107 高普考高考三級 技藝(選試木竹器) 圖學 考古題詳解

核心觀念

1. 正投影三視圖之識圖與立體重構：

• 依 CNS 工程製圖標準，採用第三角法（Third-Angle Projection），三視圖包含前視圖、俯視圖與側視圖。
• 識圖遵循「長對正、高平齊、寬相等」之投影對應法則，將二維正投影視圖轉譯重構為三維幾何立體形體。

2. 等角投影（Isometric Drawing）幾何原理：

• 等角軸（Isometric Axes）：立體圖的三個主軸互相夾角均為 $120^\circ$，其中垂直軸（高，$Z$ 軸）垂直於水平線，左右兩側主軸（長 $X$ 軸、寬 $Y$ 軸）分別與水平線夾 $30^\circ$ 仰角。
• 比例規定：題目指定以比例 $1:1$ 繪製等角立體圖（Isometric Drawing），沿著三個等角主軸方向所量測的尺寸均直接以實長 $1:1$ 截取，不需進行等角投影之理論縮率折算。

3. 等角圓弧繪製法（四心近似橢圓法）：

• 空間中的圓形在等角平面上投影為橢圓。
• 對於半徑為 $R$ 的圓弧特徵，在其所屬等角平面（菱形邊長為半徑或直徑）內，利用四心法求出對應圓心與半徑，繪出平滑切合之等角圓弧。

4. 箱體法（Box Method）：

• 複合形體立體圖之經典構圖法：先依外形最大包絡尺寸（長、寬、高）繪出等角基準立方體（Bounding Box），再依三視圖特徵線進行階梯切削與倒圓角。

解題方法

（一）三視圖尺寸解構與實體特徵分析

依圖（一）標示之幾何尺寸進行形體分解：

1. 外形包絡尺寸：

• 長度（$X$ 軸方向）：$60\ \mathrm{mm}$。
• 深度／寬度（$Y$ 軸方向）：$30\ \mathrm{mm}$。
• 高度（$Z$ 軸方向）：$20\ \mathrm{mm}$。

2. 局部特徵解構：

• 一端凸圓角（$R20$）：長度端部具有凸圓弧特徵，半徑 $R = 20\ \mathrm{mm}$。因高度恰為 $20\ \mathrm{mm}$，該圓弧在垂直面上由頂面平滑過渡至底部端面，為一圓心在底面邊緣的四分之一圓柱面，圓柱長度貫穿深度全寬 $30\ \mathrm{mm}$。
• 另一端階梯切削（分段尺寸 $10\ \mathrm{mm} \times 10\ \mathrm{mm}$）：長度相對端部具有直角階梯缺口，水平切削深度為 $10\ \mathrm{mm}$，垂直切削深度為 $10\ \mathrm{mm}$，使該端保留厚度 $10\ \mathrm{mm}$ 之階台，貫穿深度全寬 $30\ \mathrm{mm}$。

（二）作圖步驟

1. 架設等角軸與繪製基準箱體：

• 在圖紙中心水平線上取基準點 $O$。
• 自基準點垂直向上引出垂直軸（$Z$ 軸，高度）。
• 自基準點向右上方引出夾角 $30^\circ$ 之軸線（$X$ 軸，長度）。
• 自基準點向左上方引出夾角 $30^\circ$ 之軸線（$Y$ 軸，深度）。
• 依 $1:1$ 比例量取：長度 $60\ \mathrm{mm}$、深度 $30\ \mathrm{mm}$、高度 $20\ \mathrm{mm}$。

核心觀念

本題旨在測驗工程圖學之「正投影三視圖繪製」、「立體圖轉正投影視圖」及「中華民國國家標準（CNS 3 B1001 工程製圖）」之規範，涉及以下核心定義與準則：

1. 第三角投影法（Third Angle Projection）： 依台灣公職國家考試及 CNS 規範慣例，機械與工藝圖學以第三角法為主要投影標準：

• 前視圖（Front View）：置於左下方，作為主要特徵表達視圖。
• 俯視圖（Top View）：置於前視圖正上方，長度與前視圖對齊（長對正）。
• 右側視圖（Right Side View）：置於前視圖正右方，高度與前視圖齊平（高平齊）。
• 俯視圖與右側視圖在深度維度上必須相等（寬相等），可透過 $45^\circ$ 輔助斜線進行投影對應轉換。

