114 年高普考高考三級電信工程考古題與詳解

Question 1

在自由空間中，有兩條無窮長且均勻的線電荷，其線電荷密度為 $\lambda$。如圖一(a)所示，兩根半徑為 $a$ 的圓形截面、對稱且平行的導線，其軸心間距為 $d$，兩導線上帶有大小相等、方向相反的電荷。假設導線的半徑 $a$ 遠小於導線軸心的距離 $d$（即 $d\gg a$）。 請計算： (一) 此兩條導線的單位長度電容值（capacitance per unit length）。（8 分） (二) 根據上述結果，請求出圖一(b)所示結構的單位長度電容值。（8 分） 該結構為一根半徑為 $a$ 的細導線，平行放置於一塊接地的導體平板。介質為空氣，導線軸心與導體平板的垂直距離為 $h$（且 $h\gg a$）。 圖一(a)、圖一(b)之結構示意圖請參考原卷。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查無窮長線電荷的電位、電位差與單位長度電容，以及接地導體平板的鏡像法。 定義為 $$ C'=\frac{\lambda}{V} $$ 其中 $C'$ 為單位長度電容，$\lambda$ 為單位長度電荷量，$V$ 為兩導體間電位差。自由空間或空氣中 $$ \varepsilon \simeq \varepsilon0 $$ 無窮長線電荷在距離 $ho$ 處所產生的電場為 $$ E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon ho} $$ --- 解題方法 利用線電荷電場積分求電位差，再由 $C'=\lambda/V$ 求得電容。第二小題則利用鏡像法，把接地導體平板以一條電量相反的鏡像線電荷取代。 --- （一）兩條平行導線的單位長度電容 設左側導線帶電量為 $+\lambda$，右側導線帶電量為 $-\lambda$，兩導線軸心距離為 $d$，半徑為 $a$。 對左側正導線而言： - 自身電荷由導線表面 $a$ 至距離約 $d$ 的位置造成電位下降； - 右側負導線的作用，使兩導線間電位差加倍。 由兩條線電荷疊加，兩導線間電位差為 $$ V = \frac{\lambda}{\pi\varepsilon} \ln\left(\frac{d}{a}ight) $$ 因此單位長度電容為 $$ C'=\frac{\lambda}{V} $$ 所以 $$ \boxed{ C'= \frac{\pi\varepsilon} {\ln(d/a)} } $$ 由於介質為空氣， $$ \boxed{ C'\simeq \frac{\pi\varepsilon0} {\ln(d/a)} \ 	ext{F/m} } $$ 更精確的雙導線結果為 $$ C'= \frac{\pi\varepsilon} {\cosh^{-1}(d/2a)} $$ 當 $d\gg a$ 時，

Question 2

在三維直角座標軸 $x$、$y$、$z$ 中，一根導電率為 $\sigma$ 的金屬棒，被彎成一個平坦的 $90^\circ$ 圓形，其內半徑為 $a$、外半徑為 $b$，厚度為 $t$，如圖二所示。 請計算此金屬棒在內半徑為 $a$ 與外半徑為 $b$ 處的兩個垂直表面之間的電阻值。（16 分） 圖二之結構示意圖請參考原卷。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查均勻導體中的電阻定義與電流密度關係： $$ \mathbf{J}=\sigma \mathbf{E},\qquad R=\frac{V}{I} $$ 電流由內半徑 $a$ 的曲面流向外半徑 $b$ 的曲面，方向為徑向。由結構具有圓周對稱性，電位僅隨半徑 $r$ 變化，電場為 $Er$。 四分之一圓的圓心角為 $$ \phi0=\frac{\pi}{2}. $$ 解題方法 取半徑為 $r$、厚度為 $dr$ 的微小徑向薄層。半徑 $r$ 處，電流通過的截面積為四分之一圓弧長乘以厚度： $$ A(r)=\left(\frac{\pi}{2}r\right)t. $$ 因此微小電阻為 $$ dR=\frac{dr}{\sigma A(r)} =\frac{dr}{\sigma t(\pi r/2)}. $$ 由內半徑 $a$ 積分至外半徑 $b$： $$ R=\inta^b dR =\inta^b \frac{dr}{\sigma t(\pi r/2)}. $$ 整理得

