115 年高普考高考三級養殖技術考古題與詳解

Question 1

研究人員欲評估某地區養殖池內白蝦體重的概況，請根據下列資料條件進行分析（顯著水準均為 $\alpha=0.05$ ）。

（一）若去年養殖池內所有白蝦皆捕撈售出，根據所有白蝦體重測量資料顯示，其平均體重為 $25$ 公克，母體標準差為 $5$ 公克。若白蝦體重服從常態分布，請計算自去年該養殖池售出之白蝦中隨機抽取一尾，其體重介於 $19.3$ 至 $32.7$ 公克之間的機率。（10 分）

（二）研究人員欲評估現今養殖池內白蝦的飼養情況，隨機抽取 $9$ 尾白蝦樣本，並以公克為單位測量其體重，樣本資料為：

$21、25、25、25、16、36、22、21、16$ 。

請依盒鬚圖（box and whisker plot）的定義，計算第一四分位數、第三四分位數與四分位距，並依 $1.5$ 倍四分位距規則判斷是否有離群值。（10 分）

（三）根據第（二）題測量的所有樣本資訊，在白蝦體重可近似常態分布之前提下，請估計現今養殖池內白蝦平均體重之 $95\%$ 信賴區間。（5 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 常態分布標準化與標準常態分布機率。 2. 盒鬚圖的四分位數、四分位距及 $1.5$ 倍四分位距離群值判定。 3. 小樣本、母體變異數未知時，使用 $t$ 分布建立母體平均數的信賴區間。 --- （一）計算白蝦體重介於 $19.3$ 至 $32.7$ 公克的機率 已知白蝦體重 $$ X\sim N(25,5^2) $$ 其中母平均數 $\mu=25$，母體標準差 $\sigma=5$。 將上下限標準化： $$ Z1=\frac{19.3-25}{5}=-1.14 $$ $$ Z2=\frac{32.7-25}{5}=1.54 $$ 因此： $$ P(19.3\leq X\leq 32.7) =P(-1.14\leq Z\leq 1.54) $$ 查標準常態分布表： $$ \Phi(1.54)=0.9382 $$ $$ \Phi(-1.14)=0.1271 $$ 所以： $$ P(-1.14\leq Z\leq 1.54) =0.9382-0.1271 =0.8111 $$ 因此機率為： $$ \boxed{0.8111} $$ 約為 $81.11\%$。 解題技巧 先將體重減去平均數，再除以標準差即可轉換為 $Z$ 分數。下限為平均數以下 $1.14$ 個標準差，上限為平均數以上 $1.54$ 個標準差，故機率須以「上限累積機率減下限累積機率」計算。 --- （二）計算四分位數、四分位距並判斷離群值 第一步：資料排序 原始資料為： $$ 21,\ 25,\ 25,\ 25,\ 16,\ 36,\ 22,\ 21,\ 16 $$ 由小到大排列： $$ 16,\ 16,\ 21,\ 21,\ 22,\ 25,\ 25,\ 25,\ 36 $$ 共有 $n=9$ 筆資料。 第二步：計算第一四分位數 $Q1$ 中位數為第 $5$ 筆資料，即 $22$。排除中位數後，下半部資料為： $$ 16,\ 16,\ 21,\ 21 $$ 因此第一四分位數為下半部的中位數： $$ Q1=\frac{16+21}{2}=18.5 $$ 第三步：計算第三四分位數 $Q3$ 排除中位數後，上半部資料為： $$ 25,\ 25,\ 25,\ 36 $$ 因此第三四分位數為： $$ Q3=\frac{25+25}{2}=25 $$ 第四步：計算四分位距 $$ IQR=Q3-Q1 $$ $$ IQR=25-18.5=6.5 $$ 第五步：依 $1.5$ 倍四分位距規則判斷離群值 下界： $$ Q1-1.5(IQR) =18.5-1.5(6.5) =18.5-9.75 =8.75 $$ 上界： $$ Q3+1.5(IQR) =25+1.5(6.5) =25+9.75 =34.75 $$ 資料若小於 $8.75$ 或大於 $34.75$，即判定為離群值。 資料中的 $…