2. 線條種類與階層規範（CNS 3）：

• 粗實線（約 $0.5\text{ mm}$）：用於可見輪廓線（Visible lines）。
• 細虛線（約 $0.25\text{ mm}$）：用於不可見之隱藏輪廓線（Hidden lines），如內孔孔壁、被遮蔽之凹槽邊緣。線段長度約 $3\text{ mm}$，間隙約 $1\text{ mm}$。
• 細鏈線／中心線（約 $0.18\sim 0.25\text{ mm}$）：長劃（約 $15\sim 20\text{ mm}$）與短劃（約 $2\sim 3\text{ mm}$）交替組成，用於表示圓柱、迴轉體、圓孔之對稱中心軸線，兩端需伸出可見輪廓外 $2\sim 3\text{ mm}$。

3. 幾何體之投影特徵：

• 圓柱（Cylinder）：在一視圖呈圓形，在另兩相鄰視圖呈矩形，且中心繪製軸線。
• 通孔（Through Hole）：在一視圖呈圓形可見實線，在另兩視圖中呈對稱於中心線之兩條細虛線。
• 貫穿凹槽（Through Slot）：在貫穿方向之視圖呈開口輪廓，在遮蔽方向之視圖呈水平或垂直隱藏細虛線。

解題方法

本題題幹未完整轉錄原卷圖（二）之絕對數值標註，依題意幾何特徵建立標準參數化幾何形體進行精確三視圖推導作答。

1. 幾何形體拆解（形體分析法）

將立體圖結構拆解為四個基本幾何特徵之布林組合：

• 主基座（Base）：外形為長方體，設總長為 $L$、總寬（深度）為 $W$、基座厚度為 $H_1$。
• 直立圓柱（Boss/Cylinder）：位於基座頂面，外徑為 $\phi D$、高度為 $H_2$（整體總高度 $H = H_1 + H_2$）。
• 中心貫穿孔（Central Hole）：貫穿圓柱與基座之垂直同軸圓孔，直徑為 $\phi d$（其中 $d < D$）。
• 底面貫穿凹槽（Bottom Slot）：沿基座底部全深貫通之矩形凹槽，槽寬為 $w_s$、槽深高度為 $h_s$。

2. 三視圖結構與線條逐一投影推導

• 前視圖（正視圖）投影步驟：

1. 繪製基座外框：下方寬 $L$、高 $H_1$ 之矩形輪廓。
2. 繪製凹槽開口：於基座底邊中央切除寬 $w_s$、高 $h_s$ 之實線矩形開口，開口底部實線斷開。
3. 繪製直立圓柱：於基座頂面中央向上繪製寬 $D$、高 $H_2$ 之實線矩形。
4. 繪製中心線：於對稱中心線位置繪製貫穿上下之細鏈線，上下兩端延伸出輪廓外 $2\sim 3\text{ mm}$。
5. 繪製通孔隱藏線：在對稱中心線兩側各距 $\frac{d}{2}$ 處，繪製由圓柱頂面貫穿至凹槽頂面之兩條垂直細虛線。

• 俯視圖（上視圖）投影步驟：

1. 繪製基座輪廓：在前視圖正上方繪製長 $L$、寬 $W$ 之水平外框矩形，長度與前視圖嚴格上下對正。
2. 繪製中心十字線：標定圓柱與孔之中心位置，繪製互相垂直之細鏈線。
3. 繪製可見圓：以中心為圓心，分別以直徑 $D$ 繪製圓柱外緣實線圓、以直徑 $d$ 繪製內孔內緣實線圓。
4. 繪製凹槽隱藏線：底部前後貫通之矩形槽由上方俯視被頂面遮蔽，在中心兩側各距 $\frac{w_s}{2}$ 處繪製兩條貫穿前後之水平細虛線。

