108 年鐵路特考員級土木工程考古題與詳解

Question 1

圖一塗滿面積為一邊長為 $10\ \mathrm{cm}$ 的正方形扣除半徑為 $10\ \mathrm{cm}$ 的 $\frac{1}{4}$ 圓形，試求：

(一) 此塗滿面積的形心。（以圖示 $x$ - $y$ 座標為基準。）（10 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(二) 此塗滿面積對於通過形心而且平行於 $x$ 軸的慣性矩。（15 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題用「複合面積法」處理：塗滿面積是正方形扣除四分之一圓，因此先計算兩部分的面積與形心，再用面積差求合成形心。求通過形心且平行於 $x$ 軸的慣性矩時，先求對原 $x$ 軸的慣性矩，再用平行軸定理移至形心軸： $$ I{\bar{x}}=Ix-A\bar{y}^{\,2} $$ 解題方法 設正方形左下角為座標原點，邊長與四分之一圓半徑均為 $10\ \mathrm{cm}$。四分之一圓的圓心在 $(0,10)$，其面積範圍位於正方形內。 正方形與四分之一圓的面積分別為 $$ As=10^2=100,\qquad Aq=\frac{\pi(10)^2}{4}=25\pi $$ 因此塗滿面積為 $$ A=As-Aq=100-25\pi $$ （一）形心 正方形形心為 $(5,5)$。四分之一圓形心距圓心各方向 $4r/(3\pi)$；由圓心 $(0,10)$ 朝右下方量取，故 $$ (xq,yq)=\left(\frac{40}{3\pi},\ 10-\frac{40}{3\pi}\right) $$ 以「正方形減去四分之一圓」計算形心： $$ \bar{x} =\frac{As(5)-Aqxq}{A} =\frac{500-25\pi\left(\frac{40}{3\pi}\right)}{100-25\pi} =\frac{20}{3(4-\pi)} \approx 7.766\ \mathrm{cm} $$ $$ \bar{y} =\frac{As(5)-Aqyq}{A} =\frac{500-25\pi\left(10-\frac{40}{3\pi}\right)}{100-25\pi} =\frac{10\left(\frac{10}{3}-\pi\right)}{4-\pi} \approx 2.234\ \mathrm{cm} $$ （二）通過形心且平行於 $x$ 軸的慣性矩

Question 2

圖二所示桁架在 $A$ 點受到水平方向的 $P$ 力，試求各桿的桿力。請將桁架圖形繪在試卷上，並將各桿桿力標於對應的桿件旁，說明張力或壓力。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念

桁架各桿視為二力構件，桿力沿桿件軸線作用。以「拉力為正」列節點平衡式；解得正值表示張力，負值表示壓力。

圖中中央未標名的節點以下記為 $F$ 。支承於 $E$ 點為滾輪支承，只有鉛直反力； $D$ 點為鉸支承，有水平、鉛直反力。幾何尺寸為 $AB=BC=4\,\text{m}$ ， $AE=CD=6\,\text{m}$ ，且 $F$ 位於 $AD$ 中點，因此斜桿方向的水平、鉛直比例為 $4:3$ ，其方向餘弦為 $4/5$ 、 $3/5$ 。

解題方法

先求支承反力，再依序對節點列平衡式。此桁架為靜定桁架，支承反力及各桿力可由平面力平衡與節點法求得。

令 $D$ 點反力為 $(D_x,D_y)$ ， $E$ 點鉛直反力為 $E_y$ 。取向右、向上為正，對整體列平衡：

\sum F_x=0:\quad D_x+P=0

\sum M_D=0:\quad -6P-8E_y=0

\sum F_y=0:\quad D_y+E_y=0

所以

D_x=-P,\qquad E_y=-\frac{3P}{4},\qquad D_y=\frac{3P}{4}

其中 $E_y$ 為向下， $D_x$ 為向左， $D_y$ 為向上。

各桿桿力

**節點 $E$ ：**假設桿力皆為拉力，則 $AE$ 在節點處向上、 $ED$ 向右。

\sum F_y=0:\quad F_{AE}+E_y=0 \quad\Rightarrow\quad F_{AE}=\frac{3P}{4}

\sum F_x=0:\quad F_{ED}=0

因此 $AE$ 為張力， $ED$ 為零桿力。

**節點 $A$ ：**斜桿 $AF$ 的方向分量為 $(4/5,-3/5)$ 。

\sum F_y=0:\quad -F_{AE}-\frac{3}{5}F_{AF}=0 \quad\Rightarrow\quad F_{AF}=-\frac{5P}{4}

