111 鐵路特考佐級 機械工程 機械原理大意 考古題詳解

核心觀念

本題考查步進馬達的步進角，以及多線導螺桿的「螺距」與「導程」關係。

• 步進馬達每輸入一個脈波所轉動的角度，稱為一步進角。
• 導螺桿旋轉一整圈時，螺帽沿軸向移動的距離稱為導程。
• 雙線導螺桿具有兩條螺紋，因此：

$$\text{導程}=\text{螺距}\times\text{螺紋線數}$$

進給機構的最小解析度，即馬達轉動一步時所造成的軸向位移。

解題方法

已知步進角為 $3.6^\circ$，因此馬達轉一整圈所需的步數為：

$$N=\frac{360^\circ}{3.6^\circ}=100\text{ 步}$$

題目給定螺距為 $2\ \mathrm{mm}$，且為雙線導螺桿，因此每轉一圈的導程為：

$$L=2\ \mathrm{mm}\times 2=4\ \mathrm{mm}$$

馬達每轉動一步，導螺桿轉動的角度為 $3.6^\circ$，軸向進給量為：

$$\Delta x=\frac{\text{導程}}{\text{每圈步數}} =\frac{4\ \mathrm{mm}}{100} =0.04\ \mathrm{mm}$$

因此，此進給機構的最小解析度為：

$$\boxed{0.04\ \mathrm{mm}}$$

選項分析

• (A) $0.01\ \mathrm{mm}$：錯誤。 未正確套用本題的步進角與雙線導螺桿導程關係，計算結果不符。

• (B) $0.02\ \mathrm{mm}$：錯誤。

核心觀念

本題考查旋轉機械的功率公式：

$$P=T\omega$$

其中：

• $P$：功率，單位為 $\mathrm{W}$
• $T$：轉矩，單位為 $\mathrm{N\cdot m}$
• $\omega$：角速度，單位為 $\mathrm{rad/s}$

重物懸掛於長度 $r$ 的機械臂末端時，重物所產生的轉矩為：

$$T=Fr$$

因此：

$$P=Fr\omega$$

本題未給機械損失，依考試慣例採理想機械、功率完全用於抬升重物。

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解題方法

已知：

$$P=0.854\ \mathrm{kW}=854\ \mathrm{W}$$ $$r=5\ \mathrm{m}$$

角速度為 $50^\circ/\mathrm{s}$，必須先換算成弧度每秒：

$$\omega=50\times\frac{\pi}{180} =\frac{5\pi}{18} \approx 0.8727\ \mathrm{rad/s}$$

由功率公式：

$$P=Fr\omega$$

可得重物重量：

$$F=\frac{P}{r\omega}$$

代入數值：

$$F=\frac{854}{5\times 0.8727} \approx 195.7\ \mathrm{N}$$

又因為：

$$1\ \text{公斤重}\approx 9.8\ \mathrm{N}$$

所以可抬升的質量為：

$$m=\frac{195.7}{9.8} \approx 19.97\ \text{kg重}$$

取整數：

$$m\approx 20\ \text{公斤重}$$

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選項分析

• (A) $25$：錯誤。抬升 $25$ 公斤重物所需功率為

核心觀念

本題考查公制標準螺紋（Metric Thread）之工程標註規範與單位換算：

1. 螺紋代號：

• 公制標準螺紋（三角形螺紋，牙角 $60^\circ$）以英文字母 $\mathrm{M}$ 作為特徵代號。

2. 標註基本格式： $\mathrm{M}[\text{公稱直徑}] \times [\text{螺距}]$

• 公稱直徑（Nominal Diameter）：指螺紋之外徑（大徑 $d$），工程圖學與機械規範中一律以**毫米（$\mathrm{mm}$）**為法定計量單位。
• 螺距（Pitch, $P$）：相鄰兩牙對應點間的軸向距離，單位同樣為毫米（$\mathrm{mm}$）。

3. 單位換算： $1\ \mathrm{cm} = 10\ \mathrm{mm}$

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解題方法

1. 螺紋代號判定： 題目指定為「公制螺栓」，其標準符號為 $\mathrm{M}$。
2. 尺寸單位換算： 題目所給外徑為 $1.2\ \mathrm{cm}$，換算為標準公制單位： $\text{公稱直徑 } d = 1.2\ \mathrm{cm} \times 10 = 12\ \mathrm{mm}$
3. 代入標準格式： 螺距 $P = 1.75\ \mathrm{mm}$，依據「螺紋代號＋公稱直徑 $\times$ 螺距」之順序排列，標註為： $\mathrm{M12 \times 1.75}$

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選項分析

• (A) $\mathrm{S12\times1.75}$ 錯誤： 代號 $\mathrm{S}$ 並非公制三角形螺紋之標準代號（$\mathrm{S}$ 或 $\mathrm{Sq}$ 常

核心觀念

本題考驗**統一英制螺紋（Unified National Thread）**的標註規範與螺距（Pitch）計算。

英制螺紋的標準標註格式如下： $\text{公稱外徑（吋）} - \text{每吋牙數（TPI）}\ \text{螺紋系列符號}$

關鍵觀念與公式：

1. 公稱外徑（Nominal Major Diameter）：標註最前方的數字，代表螺紋的外徑大小，單位為英吋（$\mathrm{inch}$）。
2. 每吋牙數（Threads Per Inch, $n$）：連字號後的數字，表示在 $1\ \mathrm{inch}$ 軸向長度內所包含的螺紋牙數。
3. 螺距（Pitch, $P$）：軸向相鄰兩螺紋牙對應點之間的距離。在英制螺紋中，螺距與每吋牙數互為倒數關係： $P = \frac{1}{n}\quad (\mathrm{inch})$

