 未正確套用本題的步進角與雙線導螺桿導程關係，計算結果不符。

• (B) $0.02\ \mathrm{mm}$：錯誤。

核心觀念

本題考查旋轉機械的功率公式：

$$P=T\omega$$

其中：

• $P$：功率，單位為 $\mathrm{W}$
• $T$：轉矩，單位為 $\mathrm{N\cdot m}$
• $\omega$：角速度，單位為 $\mathrm{rad/s}$

重物懸掛於長度 $r$ 的機械臂末端時，重物所產生的轉矩為：

$$T=Fr$$

因此：

$$P=Fr\omega$$

本題未給機械損失，依考試慣例採理想機械、功率完全用於抬升重物。

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解題方法

已知：

$$P=0.854\ \mathrm{kW}=854\ \mathrm{W}$$ $$r=5\ \mathrm{m}$$

角速度為 $50^\circ/\mathrm{s}$，必須先換算成弧度每秒：

$$\omega=50\times\frac{\pi}{180} =\frac{5\pi}{18} \approx 0.8727\ \mathrm{rad/s}$$

由功率公式：

$$P=Fr\omega$$

可得重物重量：

$$F=\frac{P}{r\omega}$$

代入數值：

$$F=\frac{854}{5\times 0.8727} \approx 195.7\ \mathrm{N}$$

又因為：

$$1\ \text{公斤重}\approx 9.8\ \mathrm{N}$$

所以可抬升的質量為：

$$m=\frac{195.7}{9.8} \approx 19.97\ \text{kg重}$$

取整數：

$$m\approx 20\ \text{公斤重}$$

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選項分析

• (A) $25$：錯誤。抬升 $25$ 公斤重物所需功率為

核心觀念

本題考查公制螺栓的螺紋標註方式。

公制螺紋通常以：

$$\text{M} \; \text{公稱直徑} \times \text{螺距}$$

表示，其中：

• M：Metric，代表公制螺紋。
• 公稱直徑：通常取螺栓螺紋的外徑，單位為 $\mathrm{mm}$。
• 螺距：相鄰兩牙同側對應點間的軸向距離，單位為 $\mathrm{mm}$。

解題方法

已知：

• 螺距為 $1.75\ \mathrm{mm}$
• 外徑為 $1.2\ \mathrm{cm}$

先將外徑換算為毫米：

$$1.2\ \mathrm{cm}=1.2\times 10=12\ \mathrm{mm}$$

因此：

• 公稱直徑為 $12\ \mathrm{mm}$
• 螺距為 $1.75\ \mathrm{mm}$

依公制螺栓標註格式：

$$\text{M}12\times1.75$$

故正確標註為 M12 × 1.75。

選項分析

(A) S12 × 1.75：錯誤

直徑 $12\ \mathrm{mm}$ 與螺距 $1.75\ \mathrm{mm}$ 的數值排列正確，但公制螺紋的識別符號應為 M，不是 S。因此標註符號錯誤。

核心觀念

本題考查**英制統一標準螺紋（Unified Thread Standard, UTS）**的規格標註意義與螺距計算。

統一標準螺紋（如 UNC、UNF、UNRF 等）之基本標註格式為： $\text{公稱外徑（英吋）} - \text{每吋牙數 } (n) \quad \text{系列代號}$

各部位標註含意如下：

1. 公稱直徑（大徑／外徑）：標註於最前端，單位為英吋（$\mathrm{inch}$）。本題為 $5/8\ \mathrm{inch}$。
2. 每吋牙數（Threads Per Inch, TPI）：連字號後的整數 $n$，代表每英吋長度內的螺牙數目。本題 $n = 18$（牙／吋）。
3. 螺距（Pitch, $P$）：相鄰兩牙對應點之軸向距離。英制螺紋之螺距由每吋牙數換算而得，計算公式為： $P = \frac{1}{n} \quad (\mathrm{inch})$
4. UNRF 代號意義：

• $\mathrm{UN}$：統一標準螺紋（牙角為 $60^\circ$）。
• $\mathrm{R}$：圓根（Round Root），指螺紋牙底製成圓弧狀，具降低應力集中、提升抗疲勞強度的功能。
• $\mathrm{F}$：細牙系列（Fine Thread）。

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解題方法

1. 辨識標註參數：

• 公稱直徑（外徑）$= 5/8\ \mathrm{inch}$
• 每吋牙數 $n = 18\ \text{牙}/\mathrm{inch}$
• 螺紋種類為統一標準細牙圓底螺紋（UNRF）

核心觀念

1. 螺旋起重機（Screw Jack）工作原理：利用手柄施加轉矩，經由螺桿斜面將旋轉運動轉化為直線升降運動，屬於省力機械。
2. 導程（Lead, $L$）與螺距（Pitch, $P$）之關係： 螺桿旋轉一圈，螺帽（或重物）沿軸向移動的距離稱為「導程 $L$」。對於多線螺桿，其關係式為： $L = n \times P$ 其中 $n$ 為螺桿線數（本題為雙線螺桿，$n = 2$），$P$ 為螺距（$15\ \mathrm{mm}$）。
3. 功的原理與機械效率（Efficiency, $\eta$）：

