111 高普考普通考試 電信工程 基本電學 考古題詳解

核心觀念

本題考查節點電壓法、相依電流源的控制關係，以及功率的被動符號約定。若電流流入元件的正端，則吸收功率為 $p=vi$；若計算結果為負，表示元件提供功率。

解題方法

以下方導線為參考地，令上方節點電壓為 $V_T$，中央節點電壓為 $V_M$。右側中間節點與下方導線相連，因此其電壓為 $0$。

右側 $2\,\Omega$ 電阻的向下電流為

在上方節點套用 KCL，$15\,\mathrm{A}$ 電流源流入節點：

在中央節點套用 KCL，流入中央節點的電流包括 $1\,\Omega$ 電阻電流及相依電流源電流：

代入 $i_1=V_T/2$，得

再代入上方節點方程式：

核心觀念

本題考查節點電壓法、超節點的 KCL，以及電壓源的極性與電流參考方向。電阻支路使用歐姆定律 $i=(V_{\text{起點}}-V_{\text{終點}})/R$；超節點則將相連的理想電壓源視為內部支路，對超節點邊界套用 KCL。

解題方法

令中央下方節點為接地，電位為 $0$；中央上方節點電位設為 $V$。右側電壓源上端電位為 $3\,\mathrm{V}$，因此依 $i_1$ 的向左參考方向，右側支路有

設左側 $5\,\mathrm{V}$ 電壓源上、下端電位分別為 $V_a$、$V_b$。依兩個電壓源的極性：

代入 $i_1=(3-V)/2$，得到

核心觀念

本題考查直流切換電路中的電感暫態，以及電感電流的連續性。電感電流不能瞬間改變，且一階電路的響應可由初值、終值與時間常數求得：

其中 $R_{\mathrm{th}}$ 是由電感端點看入其餘電路的等效電阻。

解題方法

切換前 $t<0$，步階電壓源 $50u(t)\,\mathrm V=0$，電路已達直流穩態。穩態電感視為短路，因此 $6\,\Omega$ 電阻被短路，電源 $50\,\mathrm V$ 經 $2\,\Omega$ 電阻供應電流：

由電感電流連續性：

切換後 $t\geq 0$，兩個串聯電壓源方向相同，總電壓為 $50+50=100\,\mathrm V$。電感在直流穩態仍視為短路，因此：

核心觀念

本題使用相量域節點分析：先把各支路阻抗換成導納，以接地為參考點，對 $v_1$、$v_2$ 寫 KCL，解出節點電壓相量，再轉回時域。

以下採常用的有效值相量與餘弦參考；題目未標示角頻率，因此時域答案以 $\omega$ 表示。

解題方法

各支路導納為

兩節點間的並聯導納為

左側電流源由地端流入 $v_1$，注入電流為 $1\angle0^\circ=1$ A。右側電流源由 $v_2$ 流向地端，方向是流出節點；因此以注入節點為正時，其注入電流為

依 KCL 寫成節點方程：

將方程式乘以 10，得

核心觀念

線性耦合電感的互感項符號由點標記決定。兩線圈的點都在上端，因此若兩個電流都以「流入點端」為正，互感項為正：

將耦合電感換成 T 等效網路時，兩側串聯電感分別為 $L_1-M$、$L_2-M$，中間共用支路為 $M$。

解題方法

由圖可讀得 $L_1=30\,\mathrm{mH}$、$L_2=60\,\mathrm{mH}$、$M=40\,\mathrm{mH}$。因此 T 等效網路為：

也就是左側串聯支路為 $-10\,\mathrm{mH}$，中央接至下方公共端的支路為 $40\,\mathrm{mH}$，右側串聯支路為 $20\,\mathrm{mH}$。左側出現負電感值，是此組耦合參數的 T 等效結果，不代表原線圈是負電感。

用角頻率 $\omega$ 表示各支路阻抗：

若兩埠電流 $I_1、I_2$ 都流入點端，中央支路電流為 $I_1+I_2$，所以：

這與原耦合電感的電壓方程一致，故 T 等效網路成立。

輸入電壓驗證