109 鐵路特考員級 土木工程 結構學概要與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

109 年・鐵路特考・員級・土木工程
試題代碼 結構學概要與鋼筋混凝土學概要

第 一 題25 分

如圖所示之桁架，當未承受任何載重時，試判斷其為靜定、超靜定或不穩定。

當 EE 點承受 8 kN8\ \mathrm{kN} 水平向右力時，試求桿件 BEBE、EDED 之桿件力。

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核心觀念

平面桁架的靜定判別式為

m+r=2jm+r=2j

其中 mm 為桿件數、rr 為支承反力數、jj 為節點數。此式成立仍須確認桁架幾何穩定，不能只靠數量判斷。

本題有 j=6j=6 個節點、m=9m=9 根桿件；A 點為鉸支承、C 點為滾支承，故 r=3r=3。因此

m+r=9+3=12=2(6)=2jm+r=9+3=12=2(6)=2j

桁架由桿件形成穩定的三角形配置，故為靜定桁架。圖中交叉桿件的交點沒有節點符號，因此交叉處不另計節點。

解題方法

以桿件受拉為正，受壓則計算結果為負。先求支承反力，再利用各節點的水平、垂直力平衡求 BEBE、EDED。

E 點比 A 點高 7.5−2=5.5 m7.5-2=5.5\ \mathrm{m}，且 C 點距 A 點水平距離為 4 m4\ \mathrm{m}。整體平衡得

∑MA=0:4Cy−8(5.5)=0⇒Cy=11 kN\sum M_A=0:\quad 4C_y-8(5.5)=0 \quad\Rightarrow\quad C_y=11\ \mathrm{kN} ∑Fy=0:Ay+Cy=0⇒Ay=−11 kN\sum F_y=0:\quad A_y+C_y=0 \quad\Rightarrow\quad A_y=-11\ \mathrm{kN} ∑Fx=0:Ax+8=0⇒Ax=−8 kN\sum F_x=0:\quad A_x+8=0 \quad\Rightarrow\quad A_x=-8\ \mathrm{kN}

斜桿 FEFE、EDED 的水平投影為 2 m2\ \mathrm{m}、垂直投影為 1.5 m1.5\ \mathrm{m}，故其方向餘弦為 2/2.5=0.82/2.5=0.8、1.5/2.5=0.61.5/2.5=0.6；ABAB、ADAD 的水平與垂直投影相等，方向分量均為 1/21/\sqrt2。

由 E 點水平方向平衡：

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第 二 題25 分

如圖所示之梁，各段材料彈性模數為 E=200×106 kN/m2E=200\times10^6\ \mathrm{kN/m^2}，慣性矩為 I=100×106 mm4I=100\times10^6\ \mathrm{mm^4}。

試繪其彎矩圖，並求 CC 點左右旋轉角及其垂直位移。

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核心觀念

本題考查內鉸梁的靜力平衡、彎矩圖，以及以彎矩面積法求轉角與位移。內鉸 CC 可傳遞剪力與軸力，但不能傳遞彎矩；因此 CC 點左右的轉角可以不同，垂直位移則相同。

取向上位移為正、逆時針轉角為正，彎矩圖以正彎矩（下凹、梁底受拉）為正。圖示 BB 點的 30 kN m30\ \mathrm{kN\,m} 力偶為逆時針。

先換算彎曲剛度：

I=100×106 mm4=1.0×10−4 m4I=100\times10^6\ \mathrm{mm^4} =1.0\times10^{-4}\ \mathrm{m^4} EI=(200×106)(1.0×10−4)=20,000 kN m2EI=(200\times10^6)(1.0\times10^{-4}) =20{,}000\ \mathrm{kN\,m^2}

解題方法

梁長各段均為 2 m2\ \mathrm m，所以 A,B,C,D,EA,B,C,D,E 的位置依序為 x=0,2,4,6,8 mx=0,2,4,6,8\ \mathrm m。先以內鉸 CC 分開梁段，利用靜力平衡求反力，再由彎矩圖積分求 CC 點位移與左右轉角。

右段 CC 至 EE 的平衡式為：

∑MC=0:ME+4Ey−7.5(2)=0\sum M_C=0:\quad M_E+4E_y-7.5(2)=0 ∑Fy=0:Cy(右)+Ey−7.5=0\sum F_y=0:\quad C_y^{(右)}+E_y-7.5=0