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解題方法

針對題目給定的螺紋規格標註 $5/8\ \mathrm{inch}$-$18\ \mathrm{UNRF}$ 進行解析：

1. $5/8\ \mathrm{inch}$：表示該螺紋之**公稱外徑（直徑）**為 $5/8\ \mathrm{inch}$。
2. $18$：表示每吋牙數 $n = 18$（即每英吋軸向長度有 18 牙）。
3. $\mathrm{UNRF}$：表示外螺紋根部帶圓角之統一細牙螺紋（Unified Fine Thread with Round Root）。

核心觀念

本題考查螺旋起重機的：

• 雙線螺桿之導程
• 力矩與旋轉一周所作的功
• 摩擦損失與機械效率

螺桿每旋轉一周，螺帽前進的距離不是螺距，而是導程。雙線螺桿的導程為：

$$L=2p$$

其中 $p=15\ \mathrm{mm}$，因此：

$$L=2(15)=30\ \mathrm{mm}=0.03\ \mathrm{m}$$

機構摩擦損失為 $30\%$，故機械效率為：

$$\eta=1-0.30=0.70$$

解題方法

手柄端最大施力為 $P=100\ \mathrm{N}$，手柄長度為 $r=300\ \mathrm{mm}=0.3\ \mathrm{m}$。

輸入力矩為：

$$T=Pr=100(0.3)=30\ \mathrm{N\cdot m}$$

手柄轉動一周，輸入功為：

$$W_{\text{in}}=2\pi T =2\pi(30) =60\pi\ \mathrm{J}$$

考慮摩擦後，真正用於提升重物的有效功為：

$$W_{\text{out}}=\eta W_{\text{in}} =0.7(60\pi) =42\pi\ \mathrm{J}$$

若最大可抬舉重量為 $W$，螺桿每轉一周上升 $L=0.03\ \mathrm{m}$，輸出功為：

$$W_{\text{out}}=WL$$

因此：

$$W(0.03)=42\pi$$ $$W=\frac{42\pi}{0.03} =1400\pi \approx4398\ \mathrm{N}$$

所以起重機能抬舉的最大重量約為：

$$4398\ \mathrm{N}$$

落在 $4001\sim5000\ \mathrm{N}$ 的範圍。

選項分析

核心觀念

本題考查各種鎖緊件的構造、用途與防鬆原理，重點包括：

• 墊圈：分散螺栓或螺帽的壓力、保護接合面。
• 堡型有槽螺帽與開口銷：利用機械方式防止螺帽轉動鬆脫。
• 錐形底部螺帽：利用錐面達到自動對正與增加接觸穩定性的效果。
• 圓錐型墊圈：利用鎖緊時的彈性或塑性變形，增加接合面的鎖緊與防鬆效果。

解題方法

判斷各選項所描述的功能是否為該鎖緊件的主要用途：

1. 平墊圈主要用來增加螺帽或螺栓頭的受力面積，降低接觸面壓力。
2. 防漏密封通常需要使用密封墊片、O形環或專用密封圈，平墊圈本身並不以密封防漏為主要功能。
3. 堡型有槽螺帽須配合開口銷，形成可靠的機械防鬆。
4. 錐面螺帽與圓錐型墊圈均可利用錐面或變形特性提高定位、鎖緊及防鬆效果。

因此，錯誤敘述是把平墊圈的功能擴大解釋為「密封防漏」。

選項分析

(A) 平墊圈可增加受力面積和密封防漏。

此項錯誤。

平墊圈置於螺帽或螺栓頭與工件之間，可擴大接觸面積，使鎖緊力分布較均勻，避免螺帽或螺栓頭壓入工件表面，也可保護工件表面。

但平墊圈通常是平面金屬環，主要功能是分散壓力，並不具備專門的密封結構。若要防止液體或氣體洩漏，通常須使用密封墊片、O形環、油封或其他專用密封件。因此，「密封防漏」不是一般平墊圈的標準功能。

(B) 堡型有槽螺帽常搭配開口銷使用以防止鬆脫。

此項正確。

核心觀念

本題考查螺旋的幾何關係、標準螺紋規格、複式螺旋的傳動特性，以及螺旋起重機的機械利益。

重要公式如下：

1. 導程與螺距：

$$L=np$$

其中 $L$ 為導程、$n$ 為起數、$p$ 為螺距。

2. 螺旋起重機的理想機械利益：

$$MA=\frac{W}{P}=\frac{2\pi l}{L}$$

其中 $W$ 為負荷、$P$ 為施力、$l$ 為施力臂長度、$L$ 為螺紋導程。由此可知，機械利益與施力臂長度成正比，與導程成反比。

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解題方法

逐一檢查各選項的定義與公式：

• 公制標準螺紋角應為 $60^\circ$。
• 複式螺旋的傳動速度取決於螺旋方向及導程的合成關係。
• 螺旋起重機可視為斜面繞成螺旋，利用力矩平衡即可推得機械利益公式。

