114 年高普考高考三級養殖技術考古題與詳解

Question 1

假設白蝦的體長影響其體重，兩者間呈簡單直線相關。以下是 8 隻白蝦樣本的體長 $X$ 與體重 $Y$ 資料：

編號	1	2	3	4	5	6	7	8
體長（公分）	8	9	10	11	12	13	14	15
體重（公克）	5	7	8	11	13	15	20	25

（一）請求算以體長估算體重的直線迴歸預測方程式 $\hat{y}=b_0+b_1X$ 及其決定係數。（15 分）

（二）請以變異數分析進行假說檢定兩者間是否有顯著的線性迴歸關係（ $\alpha=0.05$ ）。（15 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像；題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查一元線性迴歸分析： - 以體長 $X$ 為自變數，體重 $Y$ 為依變數。 - 迴歸方程式為 $$\hat{Y}=b0+b1X$$ - 斜率與截距分別為 $$b1=\frac{S{XY}}{S{XX}},\qquad b0=\bar{Y}-b1\bar{X}$$ - 決定係數 $$R^2=\frac{SSR}{SST}=1-\frac{SSE}{SST}$$ - 以變異數分析檢定整體線性迴歸是否顯著，使用 $$F=\frac{MSR}{MSE}$$ --- （一）直線迴歸方程式及決定係數 1. 計算平均數 $$ \bar{X}=\frac{8+9+\cdots+15}{8}=11.5 $$ $$ \bar{Y}=\frac{5+7+8+11+13+15+20+25}{8}=13 $$ 2. 計算平方和與乘積和 $$ S{XX}=\sum (Xi-\bar{X})^2=42 $$ $$ S{YY}=\sum (Yi-\bar{Y})^2=326 $$ $$ S{XY}=\sum (Xi-\bar{X})(Yi-\bar{Y})=114 $$ 因此， $$ b1=\frac{S{XY}}{S{XX}} =\frac{114}{42} =\frac{19}{7} =2.7143 $$ $$ b0=\bar{Y}-b1\bar{X} =13-\frac{19}{7}(11.5) =-\frac{255}{14} =-18.2143 $$ 所以，以體長估算體重的迴歸預測方程式為 $$ \boxed{\hat{Y}=-18.2143+2.7143X} $$ 或寫成精確分數形式： $$ \boxed{\hat{Y}=-\frac{255}{14}+\frac{19}{7}X} $$ 3. 計算決定係數 迴歸平方和為 $$ SSR=\frac{S{XY}^2}{S{XX}} =\frac{114^2}{42} =309.4286 $$ 總平方和為 $$ SST=S{YY}=326 $$ 因此， $$ R^2=\frac{SSR}{SST} =\frac{309.4286}{326} =0.9492 $$ 故決定係數為 $$ \boxed{R^2=0.9492} $$ 表示體長可以解釋體重約 $94.92\%$ 的變異，剩餘約 $5.08\%$ 的變異來自其他因素及隨機誤差。 --- （二）以變異數分析檢定線性迴歸關係 1. 假說設定 令母體迴歸斜率為 $\beta1$。 $$ H0:\beta1=0 $$ 表示體長與體重間無顯著線性迴歸關係。 $$ H1:\beta1
eq 0 $$

Question 2

有一研究探討某種天然物成分減緩金魚呼吸運動頻率的效果。實驗使用 9 隻金魚當作樣本，於金魚平靜時先觀察並計算其呼吸運動頻率（次／分鐘），之後於金魚所住水體中加入此天然物使其達到特定濃度，再觀察計算同一隻金魚的呼吸運動頻率。施放天然物前後之各隻金魚呼吸運動頻率如下表，請回答下列問題：

編號	1	2	3	4	5	6	7	8	9
施放天然物前	70	75	64	68	72	66	78	73	72
施放天然物後	58	65	53	57	63	60	68	65	59

（一）請計算加入天然物前後的金魚呼吸運動頻率差異值的 95％信賴區間。（10 分）

（二）以顯著水準 $\alpha=0.05$ 進行假說檢定，檢定施放此天然物是否顯著改變金魚的呼吸運動頻率。（15 分）

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Accepted Answer

核心觀念

本題為同一批 9 隻金魚在「施放天然物前、後」的重複測量資料，因此兩組資料彼此相關，應採用「成對樣本 $t$ 檢定」，而非獨立樣本 $t$ 檢定。

定義每隻金魚的差異值為：

D_i=(施放前)-(施放後)