• 輸入功（手柄轉動一圈）：$W_{\text{in}} = F \times 2\pi R$（$F$ 為施力，$R$ 為手柄長度）
• 輸出功（重物抬升一導程）：$W_{\text{out}} = W \times L$（$W$ 為抬舉重物重量，$L$ 為導程）
• 機械效率 $\eta$：若機構之摩擦損失為 $30\%$，則有效輸出之機械效率為 $\eta = 100\% - 30\% = 70\% = 0.7$。
• 能量關係式： $W_{\text{out}} = W_{\text{in}} \times \eta$

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解題方法

步驟一：計算螺桿之導程 $L$ 本題螺桿為雙線螺桿（$n = 2$），螺距 $P = 15\ \mathrm{mm}$，故手柄每轉一圈，重物上升之導程為： $L = n \times P = 2 \times 15\ \mathrm{mm} = 30\ \mathrm{mm}$

步驟二：計算手柄旋轉一圈之輸入功 $W_{\text{in}}$ 手柄長度（作用半徑）$R = 300\ \mathrm{mm}$，最大施力 $F = 100\ \mathrm{N}$： $W_{\text{in}} = F \times 2\pi R = 100 \times 2\pi \times 300 = 60000\pi\ \mathrm{N\cdot mm}$

步驟三：考量機械效率並推導抬舉重量 $W$ 機構摩擦損失為 $30\%$，機械效率 $\eta = 1 - 0.3 = 0.7$。 依據功的關係式 $W_{\text{out}} = W_{\text{in}} \times \eta$： $W \times L = (F \times 2\pi R) \times \eta$ $W \times 30 = 60000\pi \times 0.7$ $W \times 30 = 42000\pi$

核心觀念

本題考查常見鎖緊件的構造、用途及防鬆原理，包括平墊圈、堡型有槽螺帽、錐形底部螺帽及圓錐型墊圈。

判斷重點在於區分：

1. 增加受力面積：降低螺栓頭或螺帽對工件表面的壓應力。
2. 密封防漏：須靠具有良好密封性的墊片、密封圈或專用密封結構達成。
3. 防止鬆脫：可利用開口銷、變形、摩擦力增加或幾何卡止等方式實現。
4. 自動對正：利用錐面使螺帽、螺栓或組合件在鎖緊時回到共同中心線。

本題各選項雖多涉及墊圈或螺帽的功能，但敘述若同時包含兩項功能，只要其中一項不成立，整個選項即屬錯誤。

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解題方法

先判斷各鎖緊件的主要功能：

• 平墊圈：主要作用是分散壓力、增加受力面積、保護工件表面。
• 堡型有槽螺帽：與開口銷配合，利用機械卡止防止螺帽旋轉鬆脫。
• 錐形底部螺帽：利用錐面在鎖緊過程中產生導向與對正作用。
• 圓錐型墊圈：鎖緊後可產生彈性或塑性變形，增加接合面的鎖緊與防鬆效果。

其中，平墊圈本身通常不是密封元件，因此「可增加受力面積和密封防漏」的敘述不完整且不正確，故選 A。

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選項分析

(A) 平墊圈可增加受力面積和密封防漏。

此項錯誤。

平墊圈置於螺栓頭、螺帽與工件之間，可擴大接觸面積，使夾緊力分散在較大的區域，降低工件表面的壓應力，並避免螺栓頭或螺帽直接傷害工件表面。

但一般平墊圈的主要功能不是密封防漏。平墊圈通常由金屬製成，表面並無專門的密封唇、彈性材料或密封結構，無法單獨確保液體、氣體不滲漏。密封防漏通常需使用密封墊片、O 形環、銅墊片、金屬密封環等專用元件。

因此，「增加受力面積」正確，但「密封防漏」並非一般平墊圈的基本功能。由於題幹將兩者並列為平墊圈的功能，整項敘述錯誤。

核心觀念

本題考查螺旋的幾何關係、標準螺紋規格、複式螺旋的傳動特性，以及螺旋起重機的機械利益。

重要公式如下：

1. 導程與螺距：

$$L=np$$

其中 $L$ 為導程、$n$ 為起數、$p$ 為螺距。

2. 螺旋起重機的理想機械利益：

$$MA=\frac{W}{P}=\frac{2\pi l}{L}$$

其中 $W$ 為負荷、$P$ 為施力、$l$ 為施力臂長度、$L$ 為螺紋導程。由此可知，機械利益與施力臂長度成正比，與導程成反比。

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解題方法

逐一檢查各選項的定義與公式：

• 公制標準螺紋角應為 $60^\circ$。
• 複式螺旋的傳動速度取決於螺旋方向及導程的合成關係。
• 螺旋起重機可視為斜面繞成螺旋，利用力矩平衡即可推得機械利益公式。

