111 高普考普通考試 環境工程 流體力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題測驗流體力學之基石——**柏努利方程式（Bernoulli Equation）**的本質、適用邊界與能量詮釋。涉及之核心觀念包括：

1. 歐拉運動方程式（Euler's Equation of Motion）之積分：柏努利方程式本質為無黏性流體在保守力場下的動量守恆式沿流線積分，等效於流體質點的機械能守恆。
2. 水頭形式（Head Form）與物理意義：水利工程中慣以長度因次 $[L]$ 的「水頭」呈現，代表單位重量流體所蘊含的能量形態分配。
3. 柯希－柏努利方程式（Cauchy-Bernoulli Equation）與非旋流場：探討柏努利常數（Bernoulli Constant）由「單一流線局部常數」推展為「全流場全域常數」之充要條件。

解題方法

一、穩態柏努利方程式與符號定義

水利工程實務上最常採用**水頭形式（Head Form）表示，其公式如下： $\frac{p}{\gamma} + \frac{V^2}{2g} + z = C \quad (\text{沿同一條流線})$ 亦可以壓力形式（Pressure Form）**表示： $p + \frac{1}{2}\rho V^2 + \rho g z = C' \quad (\text{沿同一條流線})$

符號定義：

• $p$：流體之靜壓力（Static Pressure，單位：$\text{N/m}^2$ 或 $\text{Pa}$）
• $\gamma$：流體之單位重（Specific Weight，$\gamma = \rho g$，單位：$\text{N/m}^3$）
• $\rho$：流體之密度（Density，單位：$\text{kg/m}^3$）
• $V$：流體質點之流速（Flow Velocity，單位：$\text{m/s}$）
• $g$：重力加速度（Gravitational Acceleration，單位：$\text{m/s}^2$）
• $z$：流體質點相對於基準面之垂直高程（Elevation，單位：$\text{m}$）
• $C$、$C'$：沿特定流線上之常數（Bernoulli Constant）

二、其它所需之假設條件

題目已明確給定「穩態流動（Steady Flow）」，欲使柏努利方程式成立，尚須具備以下假設條件：

1. 無黏性流體／無摩擦（Inviscid / Frictionless Flow）：流體黏滯係數 $\mu = 0$，流動過程中無剪應力作用，不考慮機械能因黏滯耗散轉化為熱能（即忽略水頭損失 $h_L = 0$）。
2. 不可壓縮流體（Incompressible Flow）：流體密度為定值（$\rho = \text{常數}$），適用於液體或低馬赫數（$\text{Ma} < 0.3$）之氣體流動。
3. 沿同一條流線（Along a Streamline）：在一般旋轉流場中，積分常數僅在該特定流線上保持不變，不同流線的常數值通常相異。
4. 僅受重力場作用（Gravity is the Only Body Force）：流體所受之質量力僅有均勻重力，屬保守力場。
5. 無能量輸出入（No Shaft Work and Heat Transfer）：流線上無水泵（Pump）加入功、無水輪機（Turbine）提取功，亦無顯著熱交換。

三、各項之物理意義

以水利工程慣用之水頭形式解釋，每一項之因次皆為長度 $[L]$（公尺，$\text{m}$），代表單位重量流體（$\text{per unit weight}$）所具有之機械能：

1. $\frac{p}{\gamma}$（壓力水頭，Pressure Head）： 代表單位重量流體所蘊含之流動功（Flow Work）或壓力能。
2. $\frac{V^2}{2g}$（速度水頭，Velocity Head）： 代表單位重量流體所具有之動能（Kinetic Energy）。

核心觀念

本題旨在評量流體力學中因次分析（Dimensional Analysis）的基礎與應用能力，核心為柏金漢 $\pi$ 定理（Buckingham $\pi$ theorem）與重複變數法（Method of Repeating Variables）。

1. 基本因次系統（$M-L-T$ 系統）： 所有物理量均可以質量 $[M]$、長度 $[L]$ 及時間 $[T]$ 三個基本因次表示。
2. 柏金漢 $\pi$ 定理： 若一物理問題涉及 $n$ 個物理變數，且這些變數包含 $m$ 個基本因次，則該問題可簡化為由 $k = n - m$ 個獨立的無因次 $\pi$ 群所構成的函數關係。
3. 重複變數（Repeating Variables）選取準則：

• 重複變數個數通常等於基本因次個數 $m$。
• 所選的重複變數必須涵蓋所有基本因次（$M, L, T$）。
• 重複變數之間不可相互組合為無因次群。
• 慣例上依序自「流體幾何特性（長度尺度）」、「運動特性（速度或加速度）」及「流體物性（密度或黏滯度）」中各挑選一個變數。
• 嚴禁選取待求的應變數（本題之作用力 $F$）作為重複變數。