左段 AA 至 CC 的平衡式為：

∑MA=0:4Cy(左)+30=0\sum M_A=0:\quad 4C_y^{(左)}+30=0

且 Cy(右)=−Cy(左)C_y^{(右)}=-C_y^{(左)}。解得：

Cy(左)=−7.5 kN,Cy(右)=7.5 kNC_y^{(左)}=-7.5\ \mathrm{kN},\quad C_y^{(右)}=7.5\ \mathrm{kN} Ay=7.5 kN,Ey=0,ME=15 kN mA_y=7.5\ \mathrm{kN},\quad E_y=0,\quad M_E=15\ \mathrm{kN\,m}

以 M>0M>0 表示正彎矩，彎矩圖分段如下：

M(x)={7.5x,0≤x<27.5x−30,2<x≤4(左段)M(x)= \begin{cases} 7.5x, & 0\le x<2\\ 7.5x-30, & 2<x\le4 \end{cases} \quad(\text{左段})

因此左段彎矩在 AA 為 00，在 BB 左側為 +15 kN m+15\ \mathrm{kN\,m}；通過 BB 點力偶時向下跳 30 kN m30\ \mathrm{kN\,m}，在 BB 右側為 −15 kN m-15\ \mathrm{kN\,m}，至 CC 回到 00。

右段以 ξ=x−4\xi=x-4 表示距 CC 的距離：

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第 三 題25 分

簡支梁其中間段斷面配筋如圖所示，d=55 cmd=55\ \mathrm{cm}，承受載重 wD=2.2 tf/mw_D=2.2\ \mathrm{tf/m}（未含自重）及活載均布載重 wL=1.8 tf/mw_L=1.8\ \mathrm{tf/m} 作用，混凝土單位重為 2,300 kgf/m32{,}300\ \mathrm{kgf/m^3}，fc′=315 kgf/cm2f'_c=315\ \mathrm{kgf/cm^2}，鋼筋 fy=4,200 kgf/cm2f_y=4{,}200\ \mathrm{kgf/cm^2}。

試求此斷面之設計彎矩 ϕMn\phi M_n，並驗證其是否滿足 ϕMn>Mu\phi M_n>M_u 之要求。請以現行規範作答。

已知：

  • D25 直徑為 2.54 cm2.54\ \mathrm{cm}。
  • As=5.067 cm2A_s=5.067\ \mathrm{cm^2}。
  • 梁跨度為 6 m6\ \mathrm{m}。
  • 梁寬為 30 cm30\ \mathrm{cm}，梁高為 60 cm60\ \mathrm{cm}。
  • 受拉鋼筋為 33 支 D25。

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核心觀念

本題考查簡支矩形梁的彎矩強度設計：先將梁自重併入靜載重，依載重組合求需求彎矩 MuM_u；再由受拉鋼筋量計算名目彎矩強度 MnM_n，判定斷面應採用的強度折減係數 ϕ\phi，最後檢核 ϕMn>Mu\phi M_n>M_u。

以下依現行《建築物混凝土結構設計規範》計算；該規範於民國 113 年 1 月 1 日生效。規範公告

解題方法與計算

1. 計算梁自重

梁截面為 30 cm×60 cm30\text{ cm}\times60\text{ cm}，混凝土單位重為 2,300 kgf/m32{,}300\text{ kgf/m}^3：

wself=0.30(0.60)(2,300)=414 kgf/m=0.414 tf/mw_{\text{self}} =0.30(0.60)(2{,}300) =414\text{ kgf/m} =0.414\text{ tf/m}

因此總靜載重為

D=2.2+0.414=2.614 tf/mD=2.2+0.414=2.614\text{ tf/m}

2. 計算需求彎矩 MuM_u

依現行規範，主要載重組合包括 1.4D1.4D 與 1.2D+1.6L1.2D+1.6L；本題由後者控制。現行載重組合

wu=1.2(2.614)+1.6(1.8)=6.0168 tf/mw_u=1.2(2.614)+1.6(1.8) =6.0168\text{ tf/m}

簡支梁承受均布載重時，最大正彎矩為 wuL2/8w_uL^2/8。跨度 L=6 mL=6\text{ m}，故

Mu=wuL28=6.0168(62)8=27.0756 tf⋅mM_u=\frac{w_uL^2}{8} =\frac{6.0168(6^2)}{8} =27.0756\text{ tf}\cdot\text{m}

