109 鐵路特考員級 土木工程 工程力學概要 考古題詳解

核心觀念

桁架桿件視為兩力構件，桿力沿桿件軸線作用。以拉力為正、壓力為負，對各節點使用平面力平衡式：

先由整體平衡求支承反力，再依節點法逐一求桿力。依圖一尺寸取座標： $A(0,0)$、$B(3,0)$、$F(0,2)$、$E(1,3)$、$D(2,3)$、$C(3,2)$，單位為公尺。桿件為 $AF、FE、ED、DC、CB、AD、EB、FD、EC$。

解題方法

整體垂直力平衡與對 $A$ 點取矩：

因此

水平方向沒有外力，故 $A_x=0$。

從 $A、B$ 節點開始，可直接找出兩根零力桿件。$A$ 點的水平平衡只有斜桿 $AD$ 能提供水平分力，因此 $AD=0$；$B$ 點同理，$EB=0$。

在 $A$ 點，$AD=0$，垂直平衡得：

在 $B$ 點，$EB=0$，垂直平衡得：

接著在 $F$ 點求 $FE、FD$。由圖中斜桿方向比，$FE$ 的方向分量比例為 $(1,1)/\sqrt2$，$FD$ 為 $(2,1)/\sqrt5$。代入節點平衡：

解得

在 $C$ 點，$CB=-4\text{ kN}$，方向分量比例為 $CD=(-1,1)/\sqrt2$、$CE=(-2,1)/\sqrt5$。節點平衡式為：

核心觀念

纜索可視為理想、無重且連續，並繞過無摩擦滑輪，因此兩段纜索的張力相同，皆為 $T$。滑輪 $B$ 平衡時，兩段纜索的水平分力互相抵消，鉛直分力合力則平衡袋子的重量。

解題方法

令 $A=(0,0)$、$C=(3.5,0.75)$、$B=(x,-h)$，其中 $h>0$。設 $AB=L_1$、$BC=L_2$，則

由滑輪的水平方向平衡：

消去相同張力 $T$，並利用 $L_1+L_2=5$：

所以兩段纜索的水平方向比例皆為 $0.7$。其鉛直方向比例為

因此

兩式相減，並配合 $L_1+L_2=5$：

核心觀念

B 是梁內的樞接，因此樞接處彎矩為零，即 $M_B=0$；但樞接仍可傳遞剪力。先利用 B 將梁分成 AB、BC 兩段求支承反力，再依剪力與彎矩的關係繪圖：

以下採「正彎矩為下凹（撓曲）」的符號慣例。

解題方法

令 $x$ 自 A 向右量，$s$ 自 B 向右量。先取 BC 段平衡；BC 長度為 $L/2$，均佈載重合力為 $wL/2$，作用於跨中。由對稱性，B、C 兩端反力各為 $wL/4$。其中 B 的反力作用在右段向上，因此樞接傳給左段的力為向下 $wL/4$。

對 AB 段作平衡，可得 A 的垂直反力與固定端反力矩：

固定端反力矩為逆時針；梁內部彎矩圖在 A 處為負值。

剪力圖

全梁剪力由 A 向右隨均佈載重線性下降：

主要位置的剪力值為：

• A 右側：$V_{A^+}=\dfrac{3wL}{4}$
• B：$V_B=\dfrac{wL}{4}$
• C 左側：$V_{C^-}=-\dfrac{wL}{4}$

C 的滾承反力向上 $wL/4$，使剪力圖在 C 向上跳回零。B 是內部樞接，沒有外加集中力，因此剪力圖在 B 不跳躍。

彎矩圖

核心觀念

本題考垂直組合截面的形心，以及形心軸的截面二次慣性矩。將 T 型截面分成翼板與腹板兩個矩形，先求形心位置，再用平行軸定理計算 $I_{x'}$；關於對稱的鉛直軸 $y'$，則直接加總兩矩形的慣性矩。

矩形的形心慣性矩公式為：

平行軸定理為：

其中 $I_c$ 是矩形自身形心軸的慣性矩，$A$ 是面積，$d$ 是矩形形心至目標軸的距離。

解題方法

以翼板頂面為垂直座標起點，向下量距。翼板寬 $150\ \mathrm{mm}$、厚 $20\ \mathrm{mm}$；腹板寬 $20\ \mathrm{mm}$，自翼板下方延伸 $150\ \mathrm{mm}$。

截面形心距頂部：