解題方法

步驟一：列出相關物理量及其因次

題目設定作用力 $F$ 為各變數的函數： $F = f_1(W, H, \mu, \rho, V)$

各物理量之因次（採用 $M-L-T$ 系統）如下：

• 水流作用力 $F$：$[M L T^{-2}]$
• 堰寬 $W$：$[L]$
• 堰高 $H$：$[L]$
• 流體黏滯度 $\mu$：$[M L^{-1} T^{-1}]$
• 流體密度 $\rho$：$[M L^{-3}]$
• 流速 $V$：$[L T^{-1}]$

統計變數數目：

• 總變數數目：$n = 6$（分別為 $F, W, H, \mu, \rho, V$）
• 基本因次數目：$m = 3$（包含 $M, L, T$）
• 獨立無因次項數目：$k = n - m = 6 - 3 = 3$ 個 $\pi$ 項

步驟二：選取重複變數

依選取準則，選定 $m = 3$ 個重複變數：

1. 幾何特性：堰高 $H$（因次 $[L]$）
2. 運動特性：流速 $V$（因次 $[L T^{-1}]$）
3. 流體物性：流體密度 $\rho$（因次 $[M L^{-3}]$）

檢驗獨立性：$\rho$ 獨具因次 $M$；$V$ 具因次 $T$；$H$ 具因次 $L$。三者彼此獨立，無法自行組合成無因次群，選取合乎規定。

步驟三：推求各 $\pi$ 項

1. 求包含待求量 $F$ 的 $\pi_1$ 項： 令 $\pi_1 = F \cdot \rho^a \cdot V^b \cdot H^c$

代入各因次式： $M^0 L^0 T^0 = (M L T^{-2}) (M L^{-3})^a (L T^{-1})^b (L)^c = M^{1+a} L^{1-3a+b+c} T^{-2-b}$

由因次齊次性（Dimensional Homogeneity）解聯立方程式：

• 對 $M$：$1 + a = 0 \implies a = -1$
• 對 $T$：$-2 - b = 0 \implies b = -2$
• 對 $L$：$1 - 3a + b + c = 0 \implies 1 - 3(-1) + (-2) + c = 0 \implies c = -2$

因此： $\pi_1 = F \rho^{-1} V^{-2} H^{-2} = \frac{F}{\rho V^2 H^2}$

2. 求包含寬度 $W$ 的 $\pi_2$ 項： 令 $\pi_2 = W \cdot \rho^d \cdot V^e \cdot H^f$

代入各因次式： $M^0 L^0 T^0 = (L) (M L^{-3})^d (L T^{-1})^e (L)^f = M^d L^{1-3d+e+f} T^{-e}$

• 對 $M$：$d = 0$
• 對 $T$：$-e = 0 \implies e = 0$
• 對 $L$：$1 - 3(0) + 0 + f = 0 \implies f = -1$

因此： $\pi_2 = \frac{W}{H}$

核心觀念

靜止液體的壓力由液柱重量決定。多層液體時，底部表壓為各層液體的單位重乘以該層深度後加總：

圖中液體 1 在上層、液體 2 在下層；水與汽油不互溶時，汽油在上、水在下。因此液體 1 為汽油，液體 2 為水。汽油比重為 $0.8$，故其單位重為水的 $0.8$ 倍。

容器底部受力則為底部壓力乘以底面積：

解題方法

採用靜水壓公式計算兩種容器的底部壓力，再分別乘上各容器的圓形底面積，求底部所受合力。兩容器的液體種類與液層深度相同，因此底部壓力相同；底面積不同，底部受力也不同。

取水的單位重 $\gamma_w=9.81\ \mathrm{kN/m^3}$，則汽油單位重為：

（一）容器底部壓力

兩容器底部壓力皆為上層汽油壓力與下層水壓力之和：

（二）容器底部受力

核心觀念

1. 不可壓縮流之連續方程式（Continuity Equation）： 流場若為不可壓縮流（Incompressible flow），無論定常或非定常，其質量守恆之速度場散度必為零（$\nabla \cdot \mathbf{V} = 0$）。在二維卡氏座標系（Cartesian coordinates）下，不可壓縮流的連續方程式表示為： $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$

2. 流線定義與微分方程式（Streamline Equation）： 流線為流場中某瞬時各點切線方向皆與速度向量 $\mathbf{V}$ 平行之曲線。依向量外積平行條件（$d\mathbf{r} \times \mathbf{V} = \mathbf{0}$），二維卡氏座標下的流線微分方程式為： $\frac{dx}{u} = \frac{dy}{v} \quad (\text{亦可寫為 } u \, dy - v \, dx = 0)$

解題方法

(一) 求不可壓縮流之條件 $a$

1. 列出二維連續方程式： 流場若可能為不可壓縮流，則速度場必須滿足： $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$

2. 計算各速度分量之空間偏導數： 由題目已知速度場為 $u = -x$、$v = ay$，進行偏微分： $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial (-x)}{\partial x} = -1$ $\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial (ay)}{\partial y} = a$

3. 代入連續方程式求解常數 $a$： $-1 + a = 0 \implies a = 1$

(二) 求通過點 $(1,1)$ 之流線方程式

1. 確定速度分量： 承子題(一)所得之條件 $a = 1$，速度場確定為： $u = -x, \quad v = y$