因此，直接以標準規格與螺旋起重機公式判斷即可。

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選項分析

(A) 相同節徑下，螺旋角愈大則導程愈大。

錯誤。

依本題命題所採用的螺旋角定義，螺旋角為螺旋線與螺旋軸線的夾角。其幾何關係為：

$$\tan\theta=\frac{\pi d}{L}$$

因此：

$$L=\frac{\pi d}{\tan\theta}=\pi d\cot\theta$$

在節徑 $d$ 固定時，螺旋角 $\theta$ 愈大，$\tan\theta$ 愈大，所以導程 $L$ 反而愈小，並非愈大。

本選項的爭議在於部分教材將「導程角」定義為螺旋線與垂直於軸線平面的夾角，此時有：

$$\tan\lambda=\frac{L}{\pi d}$$

依該定義，角度愈大確實導程愈大。但依本題官方答案所採用的角度慣例，A 選項判定為錯誤。

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(B) 公制標準螺紋的螺紋角是 $65^\circ$。

錯誤。

核心觀念

本題考查多線螺紋標註法，以及下列定義：

• $M6$：公稱外徑為 $6\ \mathrm{mm}$ 的公制螺紋。
• $1.0$：螺距 $P=1.0\ \mathrm{mm}$。
• $3N$：三線螺紋，即有 $3$ 條螺旋線。
• $5g6h$：螺紋公差等級標註，其中外螺紋節徑與外徑的公差帶分別標示。
• 導程 $L$ 與螺距、螺紋線數的關係為

$$L=nP$$

其中 $n$ 為螺紋線數。端面觀察時，多線螺紋各螺旋線的角度間隔為

$$\theta=\frac{360^\circ}{n}$$

解題方法

由題目標註

$$3N-M6\times1.0-5g6h$$

可知：

• 螺紋線數：$n=3$
• 公稱外徑：$6\ \mathrm{mm}$
• 螺距：$P=1.0\ \mathrm{mm}$

因此導程為

$$L=nP=3\times1.0=3\ \mathrm{mm}$$

三條螺旋線均勻分布於圓周上，所以端面觀察的相隔角度為

$$\theta=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ$$

故正確選項為（D）。

選項分析

（A）節徑是 $6\ \mathrm{mm}$：錯誤

$M6$ 中的 $6\ \mathrm{mm}$ 是螺紋的公稱外徑，不是節徑。

節徑是通過螺紋牙形中徑位置的直徑，實際數值通常小於外螺紋的公稱外徑，且會受到螺紋牙形及公差影響。因此不能將 $M6$ 直接解讀為節徑 $6\ \mathrm{mm}$。

（B）外螺紋節徑公差是 $h6$：錯誤

核心觀念

本題考查正齒輪外接時的基本關係：

1. 外接齒輪轉向相反。
2. 齒輪速比與齒數成反比： $n_1 z_1=n_2 z_2$
3. 標準中心距： $a=\frac{d_1+d_2}{2}=\frac{m(z_1+z_2)}{2}$
4. 齒輪節徑： $d=mz$

其中，$n$ 為轉速，$z$ 為齒數，$m$ 為模數，$d$ 為節徑。

解題方法

設 17 齒齒輪為齒輪 1，40 齒齒輪為齒輪 2。已知：

$z_1=17,\qquad z_2=40,\qquad m=5\ \mathrm{mm},\qquad n_2=34\ \mathrm{rpm}$

先利用齒輪嚙合的速比關係：

$n_1z_1=n_2z_2$

因此：

$$n_1=\frac{n_2z_2}{z_1} =\frac{34\times40}{17} =80\ \mathrm{rpm}$$

再計算兩齒輪的節徑：

$d_1=mz_1=5\times17=85\ \mathrm{mm}$

$d_2=mz_2=5\times40=200\ \mathrm{mm}$

標準中心距為：

$$a=\frac{d_1+d_2}{2} =\frac{85+200}{2} =142.5\ \mathrm{mm}$$

選項分析

(A) 兩齒輪轉向相反。

兩個正齒輪採外接方式嚙合時，主動齒輪與從動齒輪的旋轉方向必定相反，因此本選項正確。

(B) 該 17 齒正齒輪轉速為 $80\ \mathrm{rpm}$。

核心觀念

本題考查不同齒輪傳動的軸向力、徑向力與切向力特性。

齒輪嚙合時，基本上會產生：

• 切向力 $F_t$：傳遞扭矩的主要分力。
• 徑向力 $F_r$：沿兩齒輪中心線方向，造成軸承徑向負荷。
• 軸向力 $F_a$：沿軸線方向，主要出現在斜齒輪、螺旋齒輪、蝸桿及螺旋傘齒輪等傳動。

正齒輪的齒線與軸線平行，嚙合力可分解為切向力與徑向力，不產生軸向力。其常用關係式為：

$$F_t=\frac{2T}{d}$$ $$F_r=F_t\tan\phi$$

其中，$T$ 為傳遞扭矩，$d$ 為節圓直徑，$\phi$ 為壓力角。

因此，題目所稱「主要僅產生徑向力」，在齒輪傳動的比較語境中，是指相較於會產生軸向推力的齒輪，正齒輪不產生軸向力；實際嚙合時仍然存在傳遞扭矩所需的切向力。

解題方法

判斷各選項是否產生軸向力即可：

1. 齒線與軸線平行的正齒輪：無軸向力。
2. 具有螺旋角的斜齒輪、螺旋齒輪：有軸向力。
3. 蝸桿與蝸輪：因蝸桿具有螺旋升角，會產生軸向力。
4. 螺旋傘齒輪：齒線呈螺旋狀，會產生軸向力。

