111 鐵路特考員級 電力工程 輸配電學概要 考古題詳解

111 年・鐵路特考・員級・電力工程
試題代碼 輸配電學概要

第 一 題25 分

圖一所示負載是由電阻值為 RR 的電阻及容抗值為 XX 的電容並聯組成，單相電源透過阻抗為 (8.4+j11.2) Ω(8.4+j11.2)\,\Omega 的線路供電給負載。負載端的電壓有效值為 1200∠0∘ V1200\angle 0^\circ\text{ V}，且此負載吸收 30 kVA30\text{ kVA} 的電力，功率因數為 0.80.8 超前。試計算下列各值： (一) 負載 RR 及 XX 的值。（15分） (二) 電源電壓 VV。（10分）

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核心觀念

本題考查：

  • 交流負載的複功率： S=P+jQS=P+jQ
  • 功率因數與實、虛功率的關係。
  • 單相交流電路： S=VI∗S=VI^*
  • 並聯負載的阻抗與導納。
  • 線路電壓降： V=VL+IZlineV=V_L+IZ_{\text{line}}

功率因數「超前」表示負載呈容性，因此無效功率 QQ 為負值。

解題方法

（一）求負載 RR 與 XX

負載視在功率為 30 kVA30\text{ kVA}，功率因數為 0.80.8 超前，因此：

P=30(0.8)=24 kWP=30(0.8)=24\text{ kW} sin⁡ϕ=1−0.82=0.6\sin\phi=\sqrt{1-0.8^2}=0.6

因為為超前功率因數：

Q=−30(0.6)=−18 kVARQ=-30(0.6)=-18\text{ kVAR}

所以負載複功率為：

SL=24−j18 kVAS_L=24-j18\text{ kVA}

負載端電壓為：

VL=1200∠0∘ V=1200 VV_L=1200\angle 0^\circ\text{ V}=1200\text{ V}

由 S=VI∗S=VI^*：

IL=(SLVL)∗I_L=\left(\frac{S_L}{V_L}\right)^*

或直接寫成：

IL=P−jQVL=24000+j180001200=20−j15 AI_L=\frac{P-jQ}{V_L} =\frac{24000+j18000}{1200} =20-j15\text{ A}

負載導納為：

YL=ILVL=20−j151200=0.016667−j0.0125 SY_L=\frac{I_L}{V_L} =\frac{20-j15}{1200} =0.016667-j0.0125\text{ S}

並聯的電阻與電容導納為：

YL=1R−j1XY_L=\frac{1}{R}-j\frac{1}{X}

比較實部與虛部：

1R=0.016667⇒R=60 Ω\frac{1}{R}=0.016667 \quad\Rightarrow\quad R=60\,\Omega 1X=0.0125⇒X=80 Ω\frac{1}{X}=0.0125 \quad\Rightarrow\quad X=80\,\Omega

因此電容支路阻抗為 −j80 Ω-j80\,\Omega。

（二）求電源電壓 VV

線路阻抗：

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第 二 題25 分

一部 60 MVA60\text{ MVA}、69.3 kV69.3\text{ kV}、Y\text{Y} 接三相交流發電機，同步電抗為 15 Ω/相15\,\Omega/\text{相}，忽略電樞電阻。 (一) 發電機在額定電壓及功率因數 0.80.8 落後下，輸出額定功率給無限匯流排，試求各相之激磁電壓幅值及功率角。（15分） (二) 若各相激磁電壓幅值為 36 kV36\text{ kV}，發電機在不失步的情形下，可以輸出的最大三相功率為多少？（10分）

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核心觀念

本題考查同步發電機接至無限匯流排時的相量分析，以及同步發電機的功率角特性。

忽略電樞電阻時，發電機每相相量方程式為

E‾=V‾+jXsI‾\underline{E}=\underline{V}+jX_s\underline{I}

其中：

  • E‾\underline{E}：每相激磁電壓
  • V‾\underline{V}：每相端電壓
  • XsX_s：每相同步電抗
  • I‾\underline{I}：每相電樞電流

