112 鐵路特考員級 電力工程 輸配電學概要 考古題詳解

112 年・鐵路特考・員級・電力工程
試題代碼 輸配電學概要

第 一 題20 分

匯流排 0 為參考匯流排，匯流排 1 為臺北，匯流排 2 為臺中，匯流排 3 為臺南，匯流排 4 為臺東。臺北與臺中之間的輸電線阻抗為 j4Ωj4\Omega，臺中與臺南之間的輸電線阻抗為 j4Ωj4\Omega，臺北與臺東之間的輸電線阻抗為 j8Ωj8\Omega，臺中與臺東之間的輸電線阻抗為 j2Ωj2\Omega，臺南與臺東之間的輸電線阻抗為 j10Ωj10\Omega。

(一) 求此電力系統的匯流排導納矩陣 YY。

(二) 拆除臺中與臺東之間的輸電線，求此電力系統的匯流排導納矩陣 YY。

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核心觀念

本題考查匯流排導納矩陣（YbusY_{\text{bus}}）的建立。對連接匯流排 ii 與 kk 的線路，先求其串聯導納 yik=1/ziky_{ik}=1/z_{ik}，再依節點導納矩陣規則組成：

  • 對角元素 YiiY_{ii}：連接至匯流排 ii 的所有線路導納總和。
  • 非對角元素 YikY_{ik}：若匯流排 ii、kk 直接相連，則 Yik=−yikY_{ik}=-y_{ik}；若未直接相連，則為 00。
  • 矩陣具有對稱性：Yik=YkiY_{ik}=Y_{ki}。

題目未提供對地支路，因此只計入各匯流排間的輸電線。

解題方法

將線路阻抗換算為導納。因為 1/(jX)=−j/X1/(jX)=-j/X，各線路導納為：

y12=1j4=−j0.25 S,y23=1j4=−j0.25 S,y14=1j8=−j0.125 S,y24=1j2=−j0.5 S,y34=1j10=−j0.1 S.\begin{aligned} y_{12}&=\frac{1}{j4}=-j0.25\ \text{S},\\ y_{23}&=\frac{1}{j4}=-j0.25\ \text{S},\\ y_{14}&=\frac{1}{j8}=-j0.125\ \text{S},\\ y_{24}&=\frac{1}{j2}=-j0.5\ \text{S},\\ y_{34}&=\frac{1}{j10}=-j0.1\ \text{S}. \end{aligned}

匯流排 0 為參考匯流排，且沒有連接至參考匯流排的線路，因此第 0 列與第 0 行皆為 0。依序填入各節點的對角導納總和與相連線路的負導納。

（一）原系統

各匯流排對角元素為：

Y11=y12+y14=−j0.375,Y22=y12+y23+y24=−j1.000,Y33=y23+y34=−j0.350,Y44=y14+y24+y34=−j0.725.\begin{aligned} Y_{11}&=y_{12}+y_{14}=-j0.375,\\ Y_{22}&=y_{12}+y_{23}+y_{24}=-j1.000,\\ Y_{33}&=y_{23}+y_{34}=-j0.350,\\ Y_{44}&=y_{14}+y_{24}+y_{34}=-j0.725. \end{aligned}
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第 二 題20 分

匯流排 0 為參考匯流排。匯流排 1 電壓為 V1V_1，匯流排 2 電壓為 V2V_2，匯流排 3 電壓為 V3V_3，組成 V舊V_{\text{舊}} 矩陣；匯流排 1 流入電流為 I1I_1，匯流排 2 流入電流為 I2I_2，匯流排 3 流入電流為 I3I_3，組成 I舊I_{\text{舊}} 矩陣。

參考匯流排改為匯流排 2，匯流排 1 電壓為 V1新V_1^{\text{新}}，匯流排 0 電壓為 V0新V_0^{\text{新}}，匯流排 3 電壓為 V3新V_3^{\text{新}}，合組成 V新V_{\text{新}} 矩陣；匯流排 1 流入電流為 I1新I_1^{\text{新}}，匯流排 0 流入電流為 I0新I_0^{\text{新}}，匯流排 3 流入電流為 I3新I_3^{\text{新}}，組成 I新I_{\text{新}} 矩陣。

已知 V新=C1V舊V_{\text{新}}=C_1V_{\text{舊}}，I舊=C2I新I_{\text{舊}}=C_2I_{\text{新}}，求：

(一) C1C_1。

(二) C2C_2。

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核心觀念

本題考的是參考匯流排改變時，節點電壓與注入電流的座標轉換。電壓以參考匯流排為零電位；更換參考匯流排後，各節點電壓都要減去新參考匯流排原本的電壓。電流則依題目指定的節點排列，並利用全系統電流平衡關係轉換。

解題方法

原參考匯流排為 0，因此 V0=0V_0=0，且

V舊=[V1V2V3],I舊=[I1I2I3].V_{\text{舊}}= \begin{bmatrix} V_1\\ V_2\\ V_3 \end{bmatrix}, \qquad I_{\text{舊}}= \begin{bmatrix} I_1\\ I_2\\ I_3 \end{bmatrix}.

改以匯流排 2 為參考後，任一匯流排的新電壓為「該匯流排舊電壓減去 V2V_2」。因此：

V1新=V1−V2,V0新=V0−V2=−V2,V3新=V3−V2.V_1^{\text{新}}=V_1-V_2,\qquad V_0^{\text{新}}=V_0-V_2=-V_2,\qquad V_3^{\text{新}}=V_3-V_2.

依題目指定的新電壓排列為 [V1新,V0新,V3新]T[V_1^{\text{新}},V_0^{\text{新}},V_3^{\text{新}}]^T，所以

V新=[V1−V2−V2V3−V2]=[1−100−100−11][V1V2V3].V_{\text{新}}= \begin{bmatrix} V_1-V_2\\ -V_2\\ V_3-V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&-1&0\\ 0&-1&0\\ 0&-1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1\\ V_2\\ V_3 \end{bmatrix}.