3. 計算名目彎矩強度 MnM_n

受拉鋼筋面積為

As=3(5.067)=15.201 cm2A_s=3(5.067)=15.201\text{ cm}^2

矩形等值壓力塊深度：

a=Asfy0.85fc′b=15.201(4,200)0.85(315)(30)=7.948 cma=\frac{A_sf_y}{0.85f'_cb} =\frac{15.201(4{,}200)}{0.85(315)(30)} =7.948\text{ cm}

其中 b=30 cmb=30\text{ cm}、d=55 cmd=55\text{ cm}。單筋矩形梁名目彎矩強度為

Mn=Asfy(d−a2)M_n=A_sf_y\left(d-\frac a2\right)
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第 四 題25 分

已知梁承受 wD=2.7 tf/mw_D=2.7\ \mathrm{tf/m}（含自重）及活載均布載重 wL=2.1 tf/mw_L=2.1\ \mathrm{tf/m} 作用，混凝土 fc′=315 kgf/cm2f'_c=315\ \mathrm{kgf/cm^2}，鋼筋 fy=2,800 kgf/cm2f_y=2{,}800\ \mathrm{kgf/cm^2}，D10 箍筋直徑為 0.953 cm0.953\ \mathrm{cm}，As=0.71 cm2A_s=0.71\ \mathrm{cm^2}，D22 主筋直徑為 2.2 cm2.2\ \mathrm{cm}，保護層厚度為 4 cm4\ \mathrm{cm}。

試求：

（一）混凝土可以承擔之剪力。

（二）臨界斷面處，箍筋之間距 ss 為多少公分？

參考公式：

0.53fc′ bwd0.53\sqrt{f'_c}\,b_wd

1.06fc′ bwd1.06\sqrt{f'_c}\,b_wd

2.12fc′ bwd2.12\sqrt{f'_c}\,b_wd

梁跨度為 10 m10\ \mathrm{m}。

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核心觀念

本題考簡支梁的剪力設計：先依載重組合求極限剪力 VuV_u，再用 Vc=0.53fc′ bwdV_c=0.53\sqrt{f'_c}\,b_wd 計算混凝土名義剪力強度，最後由箍筋承擔剩餘剪力。剪力設計採 ϕ=0.75\phi=0.75。

解題方法

梁為 T 形斷面，腹板寬 bw=30 cmb_w=30\ \mathrm{cm}，總深度 h=15+35=50 cmh=15+35=50\ \mathrm{cm}。有效深度自頂面量至底部主筋中心：

d=h−保護層−箍筋直徑−主筋直徑2=50−4−0.953−2.22=43.947 cmd=h-\text{保護層}-\text{箍筋直徑}-\frac{\text{主筋直徑}}{2} =50-4-0.953-\frac{2.2}{2} =43.947\ \mathrm{cm}

（一）混凝土可以承擔之剪力

依題目所列公式：

Vc=0.53fc′ bwd=0.53315(30)(43.947)=12,404 kgf≈12.40 tfV_c=0.53\sqrt{f'_c}\,b_wd =0.53\sqrt{315}(30)(43.947) =12{,}404\ \mathrm{kgf} \approx 12.40\ \mathrm{tf}

因此，混凝土的名義剪力強度為 Vc=12.40 tfV_c=12.40\ \mathrm{tf}；設計強度為：

ϕVc=0.75(12.40)=9.30 tf\phi V_c=0.75(12.40)=9.30\ \mathrm{tf}

（二）臨界斷面處箍筋間距

載重組合為：

wu=1.2wD+1.6wL=1.2(2.7)+1.6(2.1)=6.6 tf/mw_u=1.2w_D+1.6w_L =1.2(2.7)+1.6(2.1) =6.6\ \mathrm{tf/m}

簡支梁均布載重下，支承處剪力為 wuL/2w_uL/2。臨界斷面距支承 dd，故：

Vu=wu(L2−d)=6.6(5−43.947100)=30.10 tfV_u=w_u\left(\frac{L}{2}-d\right) =6.6\left(5-\frac{43.947}{100}\right) =30.10\ \mathrm{tf}
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