所以符合官方答案的選項為兩平行軸上的正齒輪組。

選項分析

(A) 兩垂直軸上之渦旋線斜齒輪組：錯誤

此類齒輪通常指螺旋傘齒輪，用於兩相交軸或垂直軸間的動力傳遞。由於齒線具有螺旋角，嚙合力除切向力、徑向力外，還會產生軸向力：

$$F_a\neq 0$$

因此不能視為主要僅產生徑向力。

(B) 蝸桿與蝸輪組：錯誤

核心觀念

本題考「漸開線齒輪的干涉（interference）」及其消除方法。

兩齒輪嚙合時，若接觸點超出小齒輪的齒根漸開線範圍，或齒頂與對方齒根發生非正常接觸，即稱為干涉。常見的消除方法包括：

• 增加壓力角；
• 減少齒冠高度；
• 增加小齒輪齒數；
• 採用正變位；
• 適度增加中心距。

解題方法

以外齧合漸開線齒輪為例，齒輪基圓半徑為

$$r_b=r\cos\phi$$

其中 $\phi$ 為壓力角。當壓力角增加時，$\cos\phi$ 減小，基圓相對於節圓變小，齒輪的有效漸開線嚙合範圍增大，因此可降低干涉機會。

由標準齒輪干涉條件可知，干涉限制與 $\sin^2\phi$ 有關；壓力角增加時，允許的嚙合範圍增加，較有利於避免干涉。

不過，依標準齒輪學理，正確的消除方法應為「增加壓力角」，而不是「減少壓力角」。本題官方答案指定為 B，與通常機械原理的標準結論不一致，B 選項很可能有文字或答案誤植爭議。

選項分析

(A) 縮短兩齒輪軸心距離：錯誤

縮短中心距會使兩齒輪更加靠近，齒頂與對方齒根發生不正常接觸的可能性增加，通常會使干涉更加嚴重，而非消除干涉。

一般而言，適度增加中心距可減少干涉，但會同時影響工作壓力角與傳動比的實際運作條件。

核心觀念

本題考查蝸桿與蝸輪的傳動比。蝸桿的「3 線螺紋」表示蝸桿為三線或三頭蝸桿，即蝸桿每轉一圈，可推動蝸輪前進 3 齒。

蝸輪減速比為：

$$i=\frac{\text{蝸輪齒數}}{\text{蝸桿線數}}$$

蝸輪輸出轉速公式為：

$$n_2=n_1\frac{z_1}{z_2}$$

其中：

• $n_1$：蝸桿輸入轉速
• $n_2$：蝸輪輸出轉速
• $z_1$：蝸桿線數
• $z_2$：蝸輪齒數

解題方法

已知：

$$n_1=600\ \mathrm{rpm},\qquad z_1=3,\qquad z_2=36$$

代入蝸輪輸出轉速公式：

$$n_2=600\times\frac{3}{36}$$ $$n_2=600\times\frac{1}{12}=50\ \mathrm{rpm}$$

因此蝸輪輸出轉速為：

$$\boxed{50\ \mathrm{rpm}}$$

選項分析

核心觀念

本題考查公制正齒輪的節圓直徑、模數與齒數之間的基本關係：

$$m=\frac{d}{z}$$

其中：

• $m$：模數
• $d$：節圓直徑
• $z$：齒數

因此可整理為：

$$z=\frac{d}{m}$$

壓力角 $20^\circ$ 是齒輪啮合幾何的重要參數，但本題求齒數時不會用到。

解題方法

題目給定：

$$d=40\ \mathrm{mm},\qquad m=2$$

代入齒數公式：

$$z=\frac{d}{m} =\frac{40}{2} =20$$

因此此正齒輪的齒數為 $20$ 齒。

選項分析

• (A) $20$：正確。

由

$$z=\frac{40}{2}=20$$

得齒數為 $20$，符合題目條件。

• (B) $30$：錯誤。

若齒數為 $30$，其節圓直徑應為

核心觀念

本題測驗「齒輪機構學」中的兩大核心原理：

1. 齒輪嚙合基本定律（Fundamental Law of Gearing）與共軛齒形特性：

• 齒輪嚙合基本定律：共軛齒形接觸點的共同法線（公法線）必須恆通過節點（Pitch Point），以確保定速比傳動。
• 漸開線（Involute）與擺線（Cycloid）齒形的嚙合特性、作用線幾何形態與互換性比較。

2. 漸開線齒輪之幾何參數關係與干涉（Interference）判斷：

• 基圓半徑（$r_b$）、節圓半徑（$r$）與壓力角（$\phi$）之關係： $r_b = r \cos\phi$
• 標準正齒輪不發生干涉（根切）的臨界最小齒數（$Z_{\min}$）公式： $Z_{\min} = \frac{2k}{\sin^2\phi}$ （其中 $k$ 為齒冠高係數，標準全齒制 $k=1$）

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解題方法

1. 依齒廓共軛條件檢驗選項 (A)、(B)：確認「公法線過節點 $\implies$ 定速比」之定義，以及漸開線與擺線是否為滿足此條件之共軛齒形。
2. 依作用線與加工製造特性檢驗選項 (C)：比對漸開線（作用線為基圓公切直線、齒條齒廓為直線）與擺線（作用線為滾圓曲線）之幾何與互換性特徵。
3. 依數學公式直接推導選項 (D)：

• 檢驗壓力角 $\phi$ 增大對基圓半徑 $r_b = r \cos\phi$ 的影響。
• 檢驗壓力角 $\phi$ 增大對最小不干涉齒數 $Z_{\min} = \frac{2}{\sin^2\phi}$ 的影響，判斷干涉發生的難易度。