若天然物能降低呼吸運動頻率，則 $D_i$ 應大於 0。

解題方法與計算

（一）差異值的 95％信賴區間

各隻金魚的差異值為：

編號	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$D_i$	12	10	11	11	9	6	10	8	13

樣本數：

n=9

差異值平均數：

\bar D=\frac{12+10+11+11+9+6+10+8+13}{9} =10

差異值樣本變異數：

s_D^2=\frac{\sum(D_i-\bar D)^2}{n-1}

因為：

\sum(D_i-\bar D)^2 =4+0+1+1+1+16+0+4+9=36

所以：

s_D^2=\frac{36}{8}=4.5

s_D=\sqrt{4.5}=2.121

平均差異的標準誤：

SE_{\bar D}=\frac{s_D}{\sqrt n} =\frac{2.121}{3}=0.707

自由度為：

df=n-1=8

查 $t$ 分配表：

t_{0.975,8}=2.306

因此，平均差異值的 95％信賴區間為：

\bar D\pm t_{0.975,8}SE_{\bar D}

=10\pm 2.306(0.707)

=10\pm1.630

故：

\boxed{8.370<D<11.630}

也就是施放前減施放後的平均呼吸運動頻率差異，95％信賴區間為：

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Question 3

調查離島、臺灣北部和南部等三地俗稱馬糞海膽的白棘三列海膽資源量，分別記錄各海膽殼徑的數量資料如下：

地區	小於 5 公分	大於等於 5 公分、小於 8 公分	達 8 公分及以上
離島	56	24	20
臺灣北部	90	30	30
臺灣南部	124	46	80

（一）請檢定三地馬糞海膽各殼徑的數量分布比率是否有顯著差異（ $\alpha=0.05$ ）？（15 分）

（二）依規定僅可採捕殼徑達 8 公分及以上的馬糞海膽，請檢定臺灣南部可採捕的馬糞海膽比率是否高於離島的比率（ $\alpha=0.05$ ）？（15 分）

Accepted Answer

核心觀念

（一）比較三個地區的「殼徑類別分布比例」是否相同，屬於列聯表的卡方同質性檢定。

虛無假設 $H_0$ ：三地殼徑數量分布比例相同。
對立假設 $H_1$ ：至少有一地的分布比例不同。
檢定統計量：

\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}

其中 $O$ 為觀察值， $E$ 為期望值。

（二）比較臺灣南部與離島「殼徑達 8 公分以上」的比例，採兩母體比例差異檢定。

（一）三地殼徑分布比例之卡方檢定

1. 假設與自由度

H_0：三地殼徑分布比例相同

H_1：三地殼徑分布比例不完全相同

總樣本數為：

離島： $56+24+20=100$
臺灣北部： $90+30+30=150$
臺灣南部： $124+46+80=250$

各欄總數為：

小於 5 公分： $270$
5 至未滿 8 公分： $100$
8 公分以上： $130$

總數為 $500$ 。

自由度：

df=(列數-1)(欄數-1)=(3-1)(3-1)=4

2. 計算期望值

期望值公式為：

E_{ij}=\frac{列總數\times欄總數}{總數}

因此期望次數如下：

地區	小於 5 公分	5 至未滿 8 公分	8 公分以上
離島	$100(270)/500=54$	$100(100)/500=20$	$100(130)/500=26$
臺灣北部	$150(270)/500=81$	$150(100)/500=30$	$150(130)/500=39$
臺灣南部	$250(270)/500=135$	$250(100)/500=50$	$250(130)/500=65$

3. 計算卡方統計量

\begin{aligned} \chi^2 ={}&\frac{(56-54)^2}{54} +\frac{(24-20)^2}{20} +\frac{(20-26)^2}{26}\\ &+\frac{(90-81)^2}{81} +\frac{(30-30)^2}{30} +\frac{(30-39)^2}{39}\\ &+\frac{(124-135)^2}{135} +\frac{(46-50)^2}{50} +\frac{(80-65)^2}{65} \end{aligned}