故

C1=[1−100−100−11].C_1= \begin{bmatrix} 1&-1&0\\ 0&-1&0\\ 0&-1&1 \end{bmatrix}.

電流向量須留意排列。若將各匯流排的流入電流列入全系統電流平衡，則

I0+I1+I2+I3=0.I_0+I_1+I_2+I_3=0.
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第 三 題40 分

某 100 V100\text{ V} 電源內阻為零，在時間為 00 秒時加到特性阻抗為 400Ω400\Omega 的輸電線左側。輸電線右側接 100Ω100\Omega 負載，電波由輸電線左側傳到輸電線右側需時 0.010.01 秒，求：

(一) 輸電線左側的電壓反射率。

(二) 輸電線右側的電壓反射率。

(三) 在輸電線一半長度的位置，當時間為 0.0140.014 秒時的電壓值。

(四) 在輸電線一半長度的位置，當時間為 0.0160.016 秒時的電壓值。

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核心觀念

本題考查輸電線上的行進波與電壓反射。行進波到達負載端或電源端時，會依終端阻抗與輸電線特性阻抗的差異產生反射。

終端的電壓反射率為

Γ=Z終端−Z0Z終端+Z0\Gamma=\frac{Z_{\text{終端}}-Z_0}{Z_{\text{終端}}+Z_0}

其中 Z0Z_0 為輸電線特性阻抗。反射波電壓等於入射波電壓乘以反射率。

本題電波由左側傳到右側需時 0.010.01 秒，因此到達輸電線一半長度需時 0.0050.005 秒。

解題方法

先計算兩端反射率，再依電波傳遞時間判斷各波何時到達中點。電源內阻為零，表示 Rs=0ΩR_s=0\Omega；負載為 RL=100ΩR_L=100\Omega，特性阻抗為 Z0=400ΩZ_0=400\Omega。

(一) 輸電線左側的電壓反射率

左側為電源端，電源內阻作為終端阻抗：

ΓS=Rs−Z0Rs+Z0=0−4000+400=−1\Gamma_S=\frac{R_s-Z_0}{R_s+Z_0} =\frac{0-400}{0+400} =-1

(二) 輸電線右側的電壓反射率

右側為負載端：

ΓL=RL−Z0RL+Z0=100−400100+400=−300500=−0.6\Gamma_L=\frac{R_L-Z_0}{R_L+Z_0} =\frac{100-400}{100+400} =-\frac{300}{500} =-0.6

(三) 中點在 t=0.014t=0.014 秒時的電壓

由於電源內阻為零，初始入射電壓為電源電壓：

V+=100 VV^+=100\text{ V}
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第 四 題20 分

阻抗為 j0.2 p.u.j0.2\ \text{p.u.} 的短程輸電線，左側連接 V1=1.05∠20∘ p.u.V_1=1.05\angle20^\circ\ \text{p.u.}，右側連接 V2=1.02∠10∘ p.u.V_2=1.02\angle10^\circ\ \text{p.u.}，求：

(一) 由左側送到右側的實功率 P左到右P_{\text{左到右}}。

(二) 由右側送到左側的實功率 P右到左P_{\text{右到左}}。

(三) 由左側送到右側的虛功率 Q左到右Q_{\text{左到右}}。

(四) 由右側送到左側的虛功率 Q右到左Q_{\text{右到左}}。

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核心觀念

短程輸電線忽略並聯電納，線路只有串聯電抗 jX=j0.2 p.u.jX=j0.2\ \text{p.u.}。以兩端電壓相量計算線電流，再用複功率定義求各端送出的功率：

I1→2=V1−V2jX,S1→2=V1I1→2∗=P1→2+jQ1→2.I_{1\to2}=\frac{V_1-V_2}{jX},\qquad S_{1\to2}=V_1 I_{1\to2}^{*}=P_{1\to2}+jQ_{1\to2}.

電流方向反轉時，右端送出的複功率為：

I2→1=V2−V1jX,S2→1=V2I2→1∗.I_{2\to1}=\frac{V_2-V_1}{jX},\qquad S_{2\to1}=V_2 I_{2\to1}^{*}.

由於線路是純電抗，兩端實功率送出量相等、方向相反；兩端虛功率則都可能由母線送入線路。

解題方法

先將電壓相角換成弧度或直接使用相量形式：

V1=1.05∠20∘,V2=1.02∠10∘,X=0.2.V_1=1.05\angle20^\circ,\qquad V_2=1.02\angle10^\circ,\qquad X=0.2.

以左端電流流向右端：

I1→2=V1−V2j0.2.I_{1\to2}=\frac{V_1-V_2}{j0.2}.

也可直接由兩端電壓推得複功率公式。由 I1→2∗=(V1−V2jX)∗=jX(V1∗−V2∗)I_{1\to2}^{*}=\left(\frac{V_1-V_2}{jX}\right)^*=\frac{j}{X}(V_1^*-V_2^*)，得

S1→2=jX(∣V1∣2−V1V2∗).S_{1\to2} =\frac{j}{X}\left(|V_1|^2-V_1V_2^*\right).

令兩端相角差 δ=20∘−10∘=10∘\delta=20^\circ-10^\circ=10^\circ，則

P1→2=∣V1∣∣V2∣Xsin⁡δ,P_{1\to2}=\frac{|V_1||V_2|}{X}\sin\delta, Q1→2=∣V1∣2−∣V1∣∣V2∣cos⁡δX.Q_{1\to2}=\frac{|V_1|^2-|V_1||V_2|\cos\delta}{X}.

代入數值：

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