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選項分析

• (A) 正確： 齒輪嚙合基本定律指出：「互相嚙合的一對齒形，在其任何接觸點處的共同法線（公法線），必須恆通過兩齒輪節圓相切之節點（Pitch Point $P$）」，此幾何條件能使角速度比恆等於兩節圓半徑的反比（$\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{r_2}{r_1} = \text{常數}$），維持定速比傳動。

• (B) 正確： 凡是能夠滿足齒輪嚙合基本定律的齒形互稱為「共軛齒形（Conjugate tooth profiles）」。機械工程中最常見且標準化的共軛齒形即為漸開線齒形（廣泛用於動力傳動）與擺線齒形（常用於鐘錶儀表機構）。

核心觀念

本題旨在考驗齒輪基本幾何參數之定義與轉換關係，核心公式為模數（Module, $m$）與周節（Circular Pitch, $P_c$）的關係式：

• 周節（$P_c$）：沿著節圓圓周測量，相鄰兩齒相對應點之間的弧長，定義為節圓圓周長除以總齒數。
• 模數（$m$）：節圓直徑（$D$）與齒數（$N$）的比值（$m = \frac{D}{N}$），單位為 $\mathrm{mm}$。
• 基本關係式： $P_c = \pi m$

本題中「齒數 $N = 21$」與「壓力角 $20^\circ$」均為題目設置之干擾資訊（冗餘條件），計算周節時無須使用。

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解題方法

1. 公式推導： 依據周節之定義，周節為節圓圓周長除以總齒數 $N$： $P_c = \frac{\pi D}{N}$ 將節圓直徑 $D = m \times N$ 代入上式： $P_c = \frac{\pi \times (m \times N)}{N} = \pi m$

核心觀念

本題考查齒輪的種類、軸線關係、齒形及接觸率：

1. 螺旋齒輪：齒線相對於齒輪軸線呈螺旋狀，可提高嚙合平順性與接觸率。
2. 戟齒輪（Hypoid gear）：兩軸為不相交的交錯軸，常用於汽車差速器，以降低傳動軸位置。
3. 齒條：可視為基圓直徑無限大的漸開線齒輪，其齒形為直線。
4. 螺旋齒輪可依配置方式，用於平行軸及交錯軸間的動力傳遞。

解題方法

逐項檢查各敘述是否符合齒輪的基本定義：

• 涉及螺旋齒輪的選項，判斷其接觸率、適用轉速及軸線配置。
• 涉及戟齒輪的選項，判斷兩軸是否相交及其汽車傳動用途。
• 涉及齒條的選項，利用「基圓直徑趨近無限大」時，漸開線曲率趨近於零，齒形成為直線的觀念。

其中只要找出一項與基本定義相反的敘述，即可判定錯誤選項。

選項分析

(A) 螺旋齒輪的接觸率較正齒輪高，較適用於高轉速。

此項正確。

正齒輪在嚙合時，齒面通常是整個齒寬同時進入嚙合，衝擊與噪音較明顯。螺旋齒輪的齒線具有螺旋角，齒面會逐漸進入及退出嚙合，使同時嚙合的齒數增加，故接觸率較高。

接觸率提高可使負荷由多個齒分擔，傳動較平順、振動及噪音較小，因此較適合高速運轉。

(B) 戟齒輪的兩軸心線為不相交的交錯軸，可用在降低汽車傳動軸位置。

此項正確。

核心觀念

本題考查軸承所能承受的徑向力與許用壓力之關係。對於滾子軸承，徑向負荷通常以軸承的「投影承壓面積」計算：

$$F=pA$$

其中：

• $F$：軸承可容許之徑向力
• $p$：可承受的許用壓力
• $A$：軸承投影承壓面積

軸承的投影承壓面積為軸承內徑乘以軸承長度：

$$A=dL$$

題目給的是內半徑 $r$，因此內徑為：

$$d=2r$$

解題方法

已知：

$$r=15\ \mathrm{mm}$$ $$L=15\ \mathrm{mm}$$ $$p=10\ \mathrm{MPa}=10\ \mathrm{N/mm^2}$$

先求軸承內徑：

$$d=2r=2(15)=30\ \mathrm{mm}$$

投影承壓面積為：

$$A=dL=(30)(15)=450\ \mathrm{mm^2}$$

因此可容許之徑向力：

$$F=pA$$ $$F=(10\ \mathrm{N/mm^2})(450\ \mathrm{mm^2}) =4500\ \mathrm{N}$$

換算為 kN：

$$F=4.5\ \mathrm{kN}$$

所以正確答案為 (B)。

選項分析

• (A) $2.25\ \mathrm{kN}$：錯誤。 此數值相當於將半徑 $15\ \mathrm{mm}$ 誤當成直徑計算：

核心觀念

本題考「串聯系統」的可靠度。串聯系統中，各元件都必須正常運作，整體系統才能正常；若假設各元件失效彼此獨立，系統可靠度等於各元件可靠度相乘：

$R_{\text{系統}}=\prod_{i=1}^{n}R_i$

題目中的齒輪、軸及兩個軸承都屬於系統必要元件，因此構成串聯系統。

解題方法

將四個元件的可靠度依序相乘：

$R_{\text{系統}}=R_a\times R_b\times R_c\times R_d$

故選項 (A) 正確。此式以各元件失效彼此獨立為前提；若題目未另作說明，依基本可靠度題型的常見假設處理。

選項分析

• (A) $R_a\times R_b\times R_c\times R_d$：正確。 齒輪、軸與兩個軸承都必須正常，系統才能運作，故串聯可靠度為各元件可靠度的乘積。