因此，直接以標準規格與螺旋起重機公式判斷即可。

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選項分析

(A) 相同節徑下，螺旋角愈大則導程愈大。

錯誤。

依本題命題所採用的螺旋角定義，螺旋角為螺旋線與螺旋軸線的夾角。其幾何關係為：

$$\tan\theta=\frac{\pi d}{L}$$

因此：

$$L=\frac{\pi d}{\tan\theta}=\pi d\cot\theta$$

在節徑 $d$ 固定時，螺旋角 $\theta$ 愈大，$\tan\theta$ 愈大，所以導程 $L$ 反而愈小，並非愈大。

本選項的爭議在於部分教材將「導程角」定義為螺旋線與垂直於軸線平面的夾角，此時有：

$$\tan\lambda=\frac{L}{\pi d}$$

依該定義，角度愈大確實導程愈大。但依本題官方答案所採用的角度慣例，A 選項判定為錯誤。

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(B) 公制標準螺紋的螺紋角是 $65^\circ$。

錯誤。

核心觀念

本題考查公制多線螺紋標記的判讀，重點包括：

• $M6$：公稱外徑為 $6\ \mathrm{mm}$。
• $1.0$：螺紋節距為 $1.0\ \mathrm{mm}$。
• $3N$：表示三線（三頭）螺紋。
• $5g6h$：螺紋公差等級標記，其中第一組通常表示節徑公差，第二組表示大徑公差。
• 多線螺紋的導程為：

$$\text{導程}=\text{線數}\times\text{節距}$$

三線螺紋在端面觀察時，各螺旋線的起始位置平均分布於一個圓周上。

解題方法

由螺紋標記

$$3N-M6\times1.0-5g6h$$

可判讀：

1. 線數為 $3$。
2. 公稱外徑為 $6\ \mathrm{mm}$。
3. 節距為 $1.0\ \mathrm{mm}$。
4. 導程為：

$$L=nP=3\times1.0=3.0\ \mathrm{mm}$$

其中 $n=3$ 為線數，$P=1.0\ \mathrm{mm}$ 為節距。

端面觀察三線螺紋時，三條螺旋線的起點平均分布在 $360^\circ$ 圓周上，因此相鄰螺旋線的夾角為：

$$\theta=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ$$

所以正確答案為（D）。

選項分析

（A）節徑是 $6\ \mathrm{mm}$。錯誤

標記中的 $M6$ 表示公稱大徑，也就是螺紋的公稱外徑為 $6\ \mathrm{mm}$，不是節徑。

核心觀念

本題考查外接正齒輪的基本關係：

1. 外接齒輪的轉向相反。
2. 齒輪嚙合時，節圓上的線速度相等，因此：

$$n_1 z_1=n_2 z_2$$

其中：

• $n$：轉速
• $z$：齒數

3. 節徑公式：

$$d=mz$$

其中：

• $d$：節徑
• $m$：模數
• $z$：齒數

4. 標準中心距：

$$a=\frac{d_1+d_2}{2} =\frac{m(z_1+z_2)}{2}$$

已知：

• $17$ 齒齒輪：$z_1=17$
• $40$ 齒齒輪：$z_2=40$
• 模數：$m=5\ \mathrm{mm}$
• $40$ 齒齒輪轉速：$n_2=34\ \mathrm{rpm}$

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解題方法

先利用齒數與轉速的反比關係，求出 $17$ 齒齒輪的轉速；再分別計算兩齒輪的節徑與標準中心距，逐項核對選項。

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選項分析

(A) 兩齒輪轉向相反

本題為外接正齒輪。兩齒輪在接觸點的切線速度方向相反，因此兩齒輪的旋轉方向必定相反。

所以 (A) 正確。

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(B) 該 $17$ 齒正齒輪轉速為 $80\ \mathrm{rpm}$

由齒輪嚙合關係：

$$n_1z_1=n_2z_2$$

代入數值：

$$n_1(17)=34(40)$$

因此：

$$n_1=\frac{34\times40}{17} =34\times\frac{40}{17} =80\ \mathrm{rpm}$$

所以 (B) 正確。

也可使用快速判斷：

$$\frac{n_1}{n_2}=\frac{z_2}{z_1} =\frac{40}{17}$$

核心觀念

本題考查齒輪傳動時，齒面接觸力可分解為切向力、徑向力與軸向力。判斷重點是齒輪的齒形及兩軸配置，是否會產生軸向分力。

正齒輪的齒線平行於軸線，且兩軸平行。其齒面作用力可分為切向力與徑向力，不產生軸向力；其中切向力負責傳遞轉矩，徑向力則使兩齒輪彼此分離。因此，題目問「主要僅產生徑向力」時，對應的是兩平行軸上的正齒輪組。

解題方法

先依齒輪型式判斷是否有螺旋角或特殊軸線配置：

• 直齒正齒輪：沒有齒線螺旋角，作用力不含軸向分力。
• 斜齒、螺旋齒及蝸桿傳動：齒面幾何或軸線配置會造成軸向分力。

因此，找出不會產生軸向力的傳動型式，即可選出正齒輪組。嚴格而言，正齒輪傳動仍有傳遞轉矩所需的切向力；題幹的「主要僅產生徑向力」是相對於其他選項會產生軸向分力而言。

