109 鐵路特考員級 電力工程 基本電學 考古題詳解

核心觀念

本題考查一階 RC 電路的時間常數、直流穩態、電容儲能與自然響應／受迫響應。所用公式為：

其中 $R_{\mathrm{th}}$ 是從電容兩端看入、將獨立電壓源設為零後的等效電阻，$V_f$ 是電容的穩態電壓。

解題方法與計算

（一）時間常數

求電容所見等效電阻時，將 $12\ \mathrm{V}$ 理想電壓源短路。電容兩端有兩條路徑：一條經過 $30\ \Omega$，另一條經過 $10\ \Omega$ 與 $20\ \Omega$ 串聯。因此：

故時間常數為：

（二）電容電壓穩態值

直流穩態時，電容視為開路，$10\ \Omega$、$30\ \Omega$、$20\ \Omega$ 電阻形成串聯迴路。迴路電流為：

電容與 $30\ \Omega$ 電阻並聯，且圖中電容電壓為上正下負，因此：

（三）電容穩態儲能

以穩態電壓 $6\ \mathrm{V}$ 代入電容儲能公式：

核心觀念

本題考理想變壓器的匝數比與點標記、正弦電壓有效值、反射電阻、複數功率，以及理想二極體半波整流。

理想變壓器滿足：

正弦電壓的有效值為：

圖二一次側點標記在下端，二次側點標記在上端。題目標示的 $v_1$ 是上端對下端，$v_2$ 也是上端對下端，因此兩個電壓的參考方向相對點標記相反，二次側電壓會反相。

解題方法

（一）一次側電壓有效值

一次側電壓峰值為 $200\ \mathrm{V}$，所以：

（二）二次側電壓時間函數

匝數比為 $N_1:N_2=2:1$，因此二次側電壓峰值是一次側的一半。依點標記與電壓參考方向，二次側電壓反相：

（三）一次側電流時間函數

二次側負載為 $10\ \Omega$，折算至一次側的輸入電阻為：

一次側電流箭頭流入 $v_1$ 的正端，故依被動符號約定：

核心觀念

這題考查正弦穩態交流電路的電容等效、阻抗、相位差與交流功率。電容並聯時電容量相加；電容的阻抗為 $Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-jX_C$，其中 $X_C=\frac{1}{\omega C}$。電容性電路的電流超前電壓。

圖中兩個 $5\,\mathrm{mF}$ 電容並聯，因此

電源角頻率為 $\omega=20\,\mathrm{rad/s}$，等效電容的容抗為

解題方法與計算

電阻與等效電容串聯，總阻抗為

以題目給定的正弦波為相位基準，電源峰值為 $10\,\mathrm{V}$。電路電流峰值為

總阻抗相位為 $-45^\circ$，所以電流相位超前電源電壓 $45^\circ$。

(一) 穩態電流

電容兩端電壓的峰值為電流峰值乘以等效容抗：

電容電壓落後電流 $90^\circ$，因此相對電源相位為 $45^\circ-90^\circ=-45^\circ$。

(二) 穩態電壓

電流有效值為 $I_{\mathrm{rms}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1\,\mathrm{A}$。電阻消耗的平均功率為

核心觀念

本題考查電流源供電下的電阻網路分析，以及電感在直流穩態時的等效特性。

• 端點電壓差定義為 $V_{ab}=V_a-V_b$。
• 依歐姆定律，電阻電流為 $I=V/R$。
• 理想電感在直流穩態時，電感電壓為 $0$，等效為短路。
• 各小題依題意改變 $a、b$ 間的連接，再用串並聯化簡或節點電壓法求解。

解題方法

（一）圖五：$a、b$ 開路時的 $V_{ab}$

圖五左右兩支路分別為 $20+40=60\ \Omega$，以及 $40+20=60\ \Omega$，兩支路並聯：

因此電流源兩端，也就是上下電源軌之間的電壓為：

每支路電流為 $540/60=9\ \text{A}$。以底部電源軌為 $0\ \text{V}$：

所以：

（二）圖六：$a、b$ 短路時的 $I_{ab}$

短路後，$a、b$ 成為同一電位的中間節點。上半部電阻為 $20\ \Omega\parallel40\ \Omega=40/3\ \Omega$；下半部也為 $40\ \Omega\parallel20\ \Omega=40/3\ \Omega$。

上下兩部分串聯，總電阻為 $80/3\ \Omega$，所以上下電源軌電壓為：

上下兩部分電阻相等，中間節點電壓為 $240\ \text{V}$。上方左側 $20\ \Omega$ 流入節點 $a$ 的電流為：

左側下方 $40\ \Omega$ 流出節點 $a$ 的電流為：

依節點電流定律，多出的 $12-6=6\ \text{A}$ 經短路線由 $a$ 流向 $b$：

（三）圖七：接上 $100\ \text{mH}$ 電感時的穩態 $I_{ab}$