核心觀念

本題考軸承的接觸形式、潤滑方式及承載能力。

• 滑動軸承：軸頸在軸承面上滑動，主要為面接觸；承載面積大，適合承受較大負荷，但摩擦阻力通常較大，潤滑不足時容易磨耗、發熱。
• 滾動軸承：以滾珠或滾子介於內、外環之間，將滑動摩擦改為滾動摩擦。滾珠軸承的接觸近似點接觸，滾子軸承則近似線接觸。
• 無油軸承：材料內含石墨等固體潤滑劑，運轉時可提供潤滑，通常不必另外供油。

解題方法

逐項對照各類軸承的結構與性能，特別注意「面接觸所以摩擦較小」的因果關係。滑動軸承雖然接觸面積大、可承受較大負荷，但軸與軸承面之間以滑動為主，不能因此推論其摩擦較小。

選項分析

(A) 正確。 無油軸承常將石墨等固體潤滑劑加入材料中，藉此降低摩擦，通常不須額外加注潤滑劑。

核心觀念

本題考查滾動軸承的接觸角、軸承公稱號碼、錐形滾子軸承的受力方向，以及滾子軸承與滾珠軸承的接觸形式。

1. 接觸角：接觸角愈大，軸承承受軸向負荷的能力通常愈強，但承受徑向負荷的能力相對降低。
2. 軸承公稱號碼：以四位數軸承號碼為例，末兩碼通常表示內徑代號；內徑代號 $00、01、02、03$ 分別代表 $10、12、15、17\ \mathrm{mm}$，代號 $04$ 以上則通常為代號乘以 $5$。
3. 錐形滾子軸承：滾子與滾道呈線接觸，可同時承受徑向負荷及單一方向的軸向負荷。
4. 滾子軸承與滾珠軸承：滾子軸承為線接觸，滾珠軸承為點接觸；在線接觸下，滾子軸承具有較大的負荷承受能力。

解題方法

逐一檢查各選項：

• 先依接觸角與軸向負荷的關係判斷 A。
• 再由軸承號碼 $6210$ 計算內徑，判斷 B。
• 依錐形滾子軸承的結構與受力方向判斷 C。
• 依接觸形式比較徑向滾子軸承與滾珠軸承，判斷 D。

其中只要找出與軸承基本原理相反的敘述，即為錯誤選項。

選項分析

(A) 軸承的接觸角愈大，能承受的軸向負荷愈小。

錯誤。

軸承接觸角 $\alpha$ 增大時，滾動體與滾道接觸作用的軸向分力增加，因此承受軸向負荷的能力也會提高。可用概念式表示為：

$$F_a \propto \sin\alpha$$

其中 $F_a$ 為軸向負荷分量。接觸角愈大，$\sin\alpha$ 愈大，軸向負荷能力通常愈強。

因此正確敘述應為：

軸承的接觸角愈大，能承受的軸向負荷愈大。

本選項將關係寫成相反方向，故為本題錯誤選項。

(B) 若軸徑為 $50\ \mathrm{mm}$，則可選用公稱號碼為 $6210$ 的滾動軸承。

正確。

核心觀念

本題考查摩擦輪傳動的摩擦力與扭矩關係：

1. 接觸面可傳遞的切向摩擦力為 $F=\mu N$

2. 輪軸所承受的扭矩為 $T=Fr$

其中：

• $\mu$：摩擦係數
• $N$：接觸點正向壓力
• $r$：該輪的半徑
• $T$：扭矩

題目問的是「大輪輸出之扭矩」，因此力矩臂必須使用大輪半徑。內接觸式只會影響兩輪轉動方向與速度關係，不影響本題扭矩大小的計算。

解題方法

大輪直徑為 $600\ \mathrm{mm}$，故其半徑為

$$r_{\text{大}}=\frac{600}{2}=300\ \mathrm{mm}=0.3\ \mathrm{m}$$

接觸面可提供的摩擦力為

$$F=\mu N =0.25\times 2000 =500\ \mathrm{N}$$

大輪輸出扭矩為

$$T_{\text{大}}=Fr_{\text{大}} =500\times 0.3 =150\ \mathrm{N\,m}$$

因此正確選項為：

$$\boxed{150\ \mathrm{N\,m}}$$

大輪轉速 $300\ \mathrm{rpm}$ 在本題中不影響扭矩計算；若要求功率，才需要使用轉速。小輪直徑則可用來求兩輪轉速比，但也不是本題求扭矩所必需的資料。