• 右側視圖投影步驟：

1. 繪製基座與圓柱外形：在前視圖正右方對齊各高度基準。基座部分為寬 $W$、高 $H_1$ 之矩形；圓柱部分為置於頂部中央、寬 $D$、高 $H_2$ 之矩形。
2. 繪製中心線：繪製垂直對稱細鏈線。

核心觀念

本題評量工程製圖之「正投影三視圖」繪製能力與國家標準規範，涉及之核心觀念與法規準則包含：

1. CNS 3 B1001 工程製圖標準規範：

• 投影法體系：依中華民國國家標準（CNS）規定，公職考試與工業製圖原則上採用第三角投影法（Third Angle Projection）。
• 三視圖相對配置定位：
• 俯視圖（Top View）：位於前視圖之正上方。
• 前視圖（Front View / 主視圖）：位於左下方。
• 右側視圖（Right Side View）：位於前視圖之正右方。
• 正投影幾何對應準則：三視圖必須嚴格符合「長對正、高平齊、寬相等」之投影關係。

2. 線條種類與層級規範（CNS 3）：

• 粗實線（Visible Outline）：繪製物體所有可看見的輪廓線與交線。
• 細虛線（Hidden Line）：繪製被物體自身遮蔽的隱藏輪廓與孔壁。
• 細點劃線（Center Line）：繪製圓孔、半圓弧之中心線、對稱線及迴轉軸線。

3. 形體分析法（Form Analysis）： 將複合形體拆解為基底組合：底座（水平長方體板件）與立板（具備半圓形外輪廓與同心圓孔之垂直板件）。

解題方法

1. 主視方向（前視圖）之判定： 依 CNS 製圖原則，主視圖應選擇「最能表現該工件主要形狀特徵、且隱藏線最少」之方向。本題選擇正對立板平面、能直接展現立板半圓形外輪廓與圓孔實形（真形）之方向作為「前視方向」。

2. 幾何尺寸參數化定義： 設原圖各幾何特徵之標註參數為：

• 底座：長度為 $L$、寬度（深度）為 $W$、高度（厚度）為 $t_1$。
• 立板：厚度為 $t_2$、半圓形頂部之外輪廓半徑為 $R$（立板寬度為 $2R$）、同心貫穿圓孔之直徑為 $D$、圓孔中心至底座底面之高度為 $H_c$、立板總高度為 $H = H_c + R$。

3. 三視圖投影幾何推導與作圖步驟：

• 前視圖（主視圖）：

1. 基準線：繪製水平底線與垂直中心線（細點劃線）。
2. 底座投影：繪製長 $L$、高 $t_1$ 之矩形外輪廓（粗實線）。
3. 立板投影：自底座向上繪製立板兩側垂直直線（間距 $2R$），至高度 $H_c$ 處以半徑 $R$ 繪製頂部半圓弧，半圓弧與兩側垂直線相切過渡（粗實線）。
4. 圓孔投影：以中心線交點（距底面高 $H_c$ 處）為圓心，以半徑 $r = \frac{D}{2}$ 繪製直徑為 $D$ 之貫穿圓孔實形（粗實線）。

• 俯視圖（上視圖）：

1. 投影對應：由前視圖向上引出垂直投影對正線（確保長對正）。
2. 底座投影：繪製長度 $L$、寬度 $W$ 之矩形外輪廓（粗實線）。
3. 立板投影：繪製長度 $2R$、厚度 $t_2$ 之實線矩形（粗實線）。
4. 圓孔投影：圓孔垂直穿透立板，由上方俯視為隱藏特徵，在立板厚度 $t_2$ 範圍內，自圓孔最左與最右四分點向下引出兩條平行之「細虛線」，間距為 $D$，兩虛線中央繪製一條貫通之「細點劃線」作為軸心線。