選項分析

核心觀念

本題考查漸開線齒輪的「干涉（interference）」及其消除方法。

漸開線齒形只能存在於基圓以外。當一齒輪的齒頂越過對方齒輪的基圓，接觸到非漸開線部分時，就會產生干涉。常見的消除方法包括：

• 增大壓力角；
• 減少齒冠高度；
• 採用較多齒數；
• 使用變位齒輪；
• 適度增加中心距。

其中，壓力角增大時，基圓半徑 $r_b=r\cos\phi$ 減小，可增加有效漸開線接觸範圍，因此通常有助於降低干涉。

解題方法

判斷各選項是否能使齒輪齒頂與對方基圓以下的非漸開線部分避免接觸即可。

齒輪干涉的本質，是齒頂過高、有效齒形範圍不足，或兩齒輪的幾何接觸條件不適當。因此：

• 會降低齒頂高度、增加有效接觸範圍的措施，有助於消除干涉；
• 會提高齒頂、縮小有效接觸範圍的措施，會使干涉更加嚴重。

選項分析

(A) 縮短兩齒輪軸心距離

錯誤。縮短中心距會使兩齒輪更加靠近，齒頂更容易深入對方齒根附近，增加接觸到非漸開線部分的機會，干涉傾向反而提高。

通常應考慮適度增加中心距，但中心距過大會影響嚙合條件與接觸比，並非無限制增加。

(B) 減少壓力角

依本題官方答案判定為正確。

命題所採用的判斷是：調整壓力角可改變齒輪的嚙合幾何關係與接觸路徑，藉此避免齒頂與對方齒根非漸開線部分發生干涉。因此本題官方答案列為「減少壓力角」。

然而，依機械原理及標準漸開線齒輪理論，通常的結論是「增加壓力角」較能避免干涉。因為：

核心觀念

本題考查蝸桿與蝸輪的傳動比。蝸桿的「3 線螺紋」表示蝸桿為三線或三頭蝸桿，即蝸桿每轉一圈，可推動蝸輪前進 3 齒。

蝸輪減速比為：

$$i=\frac{\text{蝸輪齒數}}{\text{蝸桿線數}}$$

蝸輪輸出轉速公式為：

$$n_2=n_1\frac{z_1}{z_2}$$

其中：

• $n_1$：蝸桿輸入轉速
• $n_2$：蝸輪輸出轉速
• $z_1$：蝸桿線數
• $z_2$：蝸輪齒數

解題方法

已知：

$$n_1=600\ \mathrm{rpm},\qquad z_1=3,\qquad z_2=36$$

代入蝸輪輸出轉速公式：

$$n_2=600\times\frac{3}{36}$$ $$n_2=600\times\frac{1}{12}=50\ \mathrm{rpm}$$

因此蝸輪輸出轉速為：

$$\boxed{50\ \mathrm{rpm}}$$

選項分析

核心觀念

本題考查公制正齒輪的節圓直徑、模數與齒數之間的基本關係：

$$m=\frac{d}{z}$$

其中：

• $m$：模數
• $d$：節圓直徑
• $z$：齒數

因此可整理為：

$$z=\frac{d}{m}$$

壓力角 $20^\circ$ 是齒輪啮合幾何的重要參數，但本題求齒數時不會用到。

解題方法

題目給定：

$$d=40\ \mathrm{mm},\qquad m=2$$

代入齒數公式：

$$z=\frac{d}{m} =\frac{40}{2} =20$$

因此此正齒輪的齒數為 $20$ 齒。

選項分析

• (A) $20$：正確。

由

$$z=\frac{40}{2}=20$$

得齒數為 $20$，符合題目條件。

• (B) $30$：錯誤。

若齒數為 $30$，其節圓直徑應為

核心觀念

本題測驗「齒輪機構學」中的兩大核心原理：

1. 齒輪嚙合基本定律（Fundamental Law of Gearing）與共軛齒形特性：

• 齒輪嚙合基本定律：共軛齒形接觸點的共同法線（公法線）必須恆通過節點（Pitch Point），以確保定速比傳動。
• 漸開線（Involute）與擺線（Cycloid）齒形的嚙合特性、作用線幾何形態與互換性比較。

2. 漸開線齒輪之幾何參數關係與干涉（Interference）判斷：

• 基圓半徑（$r_b$）、節圓半徑（$r$）與壓力角（$\phi$）之關係： $r_b = r \cos\phi$
• 標準正齒輪不發生干涉（根切）的臨界最小齒數（$Z_{\min}$）公式： $Z_{\min} = \frac{2k}{\sin^2\phi}$ （其中 $k$ 為齒冠高係數，標準全齒制 $k=1$）

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解題方法

1. 依齒廓共軛條件檢驗選項 (A)、(B)：確認「公法線過節點 $\implies$ 定速比」之定義，以及漸開線與擺線是否為滿足此條件之共軛齒形。
2. 依作用線與加工製造特性檢驗選項 (C)：比對漸開線（作用線為基圓公切直線、齒條齒廓為直線）與擺線（作用線為滾圓曲線）之幾何與互換性特徵。
3. 依數學公式直接推導選項 (D)：

• 檢驗壓力角 $\phi$ 增大對基圓半徑 $r_b = r \cos\phi$ 的影響。
• 檢驗壓力角 $\phi$ 增大對最小不干涉齒數 $Z_{\min} = \frac{2}{\sin^2\phi}$ 的影響，判斷干涉發生的難易度。

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選項分析

• (A) 正確： 齒輪嚙合基本定律指出：「互相嚙合的一對齒形，在其任何接觸點處的共同法線（公法線），必須恆通過兩齒輪節圓相切之節點（Pitch Point $P$）」，此幾何條件能使角速度比恆等於兩節圓半徑的反比（$\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{r_2}{r_1} = \text{常數}$），維持定速比傳動。

• (B) 正確： 凡是能夠滿足齒輪嚙合基本定律的齒形互稱為「共軛齒形（Conjugate tooth profiles）」。機械工程中最常見且標準化的共軛齒形即為漸開線齒形（廣泛用於動力傳動）與擺線齒形（常用於鐘錶儀表機構）。