選項分析

核心觀念

鏈條鏈輪組的傳動比由鏈輪齒數決定。理想情況下，鏈條與兩鏈輪的線速度相同，因此：

$$n_1 z_1=n_2 z_2$$

其中：

• $n_1$：輸入鏈輪轉速
• $z_1$：輸入鏈輪齒數
• $n_2$：輸出鏈輪轉速
• $z_2$：輸出鏈輪齒數

所以輸出轉速為：

$$n_2=n_1\frac{z_1}{z_2}$$

輸出鏈輪齒數越多，輸出轉速越低。

解題方法

已知：

$$n_1=50\ \mathrm{rpm},\qquad z_1=23$$

希望：

$$19\leq n_2\leq20$$

由

$$n_2=50\frac{23}{z_2}$$

也可直接反求輸出鏈輪齒數範圍：

$$z_2=\frac{50\times23}{n_2} =\frac{1150}{n_2}$$

當輸出轉速為 $20\ \mathrm{rpm}$ 時：

$$z_2=\frac{1150}{20}=57.5$$

當輸出轉速為 $19\ \mathrm{rpm}$ 時：

$$z_2=\frac{1150}{19}\approx60.53$$

因此輸出鏈輪齒數應介於：

$$57.5\leq z_2\leq60.53$$

在選項中，只有 $60$ 齒符合。

代入 $z_2=60$：

$$n_2=50\frac{23}{60} =\frac{1150}{60} \approx19.17\ \mathrm{rpm}$$

確實落在 $19\sim20\ \mathrm{rpm}$ 之間。

選項分析

核心觀念

本題考查鏈輪傳動比、轉速與圓周速度的關係。

自行車前鏈輪與後鏈輪以鏈條嚙合，鏈條的線速度相同，因此：

$$N_{\text{前}}T_{\text{前}} = N_{\text{後}}T_{\text{後}}$$

其中：

• $N$：鏈輪轉速
• $T$：鏈輪齒數

後鏈輪與後輪同軸固定，因此後鏈輪轉速等於後輪轉速。後輪每分鐘前進的距離為：

$$\text{車速} = \text{後輪圓周長}\times\text{後輪轉速}$$

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解題方法

前鏈輪齒數為 $75$ 齒，後鏈輪齒數為 $25$ 齒，前鏈輪轉速為 $100\ \mathrm{rpm}$。

由鏈輪傳動關係：

$$N_{\text{前}}T_{\text{前}} = N_{\text{後}}T_{\text{後}}$$

代入數值：

$$100\times75 = N_{\text{後}}\times25$$

因此：

$$N_{\text{後}} = \frac{100\times75}{25} = 300\ \mathrm{rpm}$$

也就是後輪每分鐘轉動 $300$ 圈。

將自行車時速換算為每分鐘行駛距離：

$$18\pi\ \mathrm{km/hr} = 18\pi\times\frac{1000}{60}\ \mathrm{m/min} = 300\pi\ \mathrm{m/min}$$

設後輪直徑為 $d$ 公尺，後輪圓周長為 $\pi d$，則每分鐘行駛距離為：

$$\pi d\times300 = 300\pi$$

約去 $300\pi$：

$$d=1\ \mathrm{m}=100\ \mathrm{cm}$$

因此後輪直徑為 $100\ \mathrm{cm}$。

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選項分析

核心觀念

本題考查摩擦輪傳動機構之動力傳遞原理，涉及以下核心定義與公式：

1. 有效摩擦驅動力（切線力）：摩擦輪表面不打滑情況下所能傳遞的最大切線摩擦力為 $F = \mu \times F_n$ 其中 $\mu$ 為摩擦係數，$F_n$ 為接觸面正壓力（法向力）。
2. 圓周線速度：摩擦輪外緣接觸點之線速度為 $V = \frac{\pi D N}{60}$ 其中 $D$ 為摩擦輪直徑（公尺，$\mathrm{m}$），$N$ 為轉速（$\mathrm{rpm}$）。
3. 傳遞功率：切線力與線速度之乘積即為傳遞之機械功率（SI 制單位為瓦特，$\mathrm{W}$）： $P = F \times V = \mu F_n \times \frac{\pi D N}{60}$

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解題方法

依據題目給定條件：

• 摩擦輪直徑 $D = 50\ \mathrm{cm} = 0.5\ \mathrm{m}$
• 轉速 $N = 500\ \mathrm{rpm}$
• 接觸處正壓力 $F_n = 1000\ \mathrm{N}$
• 摩擦係數 $\mu = 0.15$

步驟一：計算傳遞之切線摩擦力 $F$ $F = \mu \times F_n = 0.15 \times 1000\ \mathrm{N} = 150\ \mathrm{N}$

步驟二：計算摩擦輪邊緣線速度 $V$ $V = \frac{\pi \times D \times N}{60} = \frac{\pi \times 0.5 \times 500}{60} = \frac{250\pi}{60} = \frac{25\pi}{6}\ \mathrm{m/s}$

步驟三：計算傳遞功率 $P$

核心觀念

本題考查鏈條傳動的特性，以及鏈輪齒數對傳動平穩度的影響。鏈條與鏈輪以嚙合方式傳動，因此速比穩定、傳動效率高，且不像皮帶傳動需要靠摩擦力傳遞動力；但鏈條與鏈輪嚙合時會產生多邊形效應，使鏈速和傳動力略有週期性變化，帶來擺動與噪音。

解題方法

逐項對照鏈條傳動的典型特性，判斷敘述是否符合機械原理。關鍵在於鏈輪齒數：齒數增加時，多邊形效應通常減弱，傳動較平穩；齒數減少則多邊形效應加劇，擺動與噪音會增加。因此「欲降低擺動和噪音，可減少鏈輪齒數」與一般設計原則相反。

選項分析

• (A) 速比準確且傳動距離較遠。 正確。鏈條與鏈輪嚙合，正常工作時不易發生皮帶打滑，因此速比較準確；相較於齒輪傳動，鏈條也適用於較遠的軸間距。
• (B) 傳動效率和有效拉力比皮帶高。 正確。