Question 2

某研究人員欲比較春季非產卵期與夏季產卵期魚群體重，並評估春季與夏季魚群平均體重之差異性。研究人員分別於春季及夏季隨機抽取數尾魚隻並測量其體重，單位為公克。假設兩季魚群體重分布皆可近似常態分布，各項基本統計資料摘要如下，請進行分析與推論（顯著水準均為 $\alpha=0.05$ ）。

組別	樣本數	平均體重	體重標準差
春季	$13$	$487$	$53$
夏季	$21$	$516$	$43$

（一）請檢定兩季魚群體重之母體變異數是否具有顯著差異。（5 分）

（二）承第（一）題結果，請選用適當方法計算春季與夏季平均體重差異之標準誤。（7 分）

（三）請分析並推論夏季產卵期之魚群平均體重是否顯著高於春季非產卵期之魚群平均體重。（13 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩獨立常態母體之： 1. 母體變異數是否相等：使用 $F$ 檢定。 2. 兩獨立樣本平均數差異：依變異數檢定結果，選擇合併變異數之 $t$ 檢定。 3. 單尾檢定：判斷夏季平均體重是否顯著高於春季。 設春季為第 1 組，夏季為第 2 組： $$ n1=13,\quad \bar X1=487,\quad s1=53 $$ $$ n2=21,\quad \bar X2=516,\quad s2=43 $$ --- （一）檢定兩季魚群體重之母體變異數 1. 假設 令春、夏兩季母體變異數分別為 $\sigma1^2$、$\sigma2^2$。 $$ H0:\sigma1^2=\sigma2^2 $$ $$ H1:\sigma1^2
e\sigma2^2 $$ 因為題目要求檢定「是否具有差異」，故採雙尾檢定，顯著水準為 $\alpha=0.05$。 2. 檢定統計量 將較大的樣本變異數置於分子： $$ F=\frac{s1^2}{s2^2} =\frac{53^2}{43^2} =\frac{2809}{1849} =1.520 $$ 其自由度為： $$ df1=n1-1=12,\qquad df2=n2-1=20 $$ 雙尾檢定的上側臨界值約為： $$ F{0.975}(12,20)\approx 2.69 $$ 而觀察值為： $$ F=1.520<2.69 $$ 3. 結論 不拒絕 $H0$。在 $\alpha=0.05$ 下，沒有充分證據顯示春、夏兩季魚群體重的母體變異數具有顯著差異。 此結果表示後續平均數比較可採用「兩母體變異數相等」的合併變異數 $t$ 檢定。 --- （二）計算春、夏平均體重差異之標準誤 由第（一）題結果，採用合併變異數估計共同母體變異數。 1. 合併變異數 $$ sp^2 = \frac{(n1-1)s1^2+(n2-1)s2^2} {n1+n2-2} $$ 代入資料： $$ sp^2 = \frac{12(53^2)+20(43^2)}{13+21-2} $$ $$ = \frac{12(2809)+20(1849)}{32} = \frac{70688}{32} =2209 $$ 因此： $$ sp=\sqrt{2209}=47 $$ 2. 平均數差異之標準誤 $$ SE(\bar X2-\bar X1) = sp\sqrt{\frac{1}{n1}+\frac{1}{n2}} $$

Question 3

某研究欲探討南北兩地區漁船之主要作業漁法分布是否不同。研究人員自某年度漁船登記資料中隨機抽取 $200$ 艘漁船，依地區與主要作業漁法分類後，彙整結果如下，請進行分析與推論（顯著水準均為 $\alpha=0.05$ ）。

地區	拖網	刺網	釣具	合計
北區	$24$	$31$	$25$	$80$
南區	$56$	$29$	$35$	$120$
合計	$80$	$60$	$60$	$200$

（一）在作業漁法類型與地區相互獨立之假設下，請計算各作業漁法類別下南北地區之期望比例，並計算各交叉格之期望值。（10 分）

（二）請分析並推論作業漁法類型與地區之間是否具有關聯性，並根據各格觀察值與期望值之差異，評估造成整體差異或關聯性的主要來源。（15 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查「列聯表卡方獨立性檢定」，用以判斷地區與主要作業漁法是否相互獨立。