核心觀念

本題旨在考驗齒輪基本幾何參數之定義與轉換關係，核心公式為模數（Module, $m$）與周節（Circular Pitch, $P_c$）的關係式：

• 周節（$P_c$）：沿著節圓圓周測量，相鄰兩齒相對應點之間的弧長，定義為節圓圓周長除以總齒數。
• 模數（$m$）：節圓直徑（$D$）與齒數（$N$）的比值（$m = \frac{D}{N}$），單位為 $\mathrm{mm}$。
• 基本關係式： $P_c = \pi m$

本題中「齒數 $N = 21$」與「壓力角 $20^\circ$」均為題目設置之干擾資訊（冗餘條件），計算周節時無須使用。

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解題方法

1. 公式推導： 依據周節之定義，周節為節圓圓周長除以總齒數 $N$： $P_c = \frac{\pi D}{N}$ 將節圓直徑 $D = m \times N$ 代入上式： $P_c = \frac{\pi \times (m \times N)}{N} = \pi m$

核心觀念

本題考查齒輪的種類、軸線關係、齒形及接觸率：

1. 螺旋齒輪：齒線相對於齒輪軸線呈螺旋狀，可提高嚙合平順性與接觸率。
2. 戟齒輪（Hypoid gear）：兩軸為不相交的交錯軸，常用於汽車差速器，以降低傳動軸位置。
3. 齒條：可視為基圓直徑無限大的漸開線齒輪，其齒形為直線。
4. 螺旋齒輪可依配置方式，用於平行軸及交錯軸間的動力傳遞。

解題方法

逐項檢查各敘述是否符合齒輪的基本定義：

• 涉及螺旋齒輪的選項，判斷其接觸率、適用轉速及軸線配置。
• 涉及戟齒輪的選項，判斷兩軸是否相交及其汽車傳動用途。
• 涉及齒條的選項，利用「基圓直徑趨近無限大」時，漸開線曲率趨近於零，齒形成為直線的觀念。

其中只要找出一項與基本定義相反的敘述，即可判定錯誤選項。

選項分析

(A) 螺旋齒輪的接觸率較正齒輪高，較適用於高轉速。

此項正確。

正齒輪在嚙合時，齒面通常是整個齒寬同時進入嚙合，衝擊與噪音較明顯。螺旋齒輪的齒線具有螺旋角，齒面會逐漸進入及退出嚙合，使同時嚙合的齒數增加，故接觸率較高。

接觸率提高可使負荷由多個齒分擔，傳動較平順、振動及噪音較小，因此較適合高速運轉。

(B) 戟齒輪的兩軸心線為不相交的交錯軸，可用在降低汽車傳動軸位置。

此項正確。

核心觀念

本題考查軸承所能承受的徑向力與許用壓力之關係。對於滾子軸承，徑向負荷通常以軸承的「投影承壓面積」計算：

$$F=pA$$

其中：

• $F$：軸承可容許之徑向力
• $p$：可承受的許用壓力
• $A$：軸承投影承壓面積

軸承的投影承壓面積為軸承內徑乘以軸承長度：

$$A=dL$$

題目給的是內半徑 $r$，因此內徑為：

$$d=2r$$

解題方法

已知：

$$r=15\ \mathrm{mm}$$ $$L=15\ \mathrm{mm}$$ $$p=10\ \mathrm{MPa}=10\ \mathrm{N/mm^2}$$

先求軸承內徑：

$$d=2r=2(15)=30\ \mathrm{mm}$$

投影承壓面積為：

$$A=dL=(30)(15)=450\ \mathrm{mm^2}$$

因此可容許之徑向力：

$$F=pA$$ $$F=(10\ \mathrm{N/mm^2})(450\ \mathrm{mm^2}) =4500\ \mathrm{N}$$

換算為 kN：

$$F=4.5\ \mathrm{kN}$$

所以正確答案為 (B)。

選項分析

• (A) $2.25\ \mathrm{kN}$：錯誤。 此數值相當於將半徑 $15\ \mathrm{mm}$ 誤當成直徑計算：

核心觀念

本題考「串聯系統」的可靠度。串聯系統中，各元件都必須正常運作，整體系統才能正常；若假設各元件失效彼此獨立，系統可靠度等於各元件可靠度相乘：

$R_{\text{系統}}=\prod_{i=1}^{n}R_i$

題目中的齒輪、軸及兩個軸承都屬於系統必要元件，因此構成串聯系統。

解題方法

將四個元件的可靠度依序相乘：

$R_{\text{系統}}=R_a\times R_b\times R_c\times R_d$

故選項 (A) 正確。此式以各元件失效彼此獨立為前提；若題目未另作說明，依基本可靠度題型的常見假設處理。

選項分析

• (A) $R_a\times R_b\times R_c\times R_d$：正確。 齒輪、軸與兩個軸承都必須正常，系統才能運作，故串聯可靠度為各元件可靠度的乘積。

核心觀念

本題考軸承的接觸形式、潤滑方式及承載能力。

• 滑動軸承：軸頸在軸承面上滑動，主要為面接觸；承載面積大，適合承受較大負荷，但摩擦阻力通常較大，潤滑不足時容易磨耗、發熱。
• 滾動軸承：以滾珠或滾子介於內、外環之間，將滑動摩擦改為滾動摩擦。滾珠軸承的接觸近似點接觸，滾子軸承則近似線接觸。
• 無油軸承：材料內含石墨等固體潤滑劑，運轉時可提供潤滑，通常不必另外供油。