• 右側視圖：

1. 投影對應：由前視圖向右引出水平投影線（確保高平齊）；利用 $45^\circ$ 輔助斜線將俯視圖之寬度 $W$ 與厚度 $t_2$ 轉向至側視圖（確保寬相等）。
2. 輪廓特徵：呈現底座厚度 $t_1$ 與立板厚度 $t_2$ 垂直相接之「L形」階梯實線輪廓（粗實線）。
3. 半圓頂部：半圓外輪廓在側面投影為一條位於總高 $H = H_c + R$ 處、長度為 $t_2$ 之水平頂線（粗實線）。
4. 圓孔投影：在中心高度 $H_c$ 處繪製一條長度貫穿立板厚度 $t_2$ 之水平「細點劃線」；並於高度 $H_c + \frac{D}{2}$ 與 $H_c - \frac{D}{2}$ 處各繪製一條水平「細虛線」，表示圓孔孔壁的隱藏輪廓。

選項分析

本題為非選擇題（工程製圖繪圖題），無選擇題選項；依題意將各視圖各幾何要素之投影呈現、線條種類與正誤判別分析如下：

• 前視圖之線條與特徵分析：

• 半圓與直邊切點處：立板兩側垂直平直邊與頂部半圓弧為相切平滑連接，切點處曲面連續，嚴禁繪製水平分界實線。若畫出橫向交線即判定為曲面性質理解錯誤。

• 圓孔輪廓線：前視方向與圓孔軸線平行，圓孔直接呈現為真實正圓，必須繪製粗實線；不可誤繪為虛線。

• 中心線交點：中心點處之垂直與水平細點劃線必須為長劃相交，不可交於間隙或短點處。

• 俯視圖之線條與特徵分析：

• 立板頂部圓弧之俯視投影：半圓弧頂面向下俯視時，最高點處之稜線退化，外表呈現為長度 $2R$、寬度 $t_2$ 之矩形，不可誤畫為弧線。

核心觀念

本題屬於工程製圖（圖學）中極具代表性的「正投影三視圖」與「單輔助視圖（Auxiliary View）」綜合製圖題，考查的核心觀念包含：

1. 正投影原理與視圖對正：依據中華民國國家標準（CNS 3 B1001 工程製圖）規範，台灣國家考試標準作圖預設採用「第三角投影法」（Third-Angle Projection）。上視圖置於前視圖正上方，遵循「長對正、高平齊、寬相等」之正交投影幾何關係。
2. 斜面投影之變形與線邊視圖（Edge View）：

• 當物體包含一個對水平投影面（HP）傾斜、但垂直於前投影面（VP）之斜面時，該斜面在前視圖中會收縮聚合成一條直線，稱為「線邊視圖」（積聚性，Edge View），其與水平底面夾角即反映傾斜的真角（$45^\circ$）。
• 在上視圖中，該斜面因傾斜投影而產生縮小變形（短縮面，Fore-shortened Surface），無法表現真實長度與形狀。

3. 前視單輔助視圖之投影幾何（Front-adjacent Auxiliary View）：

• 欲求得傾斜面之真實形狀（實形，True Shape）與真實尺度，必須設立一個平行於該斜面、垂直於前投影面的輔助投影面。
• 視線方向必須垂直於前視圖中斜面的線邊視圖；投影引線沿斜面法線方向拉出，各點的寬度（深度）尺寸則由上視圖垂直量取並等長轉移。

4. 比例與尺度標註（CNS 規範）：

• 以 $1:1$ 比例原寸繪製，各視圖間距應勻稱，並預留尺度界線與尺度線空間。
• 尺度標註原則：真實形狀顯現於何視圖，尺度即標註於該視圖上。斜面本身之實形輪廓、孔位真圓 $\varnothing20$ 必須標註於輔助視圖上，不可標註在產生橢圓形變之上視圖中。