同步發電機輸出實功率與功率角的關係為

P=3VEXssin⁡δP=\frac{3VE}{X_s}\sin\delta

其中 δ\delta 為激磁電壓 E‾\underline{E} 超前端電壓 V‾\underline{V} 的功率角。最大輸出功率發生於

δ=90∘\delta=90^\circ

因此

Pmax⁡=3VEXsP_{\max}=\frac{3VE}{X_s}

解題方法

採用每相等效電路及相量法。由於發電機為三相 Y 接，題目給定的 69.3 kV69.3\text{ kV} 為線電壓，必須先換算成相電壓。

基本額定值

額定線電壓為

VL=69.3 kVV_L=69.3\text{ kV}

Y 接時每相端電壓為

V=VL3=69.33=40 kVV=\frac{V_L}{\sqrt{3}} =\frac{69.3}{\sqrt{3}} =40\text{ kV}

額定視在功率為 60 MVA60\text{ MVA}，因此額定線電流為

I=S3VL=60×1063×69.3×103=500 AI=\frac{S}{\sqrt{3}V_L} =\frac{60\times 10^6} {\sqrt{3}\times 69.3\times 10^3} =500\text{ A}

功率因數為 0.80.8 落後，因此功率因數角為

ϕ=cos⁡−1(0.8)=36.87∘\phi=\cos^{-1}(0.8)=36.87^\circ

以每相端電壓為參考相量：

V‾=40∠0∘ kV\underline{V}=40\angle 0^\circ\text{ kV}

由於電流落後端電壓 36.87∘36.87^\circ，

I‾=500∠(−36.87∘) A\underline{I}=500\angle(-36.87^\circ)\text{ A}

亦可寫成直角坐標形式：

I‾=500(0.8−j0.6)=400−j300 A\underline{I} =500(0.8-j0.6) =400-j300\text{ A}

（一）求每相激磁電壓幅值及功率角

同步電抗壓降為

jXsI‾=j(15)(400−j300)jX_s\underline{I} =j(15)(400-j300)

整理得

jXsI‾=4500+j6000 V=4.5+j6 kVjX_s\underline{I} =4500+j6000\text{ V} =4.5+j6\text{ kV}

因此

E‾=V‾+jXsI‾\underline{E} =\underline{V}+jX_s\underline{I} E‾=40+(4.5+j6)=44.5+j6 kV\underline{E} =40+(4.5+j6) =44.5+j6\text{ kV}

每相激磁電壓幅值

E=∣E‾∣=44.52+62E=\left|\underline{E}\right| =\sqrt{44.5^2+6^2}
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第 三 題25 分

某單相 60 Hz60\text{ Hz} 之二線式架空線路，其實心圓柱型銅導體直徑為 1.5 cm1.5\text{ cm}，導體水平排列，間距為 0.5 m0.5\text{ m}。忽略大地效應不計，試計算下列各值： (一) 線對線的電容值，單位為 F/m\text{F/m}。（9分） (二) 至中性線的電容值，單位為 F/m\text{F/m}。（8分） (三) 至中性線的導納值，單位為 S/m\text{S/m}。（8分）

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核心觀念

本題考查單相二線式架空線路的分布電容與容性導納。由於題目指定忽略大地效應，因此可視為兩條平行圓柱導體所形成的二線式線路。

已知：

  • 頻率：f=60 Hzf=60\text{ Hz}
  • 導體直徑：d=1.5 cm=0.015 md=1.5\text{ cm}=0.015\text{ m}
  • 導體半徑：
r=d2=0.0075 mr=\frac{d}{2}=0.0075\text{ m}
  • 導體中心間距：D=0.5 mD=0.5\text{ m}
  • 真空介電常數：
ε0=8.854×10−12 F/m\varepsilon_0=8.854\times 10^{-12}\text{ F/m}

二線式架空線的線對線電容為

C12=πε0cosh⁡−1(D2r)C_{12}=\frac{\pi\varepsilon_0} {\cosh^{-1}\left(\dfrac{D}{2r}\right)}