Question 3

圖三所示 $AB$ 桿件和 $BCD$ 桿件採用相同的材料，在 $B$ 點鉸接。已知 $AB$ 桿件為均勻桿件，斷面積為 $A$ ； $BCD$ 桿件為均勻桿件，慣性矩為 $I$ 。

在圖示的載重下，欲使 $D$ 點的變位量大小與 $B$ 點的變位量大小相等，試求 $I$ 與 $A$ 的比值。不考慮 $BCD$ 桿件的軸向變形。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題結合桿件軸向變形與梁的彎曲變形： - $AB$ 為長度 $6\,\mathrm m$ 的軸向桿，軸向變形量為 $\delta=FL/(EA)$。 - $BCD$ 受彎曲，其彈性曲線滿足 $v''=M/(EI)$。 - 先用靜力平衡求出 $AB$ 傳給梁的力，再由彈性曲線求 $D$ 點位移，最後套用兩點位移大小相等的條件。 解題方法 令 $F$ 為 $AB$ 對 $BCD$ 在 $B$ 點的作用力大小。載重 $P$ 使梁的 $D$ 端受向下力；依圖中尺寸，$BC=5\,\mathrm m$、$CD=3\,\mathrm m$。 以 $C$ 點取矩： $$ 5F=3P \quad\Longrightarrow\quad F=\frac{3P}{5} $$ 梁的 $B$ 點向上位移，因此 $AB$ 受壓。以下取向下為正，則 $$ vB=-\frac{FL}{EA} =-\frac{6F}{EA} =-\frac{18P}{5EA} $$ 求梁的 $D$ 點位移。以 $B$ 為 $x=0$，$C$ 為 $x=5$，$D$ 為 $x=8$。$C$ 點為簡支承，故 $vC=0$。兩段彎矩為 $$ M(x)= \begin{cases} -Fx, & 0\le x\le 5,\ -5F+P(x-5), & 5\le x\le 8. \end{cases} $$

Question 4

圖四所示剛架，$BC$ 桿件為完全剛性，已知 $AB$ 桿件及 $CD$ 桿件的斷面相同，並使用相同的材料，$EI$ 為常數。 此剛架在水平方向施加一 $Q$ 力，使 $BC$ 桿件在水平方向移動。欲使 $AB$ 桿件及 $CD$ 桿件挫屈的安全係數為 $2.5$，試求所能施加的 $P$ 力。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查剛架柱的彈性挫屈與安全係數。柱的 Euler 挫屈荷重為 $$ P{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2 EI}{(KL)^2} $$ 其中 $K$ 為有效長度係數，$L$ 為柱長。安全係數定義為挫屈荷重除以實際軸力。 圖示剛架可側移，且梁 $BC$ 為完全剛性；依側移架構的理想化挫屈條件，柱的有效長度係數取 $K=1$。兩柱長度均為 $4\,\mathrm{m}$，且材料與斷面相同。 解題方法 因 $P$ 作用於跨中央，且左右柱相同，垂直荷重由兩柱平均承受，因此每柱軸力為 $$ N=\frac{P}{2} $$ 每根柱的 Euler 挫屈荷重為 $$ P{\mathrm{cr}} =\frac{\pi^2 EI}{(1	imes4)^2} =\frac{\pi^2 EI}{16} $$

108 鐵路特考員級土木工程工程力學概要考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

核心觀念

解題方法

各桿桿力

第三題25 分

核心觀念

解題方法

第四題25 分

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第 二 題25 分

核心觀念

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第二題25 分

第三題25 分

第四題25 分