虛無假設與對立假設為：

$H_0$ ：地區與作業漁法相互獨立。
$H_1$ ：地區與作業漁法不獨立，兩者具有關聯性。

獨立性假設下，第 $i$ 列、第 $j$ 欄的期望值為：

E_{ij}=\frac{(\text{第 }i\text{ 列合計})(\text{第 }j\text{ 欄合計})}{\text{總合計}}

卡方統計量為：

\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}

其中 $O$ 為觀察值， $E$ 為期望值。

（一）期望比例與期望值

總樣本數為 $200$ ，北區有 $80$ 艘，南區有 $120$ 艘，因此在獨立假設下：

P(\text{北區})=\frac{80}{200}=0.40

P(\text{南區})=\frac{120}{200}=0.60

所以在每一種作業漁法中，南北地區的期望比例均為：

作業漁法	北區期望比例	南區期望比例
拖網	$0.40$	$0.60$
刺網	$0.40$	$0.60$
釣具	$0.40$	$0.60$

各交叉格期望值如下。

拖網

E_{\text{北區、拖網}} =\frac{80\times80}{200}=32

E_{\text{南區、拖網}} =\frac{120\times80}{200}=48

刺網

E_{\text{北區、刺網}} =\frac{80\times60}{200}=24

E_{\text{南區、刺網}} =\frac{120\times60}{200}=36

釣具

E_{\text{北區、釣具}} =\frac{80\times60}{200}=24

E_{\text{南區、釣具}} =\frac{120\times60}{200}=36

整理如下：

地區	拖網	刺網	釣具	合計
北區	$32$	$24$	$24$	$80$
南區	$48$	$36$	$36$	$120$
合計	$80$	$60$	$60$	$200$

（二）獨立性檢定與差異來源

1. 計算卡方統計量

各格的卡方貢獻為：

\frac{(24-32)^2}{32} =\frac{64}{32}=2.000

\frac{(31-24)^2}{24} =\frac{49}{24}=2.042

\frac{(25-24)^2}{24} =\frac{1}{24}=0.042

\frac{(56-48)^2}{48} =\frac{64}{48}=1.333

\frac{(29-36)^2}{36} =\frac{49}{36}=1.361

Question 4

某研究欲探討養殖池水中亞硝酸鹽濃度 $X$（單位：mg/L）與魚苗存活率 $Y$（單位：\%）之關係。研究人員蒐集 $20$ 口養殖池資料，摘要統計量如下，請進行分析與推論（顯著水準均為 $\alpha=0.05$）。 | 統計量 | 數值 | |---|---:| | 樣本數（$n$） | $20$ | | $X$ 平均數（$\bar{x}$） | $5.0$ mg/L | | $Y$ 平均數（$\bar{y}$） | $74.0$% | | $X$ 標準差（$Sx$） | $1.6$ mg/L | | $Y$ 標準差（$Sy$） | $8.0$% | | Pearson 相關係數（$r$） | $-0.65$ | （一）請求出以 $X$ 預測 $Y$ 之簡單線性迴歸方程式。（8 分） （二）請解釋斜率之生物統計意義，並預測當亞硝酸鹽濃度為 $6.0$ mg/L 時之魚苗存活率。（6 分） （三）請計算決定係數 $R^2$，並解釋其意義。（5 分） （四）請檢定 $X$ 與 $Y$ 之母群體相關係數是否為 $0$。（6 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 簡單線性迴歸模型：$\hat{Y}=a+bX$ - 迴歸斜率 $b$ 的估計 - 截距 $a$ 的計算 - 決定係數 $R^2$ - 母群體相關係數 $\rho$ 的假設檢定 已知： $$ n=20,\quad \bar{x}=5.0,\quad \bar{y}=74.0,\quad Sx=1.6,\quad Sy=8.0,\quad r=-0.65 $$ --- （一）求以 $X$ 預測 $Y$ 的簡單線性迴歸方程式 解題方法 簡單線性迴歸方程式為： $$ \hat{Y}=a+bX $$ 其中斜率估計值為： $$ b=r\frac{Sy}{Sx} $$ 代入資料： $$ b=(-0.65)\frac{8.0}{1.6} =(-0.65)(5) =-3.25 $$ 因此，亞硝酸鹽濃度每增加 $1$ mg/L，預測魚苗存活率平均下降 $3.25$ 個百分點。 截距為： $$ a=\bar{y}-b\bar{x} $$ $$ a=74.0-(-3.25)(5.0) =74.0+16.25 =90.25 $$ 所以迴歸方程式為： $$ \boxed{\hat{Y}=90.25-3.25X} $$ 其中： - $X$ 的單位為 mg/L - $\hat{Y}$ 的單位為 % --- （二）斜率的生物統計意義與預測值 斜率的意義 斜率為： $$ b=-3.25 $$ 表示在本研究資料的線性關係下，亞硝酸鹽濃度每增加 $1$ mg/L，魚苗預測存活率平均降低 $3.25$ 個百分點。 負號表示兩者呈負向關係：亞硝酸鹽濃度越高，魚苗存活率有下降趨勢。 當 $X=6.0$ mg/L 時的預測存活率 將 $X=6.0$ 代入迴歸方程式： $$ \hat{Y}=90.25-3.25(6.0) $$ $$ \hat{Y}=90.25-19.50=70.75 $$ 因此： $$ \boxed{\hat{Y}=70.75\%} $$ --- （三）計算並解釋決定係數 $R^2$ 在只有一個自變數的簡單線性迴歸中： $$ R^2=r^2 $$ 因此： $$ R^2=(-0.65)^2=0.4225 $$ 換算為百分比： $$ R^2=42.25\% $$ 所以： $$ \boxed{R^2=0.4225} $$ 統計意義 表示魚苗存活率 $Y$ 的總變異中，約有 $42.25\%$ 可以由亞硝酸鹽濃度 $X$ 的線性迴歸關係加以解釋。 其餘約： $$ 1-0.4225=0.5775 $$ 即 $57.75\%$ 的變異，來自其他未納入模型的因素、隨機誤差或非線性關係。 $R^2$ 代表解釋力，不代表亞硝酸鹽濃度必然造成存活率下降，也不表示模型預測一定完全準確。 --- （四）檢定母群體相關係數是否為 $0$ 1. 建立假設 令母群體相關係數為 $\rho$。…