Question 3

一個電流迴路呈現為三角形，其形狀為邊長 $a$ 的正方形的一半，如圖三所示。該迴路中有穩定的電流 $I$ 流動，周圍介質為空氣。

請計算在正方形第四個頂點處（點 $P$ ）的磁通密度向量 $\vec{B}$ ，包含大小與方向（流出紙面或進入紙面）。（20 分）

圖三之結構示意圖請參考原卷。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查有限長直導線的磁場，以及磁場方向的右手定則。 空氣中 $\mu=\mu0$。有限長直導線距離觀測點垂直距離為 $d$，若導線兩端與觀測點連線相對於垂線的夾角為 $	heta1,	heta2$，則磁通密度大小為 $$ B=\frac{\mu0 I}{4\pi d} \left(\sin	heta1+\sin	heta2ight). $$ 圖中電流方向為：由右下角沿斜邊流向左上角，再沿左邊向下，最後沿底邊向右。 --- 解題方法 設正方形左下角為 $(0,0)$，右下角為 $(a,0)$，左上角為 $(0,a)$，則點 $P=(a,a)$。 1. 底邊導線 底邊電流由左向右，點 $P$ 到底邊的垂直距離為 $$ d=a. $$ 兩端所對的角度皆為 $45^\circ$，因此 $$ B{	ext{底}} =\frac{\mu0 I}{4\pi a} \left(\sin45^\circ+\sin45^\circight) $$ $$ =\frac{\mu0 I}{4\pi a} \left(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}ight) =\frac{\mu0 I\sqrt2}{4\pi a}. $$ 依右手定則，底邊在 $P$ 點產生的磁場方向為流出紙面。 --- 2. 左側導線 左側導線電流由上向下，點 $P$ 到左側導線的垂直距離同樣為 $$ d=a. $$ 兩端所對的角度亦皆為 $45^\circ$，故 $$ B{	ext{左}} =\frac{\mu0 I\sqrt2}{4\pi a}. $$ 依右手定則，左側導線在 $P$ 點產生的磁場方向也是流出紙面。 --- 3. 斜邊導線 斜邊長度為 $$ L=a\sqrt2. $$ 其所在直線為 $x+y=a$，點 $P=(a,a)$ 到此直線的垂直距離為

Question 4

兩段串接的無損耗傳輸線如圖四所示，分別連接至一個時變電壓源與一個複數負載阻抗。根據電路中所給的各項參數，請求出兩段傳輸線交界處的輸入阻抗 $Z_{\mathrm{in1}}$ 、 $Z_{\mathrm{in2}}$ ；最後，請求出傳送至負載的實數功率。（24 分）

圖四之電路及各項參數未包含於文字層擷取結果，請參考原卷。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查兩段無損耗傳輸線的阻抗遞推，以及負載實功率的計算。