\chi^2\approx 9.125

在 $\alpha=0.05$ 、 $df=4$ 下：

\chi^2_{0.05,4}=9.488

因為：

9.125<9.488

故不拒絕 $H_0$ 。

結論

在顯著水準 $0.05$ 下，沒有足夠證據顯示離島、臺灣北部與臺灣南部三地的馬糞海膽殼徑數量分布比例有顯著差異。

Question 4

分別使用 A、B、C 三種廠牌飼料各餵飼 16 隻石斑魚，得到餵 A 廠牌飼料的石斑魚平均體重為 5 公斤、變異數為 1.2；餵 B 廠牌飼料的平均體重為 4.5 公斤、變異數為 1.4；餵 C 廠牌飼料的平均體重為 5.5 公斤、變異數為 0.8。請分別比較以這三種廠牌飼料餵飼石斑魚，其平均體重的差異是否達顯著水準？（ $\alpha=0.05$ ）

（費氏 $F$ 值： $F_{0.025,2,45}=4.0085$ ； $F_{0.025,2,47}=3.9942$ ； $F_{0.05,2,45}=3.2043$ ； $F_{0.05,2,47}=3.1951$ ）

Accepted Answer

核心觀念

本題比較三個獨立樣本的平均體重，應使用「單因子變異數分析」（one-way ANOVA）。

設三種飼料的母體平均體重分別為 $\mu_A,\mu_B,\mu_C$ ：

$H_0:\mu_A=\mu_B=\mu_C$
$H_1:$ 三者平均體重不全相等

顯著水準為 $\alpha=0.05$ 。檢定統計量為

F=\frac{MS_{\text{組間}}}{MS_{\text{組內}}}

其中：

MS_{\text{組間}}=\frac{SS_{\text{組間}}}{k-1},\qquad MS_{\text{組內}}=\frac{SS_{\text{組內}}}{N-k}

本題有 $k=3$ 組，每組 $n=16$ ，總樣本數 $N=48$ 。

解題方法

1. 計算總平均數

\bar X_{\cdot\cdot} =\frac{16(5)+16(4.5)+16(5.5)}{48} =5

2. 計算組間平方和

SS_{\text{組間}} =\sum_{i=1}^{3}n_i(\bar X_i-\bar X_{\cdot\cdot})^2

因此：

SS_{\text{組間}} =16(5-5)^2+16(4.5-5)^2+16(5.5-5)^2

=0+16(0.25)+16(0.25)=8

組間自由度為

df_{\text{組間}}=k-1=3-1=2

所以

MS_{\text{組間}}=\frac{8}{2}=4

3. 計算組內平方和

各組樣本變異數分別為 $1.2,1.4,0.8$ ，故

SS_{\text{組內}} =\sum_{i=1}^{3}(n_i-1)s_i^2

=15(1.2)+15(1.4)+15(0.8)

114 高普考高考三級養殖技術生物統計學考古題詳解

第一題15 分

核心觀念

（一）直線迴歸方程式及決定係數

1. 計算平均數

2. 計算平方和與乘積和

3. 計算決定係數

（二）以變異數分析檢定線性迴歸關係

1. 假說設定

第二題10 分

核心觀念

解題方法與計算

（一）差異值的 95％信賴區間

第三題15 分

核心觀念

（一）三地殼徑分布比例之卡方檢定

1. 假設與自由度

2. 計算期望值

3. 計算卡方統計量

結論

第四題15 分

核心觀念

解題方法

1. 計算總平均數

2. 計算組間平方和

3. 計算組內平方和

其他考古題

114 年養殖技術的其他科目

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114 年高普考高考三級・其他類科的《生物統計學》

114 高普考高考三級 養殖技術 生物統計學 考古題詳解

第 一 題15 分

核心觀念

（一）直線迴歸方程式及決定係數

1. 計算平均數

2. 計算平方和與乘積和

3. 計算決定係數

（二）以變異數分析檢定線性迴歸關係

1. 假說設定

第 二 題10 分

核心觀念

解題方法與計算

（一）差異值的 95％信賴區間

第 三 題15 分

核心觀念

（一）三地殼徑分布比例之卡方檢定

1. 假設與自由度

2. 計算期望值

3. 計算卡方統計量

結論

第 四 題15 分

核心觀念

解題方法

1. 計算總平均數

2. 計算組間平方和

3. 計算組內平方和

其他考古題

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第一題15 分

第二題10 分

第三題15 分

第四題15 分