解題方法

逐項對照各類軸承的結構與性能，特別注意「面接觸所以摩擦較小」的因果關係。滑動軸承雖然接觸面積大、可承受較大負荷，但軸與軸承面之間以滑動為主，不能因此推論其摩擦較小。

選項分析

(A) 正確。 無油軸承常將石墨等固體潤滑劑加入材料中，藉此降低摩擦，通常不須額外加注潤滑劑。

核心觀念

本題考查滾動軸承的接觸角、軸承公稱號碼、錐形滾子軸承的受力方向，以及滾子軸承與滾珠軸承的接觸形式。

1. 接觸角：接觸角愈大，軸承承受軸向負荷的能力通常愈強，但承受徑向負荷的能力相對降低。
2. 軸承公稱號碼：以四位數軸承號碼為例，末兩碼通常表示內徑代號；內徑代號 $00、01、02、03$ 分別代表 $10、12、15、17\ \mathrm{mm}$，代號 $04$ 以上則通常為代號乘以 $5$。
3. 錐形滾子軸承：滾子與滾道呈線接觸，可同時承受徑向負荷及單一方向的軸向負荷。
4. 滾子軸承與滾珠軸承：滾子軸承為線接觸，滾珠軸承為點接觸；在線接觸下，滾子軸承具有較大的負荷承受能力。

解題方法

逐一檢查各選項：

• 先依接觸角與軸向負荷的關係判斷 A。
• 再由軸承號碼 $6210$ 計算內徑，判斷 B。
• 依錐形滾子軸承的結構與受力方向判斷 C。
• 依接觸形式比較徑向滾子軸承與滾珠軸承，判斷 D。

