112 高普考普通考試 環境工程 流體力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題結合：

1. 線性動量方程式：利用向下噴流產生的反作用力，求水流速度。
2. 伯努力方程式：由桶內加壓空氣與桶口外大氣間的能量關係，求桶內空氣壓力。

假設水流為穩定流、忽略流動損失，且水面速度可視為零；水流出口壓力為大氣壓力。

解題方法

一、由桶體受力求水流速度

水桶及水的總重量為 $200\ \mathrm{N}$，繩索張力為 $10\ \mathrm{N}$。

水流向下排出，桶體受到向上的噴流反作用力 $F_R$。桶體鉛直方向受力平衡：

因此：

水流截面積為：

噴流反作用力等於水流動量流率：

取水的密度 $\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3}$，故：

二、由伯努力方程式求空氣壓力

以水面為點 1、出口為點 2。水面速度近似為零，出口壓力為大氣壓力 $p_{\mathrm{atm}}$。

伯努力方程式為：

由圖示水面至出口的高度差為：

核心觀念

本題考查「等加速度運動容器內液體的相對靜止」：

1. 液面為等壓面。
2. 容器水平向右加速度為 $a$ 時，液面坡度為

3. 壓力梯度為

其中 $x$ 軸向右、$z$ 軸向上。

已知

因此液面斜率為

液面向右下傾斜，左側液面較高，右側較低。

解題方法

（一）桶內液面如何變化？

設液面方程式為

桶子長度為 $4\ \mathrm{m}$，高度為 $3\ \mathrm{m}$，寬度為 $5\ \mathrm{m}$。

初始液體體積為

對應的縱向剖面液體面積為

由於液面斜率為 $-3$，液面高度由頂部 $z=3$ 降至底部 $z=0$ 所需的水平距離為

因此液面會與左側上緣及右側底部相交。設：

• 液面與桶頂相交於 $x_1$
• 液面與桶底相交於 $x_2$

由 $z=C-3x$ 得

且

液體剖面由左側滿水矩形及右側三角形組成，因此

代入 $A=8$：

所以

再由 $x_2=C/3$：

故液面方程式為

液面在：

• $x=2.1667\ \mathrm{m}$ 處達到桶頂 $z=3\ \mathrm{m}$
• $x=3.1667\ \mathrm{m}$ 處降至桶底 $z=0$

核心觀念

本題考查水力發電的能量轉換，使用：

1. 連續方程式求流量： $Q=AV$

2. 伯努力方程式求水輪機可利用水頭： $H_t=z_1-z_2-h_L$

3. 發電輸出功率： $P_{\text{out}}=\eta_g \rho g QH_t$

其中：

• $\eta_g=65\%=0.65$：發電機效率
• $h_L=0.5\ \mathrm{m}$：系統能量損失
• $\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3}$：水的密度
• $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$

解題方法

取上游水庫自由液面 $C$ 與下游池自由液面為能量基準。由圖可知：

• 上游自由液面 $C$ 到管中心線 $A$ 高差為 $20\ \mathrm{m}$
• 管中心線 $A$ 高於下游池水面 $2\ \mathrm{m}$

因此，上、下游自由液面的總水頭差為：

$H=20+2=22\ \mathrm{m}$

扣除系統能量損失後，水輪機可獲得的有效水頭為：

$H_t=22-0.5=21.5\ \mathrm{m}$

管徑為 $D=0.2\ \mathrm{m}$，管內流速為 $V=16\ \mathrm{m/s}$，管截面積：

流量為：

核心觀念

動能校正係數 $\alpha$ 用來修正管內流速分布不均時，實際動能通量與以平均流速計算所得動能通量之差異。其定義為

其中 $A$ 為管截面積，$\bar v=Q/A$ 為截面平均流速。圓管層流的速度分布呈拋物線，本題給定

因此須先由速度分布求平均流速，再計算速度立方在截面上的積分。

解題方法

取半徑為 $r$、厚度為 $dr$ 的環形微小面積，$dA=2\pi r\,dr$。管截面積為 $A=\pi r_0^2$。

先計算體積流量：

令 $x=r/r_0$，則 $r=r_0x$、$dr=r_0dx$，所以

故平均流速為

核心觀念

水錘效應是管流速度在短時間內突然改變，使壓力波沿管線傳播，造成管內壓力瞬間升高或降低的現象。常見情況包括閥門快速關閉、泵浦突然停機或啟動，以及管線內流量急遽變化。

以閥門快速關閉為例，閥門下游的水流受阻，水柱因慣性仍持續前進，先在閥門附近受到壓縮；這股壓力變化再以壓力波形式向上游傳遞，並在管線端點反射。若水流速度突然下降，可能產生正壓水錘；若流速突然增加或壓力波造成局部壓力降低，則可能出現負壓，嚴重時造成水柱分離、空穴或管線破壞。

理想剛性管線中，瞬間速度變化所引起的壓力變化可用茹科夫斯基公式表示：

其中，$\Delta p$ 為壓力變化量，$\rho$ 為流體密度，$a$ 為壓力波速，$\Delta V$ 為流速變化量。換算為水頭變化：

因此，流速改變越大、壓力波速越高，水錘造成的壓力變化越大。實際管線的彈性與管壁變形會降低波速，管線材料、管徑、壁厚及支承條件都會影響水錘程度。

解題方法

本題為原理與防治措施的申論題，可依「成因—壓力變化—危害—解決方法」作答：

1. 說明成因：管內流速急遽變化，流體慣性使管內壓力改變，形成壓力波。
2. 說明壓力波與危害：壓力波沿管線傳播並反射，可能造成超壓、負壓、振動、噪音、接頭漏水，甚至管線或設備破裂。
3. 提出防治方式：從減緩流速變化、吸收壓力波、避免負壓及提升管線耐壓能力等方向作答。