112 鐵路特考員級 電力工程 基本電學 考古題詳解

核心觀念

週期波形的有效值定義為

常用結果：

• 由 $0$ 線性上升至峰值 $V_m$ 的鋸齒波： $V_{\mathrm{rms}}=\frac{V_m}{\sqrt{3}}$
• 振幅為 $A$、導通時間為 $\tau$、週期為 $T$ 的矩形脈波： $V_{\mathrm{rms}}=A\sqrt{\frac{\tau}{T}}$
• 直流分量與正弦交流分量相加時： $I_{\mathrm{rms}}=\sqrt{I_{\mathrm{DC}}^2+I_{\mathrm{AC,rms}}^2}$

（一）圖 1（a）波形有效值

圖中波形每 $0.1\ \mathrm{s}$ 重複一次，且電壓由 $0$ 線性上升至 $2\ \mathrm{V}$，因此：

在一個週期內，波形可表示為

代入有效值定義：

因此

（二）圖 1（b）波形有效值

矩形脈波的振幅為 $100$，每一週期 $T=12$ 中，脈波持續時間為 $\tau=3$。

波形平方後，在導通時間內為 $100^2$，其餘時間為 $0$，因此：

二、（一）圖 2：求 $V_L(t)$

核心觀念

串聯 $RL$ 電路使用相量法：

• 電阻阻抗：$Z_R=R$
• 電感阻抗：$Z_L=j\omega L$
• 歐姆定律：$\boldsymbol{V}=\boldsymbol{I}Z$

已知：

因此：

解題方法

電感阻抗為：

串聯總阻抗：

其極座標形式為：

電源相量採用峰值表示：

電路電流為：

因為 $V_L$ 的正端在上、負端在下，電流由上往下流經電感，所以：

轉回時域：

解題技巧

串聯 $RL$ 電路中，電感電壓必須超前電流 $90^\circ$。本題電流相位為 $-36.87^\circ$，因此電感電壓相位為：

快速驗算電壓大小：

核心觀念

本題考查電容器的串聯、並聯等效，以及電容器的基本關係式：

• 並聯電容： $C_{\mathrm{eq}}=C_1+C_2+\cdots$

• 串聯電容：

• 電荷與電壓關係： $Q=CV$

串聯電容器的電荷量相同；並聯電容器的電壓相同。

解題方法

由圖 4 可辨識出：

1. $2\ \mu\mathrm{F}$ 與 $4\ \mu\mathrm{F}$ 並聯。
2. 此並聯組合與中間的 $3\ \mu\mathrm{F}$ 串聯。
3. 上述內部支路與右側 $6\ \mu\mathrm{F}$ 並聯。
4. 最後再與左側的 $3\ \mu\mathrm{F}$ 及 $12\ \mu\mathrm{F}$ 串聯。

（一）求等效電容

先求 $2\ \mu\mathrm{F}$ 與 $4\ \mu\mathrm{F}$ 的並聯等效電容：

此 $6\ \mu\mathrm{F}$ 與中間的 $3\ \mu\mathrm{F}$ 串聯：

內部支路與右側 $6\ \mu\mathrm{F}$ 並聯，因此：

整體電路為 $3\ \mu\mathrm{F}$、$8\ \mu\mathrm{F}$、$12\ \mu\mathrm{F}$ 三者串聯：

通分得：

所以：

約為：

核心觀念

本題考查：

1. 最大功率傳輸定理：負載電阻等於負載端所見的戴維寧等效電阻時，負載獲得最大功率。
2. 戴維寧等效電路：

• $V_{\mathrm{th}}$：負載端開路電壓。
• $R_{\mathrm{th}}$：將獨立電壓源短路後，從負載端看入的等效電阻。

3. 電流表內阻造成的負載效應：電流表串入電路後，總電阻增加，使實際電流下降。

（一）$R_L$ 的最大功率

1. 求戴維寧等效電阻

移除 $R_L$，將理想電壓源短路，從負載端看入：

其中

因此

2. 求戴維寧等效電壓

移除 $R_L$ 時，$R_2$ 與 $R_3$ 並聯，其等效電阻為 $3\ \Omega$。電路形成 $R_1$ 與 $3\ \Omega$ 的串聯分壓：

3. 套用最大功率傳輸定理

最大功率條件為

此時最大功率為

（二）電流表的負載效應

1. 未接入電流表時

原電路電阻為 $5\ \mathrm{k}\Omega$，因此原本電流為

2. 電流表內阻為 $100\ \Omega$

電流表須串聯接入，因此總電阻變為

實際測得電流：

電流下降量，即絕對負載效應：