其中只要找出與軸承基本原理相反的敘述，即為錯誤選項。

選項分析

(A) 軸承的接觸角愈大，能承受的軸向負荷愈小。

錯誤。

軸承接觸角 $\alpha$ 增大時，滾動體與滾道接觸作用的軸向分力增加，因此承受軸向負荷的能力也會提高。可用概念式表示為：

$$F_a \propto \sin\alpha$$

其中 $F_a$ 為軸向負荷分量。接觸角愈大，$\sin\alpha$ 愈大，軸向負荷能力通常愈強。

因此正確敘述應為：

軸承的接觸角愈大，能承受的軸向負荷愈大。

本選項將關係寫成相反方向，故為本題錯誤選項。

(B) 若軸徑為 $50\ \mathrm{mm}$，則可選用公稱號碼為 $6210$ 的滾動軸承。

正確。

核心觀念

本題考查摩擦輪傳動中的摩擦力與扭矩關係：

1. 接觸面所能傳遞的最大切向摩擦力為 $F=\mu N$
2. 輪軸上的扭矩為切向力乘以作用半徑： $T=Fr$

其中：

• $\mu$：摩擦係數
• $N$：接觸點正向壓力
• $r$：該輪半徑

題目要求的是「大輪輸出之扭矩」，因此必須使用大輪半徑 $r_{\text{大}}$。

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解題方法

大輪直徑為 $600\ \mathrm{mm}$，故其半徑為：

$$r_{\text{大}}=\frac{600}{2}\mathrm{mm}=300\mathrm{mm}=0.3\mathrm{m}$$

接觸面所產生的摩擦力為：

$$F=\mu N =0.25\times 2000 =500\ \mathrm{N}$$

因此大輪輸出扭矩為：

$$T_{\text{大}}=Fr_{\text{大}} =500\times 0.3 =150\ \mathrm{N\cdot m}$$

大輪轉速 $300\ \mathrm{rpm}$ 是計算功率時才需要使用的資料。本題只求扭矩，因此轉速不影響上述計算。

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選項分析

• (A) $50\ \mathrm{N\cdot m}$：錯誤 此數值不符合大輪扭矩公式。

核心觀念

鏈條鏈輪組的傳動比由鏈輪齒數決定。理想情況下，鏈條與兩鏈輪的線速度相同，因此：

$$n_1 z_1=n_2 z_2$$

其中：

• $n_1$：輸入鏈輪轉速
• $z_1$：輸入鏈輪齒數
• $n_2$：輸出鏈輪轉速
• $z_2$：輸出鏈輪齒數

所以輸出轉速為：

$$n_2=n_1\frac{z_1}{z_2}$$

輸出鏈輪齒數越多，輸出轉速越低。

解題方法

已知：

$$n_1=50\ \mathrm{rpm},\qquad z_1=23$$

希望：

$$19\leq n_2\leq20$$

由

$$n_2=50\frac{23}{z_2}$$

也可直接反求輸出鏈輪齒數範圍：

$$z_2=\frac{50\times23}{n_2} =\frac{1150}{n_2}$$

當輸出轉速為 $20\ \mathrm{rpm}$ 時：

$$z_2=\frac{1150}{20}=57.5$$

當輸出轉速為 $19\ \mathrm{rpm}$ 時：

$$z_2=\frac{1150}{19}\approx60.53$$

因此輸出鏈輪齒數應介於：

$$57.5\leq z_2\leq60.53$$

在選項中，只有 $60$ 齒符合。

代入 $z_2=60$：

$$n_2=50\frac{23}{60} =\frac{1150}{60} \approx19.17\ \mathrm{rpm}$$

確實落在 $19\sim20\ \mathrm{rpm}$ 之間。

選項分析

核心觀念

本題考查鏈輪傳動比、轉速與圓周速度的關係。

自行車前鏈輪與後鏈輪以鏈條嚙合，鏈條的線速度相同，因此：

$$N_{\text{前}}T_{\text{前}} = N_{\text{後}}T_{\text{後}}$$

其中：

• $N$：鏈輪轉速
• $T$：鏈輪齒數

後鏈輪與後輪同軸固定，因此後鏈輪轉速等於後輪轉速。後輪每分鐘前進的距離為：

$$\text{車速} = \text{後輪圓周長}\times\text{後輪轉速}$$

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解題方法

前鏈輪齒數為 $75$ 齒，後鏈輪齒數為 $25$ 齒，前鏈輪轉速為 $100\ \mathrm{rpm}$。

由鏈輪傳動關係：

$$N_{\text{前}}T_{\text{前}} = N_{\text{後}}T_{\text{後}}$$

代入數值：

$$100\times75 = N_{\text{後}}\times25$$

因此：

$$N_{\text{後}} = \frac{100\times75}{25} = 300\ \mathrm{rpm}$$

也就是後輪每分鐘轉動 $300$ 圈。

將自行車時速換算為每分鐘行駛距離：

$$18\pi\ \mathrm{km/hr} = 18\pi\times\frac{1000}{60}\ \mathrm{m/min} = 300\pi\ \mathrm{m/min}$$

設後輪直徑為 $d$ 公尺，後輪圓周長為 $\pi d$，則每分鐘行駛距離為：

$$\pi d\times300 = 300\pi$$

約去 $300\pi$：

$$d=1\ \mathrm{m}=100\ \mathrm{cm}$$

因此後輪直徑為 $100\ \mathrm{cm}$。

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選項分析

核心觀念

本題考查摩擦輪傳動機構之動力傳遞原理，涉及以下核心定義與公式：

1. 有效摩擦驅動力（切線力）：摩擦輪表面不打滑情況下所能傳遞的最大切線摩擦力為 $F = \mu \times F_n$ 其中 $\mu$ 為摩擦係數，$F_n$ 為接觸面正壓力（法向力）。
2. 圓周線速度：摩擦輪外緣接觸點之線速度為 $V = \frac{\pi D N}{60}$ 其中 $D$ 為摩擦輪直徑（公尺，$\mathrm{m}$），$N$ 為轉速（$\mathrm{rpm}$）。
3. 傳遞功率：切線力與線速度之乘積即為傳遞之機械功率（SI 制單位為瓦特，$\mathrm{W}$）： $P = F \times V = \mu F_n \times \frac{\pi D N}{60}$

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解題方法

依據題目給定條件：

• 摩擦輪直徑 $D = 50\ \mathrm{cm} = 0.5\ \mathrm{m}$
• 轉速 $N = 500\ \mathrm{rpm}$
• 接觸處正壓力 $F_n = 1000\ \mathrm{N}$
• 摩擦係數 $\mu = 0.15$

步驟一：計算傳遞之切線摩擦力 $F$ $F = \mu \times F_n = 0.15 \times 1000\ \mathrm{N} = 150\ \mathrm{N}$

步驟二：計算摩擦輪邊緣線速度 $V$ $V = \frac{\pi \times D \times N}{60} = \frac{\pi \times 0.5 \times 500}{60} = \frac{250\pi}{60} = \frac{25\pi}{6}\ \mathrm{m/s}$

步驟三：計算傳遞功率 $P$

核心觀念

本題考查鏈條傳動的特性，以及鏈輪齒數對傳動平穩度的影響。鏈條與鏈輪以嚙合方式傳動，因此速比穩定、傳動效率高，且不像皮帶傳動需要靠摩擦力傳遞動力；但鏈條與鏈輪嚙合時會產生多邊形效應，使鏈速和傳動力略有週期性變化，帶來擺動與噪音。

解題方法

逐項對照鏈條傳動的典型特性，判斷敘述是否符合機械原理。關鍵在於鏈輪齒數：齒數增加時，多邊形效應通常減弱，傳動較平穩；齒數減少則多邊形效應加劇，擺動與噪音會增加。因此「欲降低擺動和噪音，可減少鏈輪齒數」與一般設計原則相反。

選項分析

• (A) 速比準確且傳動距離較遠。 正確。鏈條與鏈輪嚙合，正常工作時不易發生皮帶打滑，因此速比較準確；相較於齒輪傳動，鏈條也適用於較遠的軸間距。
• (B) 傳動效率和有效拉力比皮帶高。 正確。