無損耗傳輸線長度為 $l$ 、特性阻抗為 $Z_0$ 、負載為 $Z_L$ 時，輸入阻抗為

Z_{\mathrm{in}} = Z_0 \frac{Z_L+jZ_0\tan(\beta l)} {Z_0+jZ_L\tan(\beta l)}

其中

\beta=\frac{2\pi f\sqrt{\varepsilon_r}}{c}

由於傳輸線無損耗，輸入端消耗的實功率等於負載所接收的實功率。

一、第二段傳輸線的輸入阻抗 $Z_{\mathrm{in2}}$

第二段傳輸線參數為

Z_{02}=50\ \Omega,\qquad \varepsilon_{r2}=1,\qquad l_2=0.775\ \text{m}

負載阻抗為

Z_L=80+j60\ \Omega

第二段的相位常數為

\beta_2 l_2 = \frac{2\pi f\sqrt{\varepsilon_{r2}}}{c}l_2 = 2\pi(0.775) = 1.55\pi

因此

\tan(\beta_2l_2) = \tan(1.55\pi) \approx -6.3138

代入傳輸線輸入阻抗公式：

Z_{\mathrm{in2}} = 50 \frac{(80+j60)+j50(-6.3138)} {50+j(80+j60)(-6.3138)}

整理得

Z_{\mathrm{in2}} = 50 \frac{80-j255.69} {428.83-j505.10}

所以

\boxed{ Z_{\mathrm{in2}}\approx 18.62-j7.89\ \Omega }

二、第一段傳輸線的輸入阻抗 $Z_{\mathrm{in1}}$

第一段傳輸線參數為

Z_{01}=75\ \Omega,\qquad \varepsilon_{r1}=4,\qquad l_1=0.775\ \text{m}

第一段的相位常數為

\beta_1l_1 = \frac{2\pi f\sqrt{4}}{c}(0.775) = 2\pi(2)(0.775) = 3.10\pi

因此

\tan(\beta_1l_1) = \tan(3.10\pi) = \tan(0.10\pi) \approx 0.3249

第一段的負載即為第二段的輸入阻抗：

Z_L'=Z_{\mathrm{in2}}\approx18.62-j7.89\ \Omega

故

Question 5

請寫出高斯定律、安培定律與法拉第定律的微分形式，並說明其物理意義。在上述定律的基礎上，馬克士威（Maxwell）補充一項，使電磁理論得以完整。請指出馬克士威所補充的項目，並說明為何需要加入該項。 註：自由空間中介電係數為 $\varepsilon0$，導磁係數為 $\mu0$，體電荷密度為 $ho$，電流密度向量為 $\vec{J}$，位移電流向量為 $\vec{J}{d}$，電場強度與磁通密度分別以向量 $\vec{E}$ 與 $\vec{B}$ 表示，向量微分運算符號為 $
abla$。（24 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查麥克斯威方程組的微分形式，以及位移電流的物理意義。高斯定律描述電荷如何形成電場、安培定律描述電流與變動磁場如何形成磁場、法拉第定律描述變動磁場如何產生電場。麥克斯威在安培定律中補入位移電流項，使方程組符合電荷守恆，並能描述隨時間變動的電磁場。 解題方法 在自由空間中，將四條定律寫成微分形式，並逐一解讀散度與旋度所代表的場源或環流，再說明安培定律補項的必要性。 1. 高斯定律（電） $$ 
abla\cdot\vec{E}=\frac{ho}{\varepsilon0} $$ 電場的散度由體電荷密度決定。正電荷是電場線的源，負電荷是電場線的匯；若某區域沒有電荷，該處電場的散度為零。 2. 高斯定律（磁） $$ 
abla\cdot\vec{B}=0 $$ 磁通密度沒有源或匯，表示自然界不存在孤立的磁單極；磁力線為閉合曲線，穿入任一封閉曲面的磁通量總和為零。 3. 安培定律（含馬克士威補項） $$ 
abla	imes\vec{B} =\mu0\vec{J}+\mu0\vec{J}d =\mu0\vec{J}+\mu0\varepsilon0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} $$ 電流密度 $\vec{J}$ 與變動電場所對應的位移電流密度 $\vec{J}d$，共同形成磁場的旋度。位移電流密度定義為 $$ \vec{J}d=\varepsilon0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}. $$ 4. 法拉第定律 $$ 
abla	imes\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} $$ 變動的磁通密度會產生具有旋度的電場；負號表示感應效應的方向符合楞次定律，會反抗磁通量的變化。 為何需要位移電流項 若只採用原本的安培定律 $
abla	imes\vec{B}=\mu0\vec{J}$，對兩側取散度，利用「旋度的散度恆為零」，會得到 $$ 0=\mu0
abla\cdot\vec{J}. $$ 但電荷守恆的連續方程式為

114 高普考高考三級電信工程電磁學考古題詳解

第一題16 分

（一）兩條平行導線的單位長度電容

第二題16 分

第三題20 分

1. 底邊導線

2. 左側導線

3. 斜邊導線

第四題24 分

核心觀念

一、第二段傳輸線的輸入阻抗 $Z_{\mathrm{in2}}$

二、第一段傳輸線的輸入阻抗 $Z_{\mathrm{in1}}$

第五題24 分

核心觀念

解題方法

1. 高斯定律（電）

2. 高斯定律（磁）

3. 安培定律（含馬克士威補項）

4. 法拉第定律

為何需要位移電流項

其他考古題

114 年電信工程的其他科目

電信工程《電磁學》其他年度

114 年高普考高考三級・其他類科的《電磁學》

114 高普考高考三級 電信工程 電磁學 考古題詳解

第 一 題16 分

（一）兩條平行導線的單位長度電容

第 二 題16 分

第 三 題20 分

1. 底邊導線

2. 左側導線

3. 斜邊導線

第 四 題24 分

核心觀念

一、第二段傳輸線的輸入阻抗 Zin2Z_{\mathrm{in2}}Zin2​

二、第一段傳輸線的輸入阻抗 Zin1Z_{\mathrm{in1}}Zin1​

第 五 題24 分

核心觀念

解題方法

1. 高斯定律（電）

2. 高斯定律（磁）

3. 安培定律（含馬克士威補項）

4. 法拉第定律

為何需要位移電流項

其他考古題

114 年電信工程的其他科目

電信工程《電磁學》其他年度

114 年高普考高考三級・其他類科的《電磁學》

114 高普考高考三級電信工程電磁學考古題詳解

第一題16 分

第二題16 分

第三題20 分

第四題24 分

一、第二段傳輸線的輸入阻抗 $Z_{\mathrm{in2}}$

二、第一段傳輸線的輸入阻抗 $Z_{\mathrm{in1}}$

第五題24 分