109 鐵路特考員級 土木工程 測量學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查測量誤差的分類，以及如何依誤差性質處理觀測資料。測量結果常以「真值＋誤差」表示；真值通常無法直接得知，實務上須透過重複觀測、儀器校正與必要改正，降低誤差對成果的影響。

• 隨機誤差（偶然誤差）：由許多微小且難以逐一掌握的因素造成，誤差正負與大小具有不確定性；在相同條件下重複觀測，誤差通常呈現正、負交替，且小誤差出現的機率較大。其累積效果可用機率與統計方法描述。
• 系統誤差：由具規律性的原因造成，例如儀器構造或校正偏差、觀測方法不當，或溫度等環境因素的固定影響。誤差會依一定方向或規律偏大、偏小；若未改正，增加觀測次數也不會使其自行消除。

解題方法

先辨認誤差是否有可預測的固定規律，再採用相應處理方式：隨機誤差以重複觀測及統計平差降低影響；系統誤差則找出原因，校正或計算改正數後再處理資料。兩者不可混為一談，單靠增加觀測次數不能消除系統誤差。

一、隨機誤差的資料處理

在觀測條件相同、各次觀測精度相當且彼此獨立時，對同一量重複觀測 $n$ 次，可用算術平均值作為估計值：

平均值可減弱正、負隨機誤差的相互抵銷效果。若各觀測值精度不同，則依精度給予權數，採加權平均或最小二乘平差；平差後再以殘差、標準差等統計量評估成果精度。

核心觀念

本題考查全測站垂直度盤的指標差，以及正、倒鏡觀測如何消除指標差。

天頂距全圓周式垂直度盤中，同一目標的正鏡與倒鏡天頂距理論上互為補角，兩讀數之和應為 $360^\circ$。若有垂直度盤指標差 $i$，可表示為：

其中 $Z$ 為改正後天頂距。因此：

解題方法

先將正、倒鏡讀數相加，再扣除理論值 $360^\circ$，所得差值由兩個鏡位共同造成，故指標差為差值的一半。

正鏡讀數：

倒鏡讀數：

兩讀數之和為：

故指標差：

改正後天頂距可由正鏡讀數扣除指標差求得：

核心觀念

地面雷射掃描儀（Terrestrial Laser Scanner, TLS）以儀器為測站，向周圍場景發射雷射，量測各雷射點的距離與方向，再將極座標觀測值轉換成三維直角坐標。儀器快速、密集地取得大量點位後，形成代表物體表面的「點雲」。

本題分兩部分：第一部分說明儀器的基本組成；第二部分說明如何由距離、水平角與垂直角求得點雲三維坐標。

（一）基本組成元件

地面雷射掃描儀的主要組成如下：

1. 雷射發射與接收系統：發射雷射脈衝或調變光束，接收目標反射回來的訊號，供距離量測使用。
2. 距離量測單元：依雷射訊號往返時間或相位差計算儀器至目標的斜距。
3. 掃描偏轉機構：利用旋轉鏡、掃描鏡或儀器本體旋轉，使雷射束依設定方向掃描場景。
4. 角度量測單元：量測雷射束的水平角與垂直角，確定每個量測點相對於儀器的方向。
5. 控制與資料處理單元：控制掃描參數、同步記錄距離與角度觀測值，並計算或儲存點雲資料。
6. 支撐與整平裝置：包含腳架、基座及整平裝置，使儀器安置穩定並建立測站姿態。
7. 影像或輔助感測單元：部分儀器配有數位相機、傾斜感測器或全球導航衛星系統接收器，用於取得彩色資訊、儀器姿態或測站定位資訊。

不同廠牌與型式的配置略有差異，但核心量測必須具備距離量測與方向量測能力，才能求出點位三維坐標。

（二）由觀測值求點雲三維坐標

解題方法與坐標推導

先以掃描儀中心作為局部坐標原點，將量測結果表示為斜距 $S$、水平角 $\theta$ 及垂直角 $\alpha$。若垂直角 $\alpha$ 是由水平面向上量起，則點位的水平投影距離為

在局部直角坐標系中，點位坐標為

核心觀念

本題考查全球衛星導航系統（GNSS）的測距定位原理，以及單點定位與相對定位在觀測方式、作業配置和定位精度上的差異。衛星定位的基本概念是：接收機接收多顆衛星所發射的訊號，利用訊號傳播時間求得接收機至衛星的距離，再由多個距離觀測值解算接收機位置。

（一）定位原理（10 分）

衛星在已知軌道上運行，持續播送包含衛星識別碼、精密時間及軌道資料的訊號。接收機比對衛星訊號的發射時間與接收時間，以訊號傳播時間乘上光速，求得接收機與衛星間的距離：

其中，$\rho_i$ 為接收機至第 $i$ 顆衛星的觀測距離，$c$ 為光速，$\Delta t_i$ 為訊號傳播時間。實際量得的距離稱為「偽距」，因為接收機時鐘與衛星時鐘存在誤差，且觀測值還會受到大氣延遲、多路徑效應及軌道誤差等影響。

每顆衛星的位置可由其軌道資料計算。在三維空間中，接收機位置 $(x,y,z)$ 必須同時符合各衛星的距離球面方程。以第 $i$ 顆衛星為例：

其中，$(X_i,Y_i,Z_i)$ 為衛星位置，$\delta t$ 為接收機時鐘差。未知數包含接收機三維坐標及接收機時鐘差，因此一般至少需要觀測四顆衛星，聯立方程式解算位置與時鐘差。解得的地心坐標可再轉換為大地坐標，例如經度、緯度及橢球高。

解題方法

作答依「衛星位置已知 → 量測衛星距離 → 多個距離交會 → 求接收機位置」的順序說明，並指出接收機時鐘差使觀測距離成為偽距，故需至少四顆衛星解算四個未知數。

（二）單點定位與相對定位比較（15 分）