核心觀念

本題考查皮帶傳動的基本型式與特性：

1. 開口皮帶傳動與交叉皮帶傳動的轉向。
2. 皮帶在皮帶輪上的接觸角。
3. 皮帶長度公式。
4. 塔輪調速原理。
5. 開口皮帶緊邊的位置配置。

其中，開口帶與交叉帶的主要差異如下：

項目	開口帶	交叉帶
兩軸轉向	相同	相反
接觸角	較小	較大
皮帶長度	較短	較長
適用場合	兩軸平行且同向	兩軸平行且反向

解題方法

先判斷交叉帶的轉向，再利用皮帶長度與接觸角的基本關係檢核各選項。

開口帶中，兩皮帶輪的轉向相同；交叉帶中，皮帶在兩輪之間交叉，使兩皮帶輪轉向相反。因此只要看到「交叉帶用於轉向相同」即可判定敘述錯誤。

皮帶長度的近似公式如下。設中心距離為 $C$，大、小皮帶輪直徑分別為 $D$、$d$。

開口帶：

$$L_o=2C+\frac{\pi}{2}(D+d)+\frac{(D-d)^2}{4C}$$

交叉帶：

$$L_c=2C+\frac{\pi}{2}(D+d)+\frac{(D+d)^2}{4C}$$

因為

$$(D+d)^2>(D-d)^2$$

所以在中心距離及皮帶輪直徑固定時：

$$L_c>L_o$$

交叉帶的接觸角也較大，因此通常具有較大的摩擦傳動能力。

選項分析

(A) 正確

開口皮帶傳動時，應使皮帶緊邊位於下方。

皮帶運轉時，緊邊張力較大、鬆邊張力較小。緊邊位於下方時，皮帶因自重產生下垂，使皮帶在皮帶輪上的包覆程度增加，進而增大接觸角，提高摩擦傳動能力並減少打滑。

核心觀念

本題考「相等塔輪機構」各級轉速的配置關係。

塔輪以皮帶傳動時，依皮帶線速度相等：

$$n_1d_1=n_2d_2$$

其中 $n$ 為轉速，$d$ 為皮帶接觸處的有效直徑。

相等塔輪的對稱配置具有下列特性：

1. 中間級主、從動輪直徑相等，因此從動軸轉速等於主動軸轉速。
2. 最低速級與最高速級互為倒數關係。
3. 各成對級速之乘積，等於中間轉速的平方。

因此，本題五級轉速可表示為：

$$n_1,\ n_2,\ 500,\ n_4,\ n_5$$

且有：

$$n_1n_5=500^2$$ $$n_2n_4=500^2$$

---

解題方法

已知從動軸最低與次低轉速分別為：

$$n_1=100\ \mathrm{rpm}$$ $$n_2=200\ \mathrm{rpm}$$

主動軸轉速為：

$$n_0=500\ \mathrm{rpm}$$

中間級轉速為 $500\ \mathrm{rpm}$。

由相等塔輪的對稱關係：

$$n_1n_5=n_0^2$$

所以最高級轉速為：

$$n_5=\frac{500^2}{100} =\frac{250000}{100} =2500\ \mathrm{rpm}$$

另一組對應級速為：

$$n_2n_4=n_0^2$$

因此：

$$n_4=\frac{500^2}{200} =\frac{250000}{200} =1250\ \mathrm{rpm}$$

故從動軸五個轉速為：

$$100,\quad 200,\quad 500,\quad 1250,\quad 2500\ \mathrm{rpm}$$

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選項分析

核心觀念

本題考查皮帶輪傳動的轉速比，以及皮帶與皮帶輪接觸面產生滑動損失時，從動輪實際轉速的計算。

不考慮皮帶厚度時，皮帶的線速度可由皮帶輪外徑計算。無滑動時，主動輪與從動輪的圓周速度相同，因此：

$$N_1D_1=N_2D_2$$

其中：

• $N_1$：主動輪轉速
• $D_1$：主動輪直徑
• $N_2$：從動輪轉速
• $D_2$：從動輪直徑

若有滑動損失 $s$，從動輪實際轉速為理想轉速的 $(1-s)$ 倍：

$$N_2=N_1\frac{D_1}{D_2}(1-s)$$

本題所給滑動損失 $2\%$，即：

$$s=0.02$$

解題方法

已知：

$$N_1=100\ \mathrm{rpm}$$ $$D_1=25\ \mathrm{cm},\qquad D_2=50\ \mathrm{cm}$$

先計算不考慮滑動損失時的從動輪轉速：

$$N_{2,\text{理想}} =100\left(\frac{25}{50}\right) =100\left(\frac{1}{2}\right) =50\ \mathrm{rpm}$$

再扣除 $2\%$ 的滑動損失：

$$N_2=50(1-0.02)$$ $$N_2=50\times0.98=49\ \mathrm{rpm}$$

因此，從動輪的實際轉速為：

$$\boxed{49\ \mathrm{rpm}}$$

選項分析

• (A) $25\ \mathrm{rpm}$：錯誤

核心觀念

本題考平鍵傳遞扭矩時，鍵側面受力所造成的承壓應力。平鍵高度為 $H$，其中與輪轂接觸、承受擠壓的有效高度採 $H/2$；鍵的長度為 $L$，因此承壓面積為

$$A_c=\frac{H}{2}L$$

軸傳遞扭矩 $T$ 時，鍵所受的切向力 $F$ 作用於軸半徑 $D/2$，故扭矩關係為

$$T=F\frac{D}{2} \quad\Rightarrow\quad F=\frac{2T}{D}$$

解題方法

承壓應力等於切向力除以承壓面積：

$$\sigma_c=\frac{F}{A_c} =\frac{2T/D}{(H/2)L} =\frac{4T}{DHL}$$

因此符合的選項為 (B)。

選項分析