當 D≫rD\gg r 時，也可使用工程上常見的近似式：

C12≈πε0ln⁡(D/r)C_{12}\approx\frac{\pi\varepsilon_0}{\ln(D/r)}

本題使用精確式計算。

解題方法

(一) 線對線的電容值

先計算幾何比值：

D2r=0.52(0.0075)=33.3333\frac{D}{2r} =\frac{0.5}{2(0.0075)} =33.3333

因此

cosh⁡−1(33.3333)=ln⁡(33.3333+33.33332−1)≈4.19948\cosh^{-1}(33.3333) = \ln\left(33.3333+\sqrt{33.3333^2-1}\right) \approx 4.19948

線對線電容為

C12=π(8.854×10−12)4.19948C_{12} = \frac{\pi(8.854\times10^{-12})}{4.19948} C12≈6.62×10−12 F/m\boxed{C_{12}\approx 6.62\times10^{-12}\text{ F/m}}

因此，線對線的電容值為

6.62 pF/m\boxed{6.62\text{ pF/m}}

(二) 至中性線的電容值

對稱二線式線路中，兩導體電位分別為 +V/2+V/2 與 −V/2-V/2，線對線電壓為 VV。

若以中性線作為電位參考，單一導體對中性線的電壓為

V2\frac{V}{2}

由電容關係式：

Q=C12VQ=C_{12}V

同一導體對中性線的等效電容 CnC_n 滿足

Q=Cn(V2)Q=C_n\left(\frac{V}{2}\right)

故

CnV2=C12VC_n\frac{V}{2}=C_{12}V
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第 四 題25 分

如圖二所示，三相電源供電給三相平衡 Δ\Delta 接負載，當 cc 相開路時，aa 相的電流為 10∠0∘ A10\angle 0^\circ\text{ A}，試計算線電流 IaI_a、IbI_b 及 IcI_c 的對稱成分。（注意，本題並無中性線連接，即表示零序電流將不會出現。）（25分）

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核心觀念

本題考查三相三線制之對稱成分分解。由於沒有中性線，線電流必須符合：

Ia+Ib+Ic=0I_a+I_b+I_c=0

又因 cc 相開路：

Ic=0I_c=0

已知：

Ia=10∠0∘ AI_a=10\angle 0^\circ\text{ A}

因此可由三相電流關係求得 IbI_b，再利用對稱成分公式分解正序、負序及零序電流。

解題方法

由 cc 相開路可知：

Ic=0I_c=0

三相三線制無中性線，故零序電流不會流通，且三相線電流總和為零：

Ia+Ib+Ic=0I_a+I_b+I_c=0

代入已知條件：

10∠0∘+Ib+0=010\angle0^\circ+I_b+0=0

所以：

Ib=−10∠0∘=10∠180∘ AI_b=-10\angle0^\circ =10\angle180^\circ\text{ A}

故三相線電流為：

Ia=10∠0∘ AI_a=10\angle0^\circ\text{ A} Ib=10∠180∘ AI_b=10\angle180^\circ\text{ A} Ic=0I_c=0

令相序運算子：

a=1∠120∘=−12+j32a=1\angle120^\circ =-\frac12+j\frac{\sqrt3}{2}

三相電流的對稱成分公式為：

I0=13(Ia+Ib+Ic)I_0=\frac13(I_a+I_b+I_c) I1=13(Ia+aIb+a2Ic)I_1=\frac13(I_a+aI_b+a^2I_c) I2=13(Ia+a2Ib+aIc)I_2=\frac13(I_a+a^2I_b+aI_c)

其中 I0I_0、I1I_1、I2I_2 分別代表零序、正序及負序成分。

零序成分

I0=13(10∠0∘+10∠180∘+0)=0I_0=\frac13(10\angle0^\circ+10\angle180^\circ+0)=0

因此：

I0=0 A\boxed{I_0=0\text{ A}}

正序成分

I1=13(10−10a)=103(1−a)I_1=\frac13(10-10a) =\frac{10}{3}(1-a)

由：

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