解題方法

一、幾何結構與尺寸拆解

依題目與原卷立體圖幾何資訊，構件為一具備傾斜面與貫穿孔之基座台階零件：

1. 整體與底板主構型：

• 底板總長度為 $160\ \mathrm{mm}$，沿長度方向分為兩段：基座階梯部為 $100\ \mathrm{mm}$，延伸段為 $60\ \mathrm{mm}$（滿足 $100\ \mathrm{mm} + 60\ \mathrm{mm} = 160\ \mathrm{mm}$）。
• 深度（寬度方向）總尺寸為 $120\ \mathrm{mm}$；特定台階或側向收縮部位寬度對應為 $60\ \mathrm{mm}$。
• 底板厚度為 $20\ \mathrm{mm}$。

2. 傾斜結構與定位特徵：

• 主體上方具一夾角為 $45^\circ$ 之傾斜加工面。
• 垂直高度與肩部定位尺寸分別為 $40\ \mathrm{mm}$ 及 $37\ \mathrm{mm}$，構成斜面於高度及水平方向之幾何定位邊界。
• 傾斜面上（或底板指定位置）貫穿孔徑為 $\varnothing20\ \mathrm{mm}$ 之圓孔。若孔位於斜面上，在前視圖呈虛線軸孔，在上視圖投影為長軸等於直徑、短軸收縮之橢圓，在輔助視圖中則還原為直徑 $20\ \mathrm{mm}$ 之真圓。

二、製圖配置與排版步驟（比例 1:1）

答案紙採橫向或縱向適當位置規劃，作圖順序如下：

1. 圖面規劃與基準線建立：

• 於圖紙左下側預留前視圖位置，寬度 $160\ \mathrm{mm}$、高度約 $60\sim80\ \mathrm{mm}$。
• 於前視圖正上方留出 $40\sim50\ \mathrm{mm}$ 視圖間距，繪製上視圖（長度 $160\ \mathrm{mm}$，深度 $120\ \mathrm{mm}$）。
• 於前視圖斜面上方外側（與水平夾角 $45^\circ$ 或法線 $135^\circ$ 伸展區）預留寬度 $120\ \mathrm{mm}$ 之空間，用於繪製斜面輔助視圖。

2. 繪製前視圖（主視圖）：

• 繪出底板水平基準底線長 $160\ \mathrm{mm}$，底板厚度向上量取 $20\ \mathrm{mm}$ 繪出水平線。
• 依 $60\ \mathrm{mm}$ 與 $100\ \mathrm{mm}$ 分界劃分階梯或垂直壁面。
• 量取階台高度 $40\ \mathrm{mm}$ 及 $37\ \mathrm{mm}$ 特徵點，以 $45^\circ$ 角度繪出傾斜面的「線邊視圖」（實線）。
• 繪出 $\varnothing20$ 貫穿孔之前後壁隱藏線（細虛線）與軸心線（細鏈線）。

3. 繪製上視圖（俯視圖）：

• 由前視圖向上引正交投影對齊線，確保長度 $160\ \mathrm{mm}$ 完全對齊。
• 繪出總深 $120\ \mathrm{mm}$ 之主外輪廓矩形。
• 依據階梯部與局部寬度 $60\ \mathrm{mm}$ 劃分台階邊界線。
• 斜面投影：將前視圖斜面之起點與終點鉛直投影至上視圖，繪出對應寬度之縮小矩形。
• 孔的投影：斜面上的 $\varnothing20$ 圓孔投影至上視圖時為橢圓，利用四點共軛法或輔助點繪出長軸 $20\ \mathrm{mm}$、短軸 $20 \times \cos 45^\circ = 20 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 14.14\ \mathrm{mm}$ 之變形橢圓（實線），並標記中心線。

4. 繪製斜面之輔助視圖（前視單輔助視圖）：

• 投影射線：過前視圖斜面之端點與孔中心，引出垂直於斜面邊線（法線方向）之投影射線。
• 基準線設置（Reference Line）：設置一平行於該斜面邊線之參考基準線 $R-L$（可取斜面之對稱中心線或底板背後基準面）。