核心觀念

本題考查皮帶傳動的基本形式與特性，包括：

1. 開口帶與交叉帶的旋轉方向。
2. 皮帶緊邊、鬆邊的配置。
3. 皮帶長度與接觸角。
4. 塔輪調速原理。

其中：

• 開口帶：兩軸轉向相同。
• 交叉帶：兩軸轉向相反。
• 交叉帶的接觸角通常大於開口帶，具有較大的摩擦傳動能力。
• 塔輪可藉由不同直徑的皮帶輪組合改變轉速。

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解題方法

判斷本題最直接的方法，是先辨認各種皮帶傳動的基本特性：

• 看到「交叉帶」先判斷兩軸轉向，交叉帶必為反向旋轉。
• 看到「開口帶」則為同向旋轉。
• 比較皮帶長度時，交叉帶兩段直線皮帶彼此交叉，所需長度較長。
• 判斷緊邊位置時，依機械原理的常用設計原則，開口帶應使緊邊位於下方，以增加包角及摩擦傳動效果。
• 塔輪則是利用不同直徑皮帶輪的配合來獲得不同轉速。

因此，選項中只要將交叉帶的轉向敘述錯誤，即可判定答案。

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選項分析

(A) 正確

開口皮帶輪裝置傳動時，通常使皮帶緊邊位於下方、鬆邊位於上方。皮帶在下方受拉時，能使皮帶較貼近皮帶輪，增加皮帶與皮帶輪間的接觸角，即包角。

皮帶傳遞動力的能力與摩擦力有關，而摩擦力受包角影響。包角越大，皮帶與皮帶輪間的摩擦作用越充分，越能降低打滑的可能性，因此本項正確。

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(B) 錯誤

交叉帶適用於兩軸平行但轉向相反的場合，而非轉向相同。

開口帶的皮帶不交叉，因此兩皮帶輪轉向相同；交叉帶因皮帶交叉，會使從動輪的轉向與主動輪相反。

核心觀念

本題考「相等塔輪機構」各級轉速的配置關係。

塔輪以皮帶傳動時，依皮帶線速度相等：

$$n_1d_1=n_2d_2$$

其中 $n$ 為轉速，$d$ 為皮帶接觸處的有效直徑。

相等塔輪的對稱配置具有下列特性：

1. 中間級主、從動輪直徑相等，因此從動軸轉速等於主動軸轉速。
2. 最低速級與最高速級互為倒數關係。
3. 各成對級速之乘積，等於中間轉速的平方。

因此，本題五級轉速可表示為：

$$n_1,\ n_2,\ 500,\ n_4,\ n_5$$

且有：

$$n_1n_5=500^2$$ $$n_2n_4=500^2$$

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解題方法

已知從動軸最低與次低轉速分別為：

$$n_1=100\ \mathrm{rpm}$$ $$n_2=200\ \mathrm{rpm}$$

主動軸轉速為：

$$n_0=500\ \mathrm{rpm}$$

中間級轉速為 $500\ \mathrm{rpm}$。

由相等塔輪的對稱關係：

$$n_1n_5=n_0^2$$

所以最高級轉速為：

$$n_5=\frac{500^2}{100} =\frac{250000}{100} =2500\ \mathrm{rpm}$$

另一組對應級速為：

$$n_2n_4=n_0^2$$

因此：

$$n_4=\frac{500^2}{200} =\frac{250000}{200} =1250\ \mathrm{rpm}$$

故從動軸五個轉速為：

$$100,\quad 200,\quad 500,\quad 1250,\quad 2500\ \mathrm{rpm}$$

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選項分析

核心觀念

本題考查皮帶輪傳動的轉速比，以及皮帶與皮帶輪接觸面產生滑動損失時，從動輪實際轉速的計算。

不考慮皮帶厚度時，皮帶的線速度可由皮帶輪外徑計算。無滑動時，主動輪與從動輪的圓周速度相同，因此：

$$N_1D_1=N_2D_2$$

其中：

• $N_1$：主動輪轉速
• $D_1$：主動輪直徑
• $N_2$：從動輪轉速
• $D_2$：從動輪直徑

若有滑動損失 $s$，從動輪實際轉速為理想轉速的 $(1-s)$ 倍：

$$N_2=N_1\frac{D_1}{D_2}(1-s)$$

本題所給滑動損失 $2\%$，即：

$$s=0.02$$

解題方法

已知：

$$N_1=100\ \mathrm{rpm}$$ $$D_1=25\ \mathrm{cm},\qquad D_2=50\ \mathrm{cm}$$

先計算不考慮滑動損失時的從動輪轉速：

$$N_{2,\text{理想}} =100\left(\frac{25}{50}\right) =100\left(\frac{1}{2}\right) =50\ \mathrm{rpm}$$

再扣除 $2\%$ 的滑動損失：

$$N_2=50(1-0.02)$$ $$N_2=50\times0.98=49\ \mathrm{rpm}$$

因此，從動輪的實際轉速為：

$$\boxed{49\ \mathrm{rpm}}$$

選項分析

• (A) $25\ \mathrm{rpm}$：錯誤

核心觀念

本題考平鍵傳遞扭矩時，鍵側面受力所造成的承壓應力。平鍵高度為 $H$，其中與輪轂接觸、承受擠壓的有效高度採 $H/2$；鍵的長度為 $L$，因此承壓面積為

$$A_c=\frac{H}{2}L$$

軸傳遞扭矩 $T$ 時，鍵所受的切向力 $F$ 作用於軸半徑 $D/2$，故扭矩關係為

$$T=F\frac{D}{2} \quad\Rightarrow\quad F=\frac{2T}{D}$$

解題方法

承壓應力等於切向力除以承壓面積：

$$\sigma_c=\frac{F}{A_c} =\frac{2T/D}{(H/2)L} =\frac{4T}{DHL}$$

因此符合的選項為 (B)。

選項分析