統計量	數值
樣本數（ $n$ ）	$20$
$X$ 平均數（ $\bar{x}$ ）	$5.0$ mg/L
$Y$ 平均數（ $\bar{y}$ ）	$74.0$ %
$X$ 標準差（ $S_x$ ）	$1.6$ mg/L
$Y$ 標準差（ $S_y$ ）	$8.0$ %
Pearson 相關係數（ $r$ ）	$-0.65$

115 高普考高考三級 養殖技術 生物統計學 考古題詳解

第 一 題25 分

核心觀念

（一）計算白蝦體重介於 19.319.319.3 至 32.732.732.7 公克的機率

解題技巧

（二）計算四分位數、四分位距並判斷離群值

第一步：資料排序

第二步：計算第一四分位數 Q1Q_1Q1​

第三步：計算第三四分位數 Q3Q_3Q3​

第四步：計算四分位距

第五步：依 1.51.51.5 倍四分位距規則判斷離群值

第 二 題25 分

核心觀念

（一）檢定兩季魚群體重之母體變異數

1. 假設

2. 檢定統計量

3. 結論

（二）計算春、夏平均體重差異之標準誤

1. 合併變異數

2. 平均數差異之標準誤

第 三 題25 分

核心觀念

（一）期望比例與期望值

拖網

刺網

釣具

（二）獨立性檢定與差異來源

1. 計算卡方統計量

第 四 題25 分

核心觀念

（一）求以 XXX 預測 YYY 的簡單線性迴歸方程式

解題方法

（二）斜率的生物統計意義與預測值

斜率的意義

當 X=6.0X=6.0X=6.0 mg/L 時的預測存活率

（三）計算並解釋決定係數 R2R^2R2

統計意義

（四）檢定母群體相關係數是否為 000

1. 建立假設

其他考古題

115 年養殖技術的其他科目

養殖技術《生物統計學》其他年度

115 年高普考高考三級・其他類科的《生物統計學》

115 高普考高考三級養殖技術生物統計學考古題詳解

第一題25 分

（一）計算白蝦體重介於 $19.3$ 至 $32.7$ 公克的機率

第二步：計算第一四分位數 $Q_1$

第三步：計算第三四分位數 $Q_3$

第五步：依 $1.5$ 倍四分位距規則判斷離群值

第二題25 分

第三題25 分

第四題25 分

（一）求以 $X$ 預測 $Y$ 的簡單線性迴歸方程式

當 $X=6.0$ mg/L 時的預測存活率

（三）計算並解釋決定係數 $R^2$

（四）檢定母群體相關係數是否為 $0$