107 高普考高考三級 技藝(選試陶瓷) 圖學 考古題詳解

核心觀念

本題考查國家考試《圖學》之核心基礎能力——由正投影三視圖重組立體形體，並依 CNS 國家標準繪製等角立體圖（Isometric Drawing）。涵蓋觀念與定理如下：

1. 正投影與空間形體辨識：

• 依據正投影幾何對應原理（長對正、高平齊、寬相等），綜合前視圖、俯視圖與側視圖之實線輪廓，判斷基本體之長、寬、高幾何特徵。
• 尺寸封閉關係：形體總長度為 $60\ \mathrm{mm}$，左右兩側對稱分段尺寸各為 $10\ \mathrm{mm}$，中央圓弧段半徑為 $R20$（即直徑 $D = 2 \times 20 = 40\ \mathrm{mm}$），三者滿足： $10\ \mathrm{mm} + 40\ \mathrm{mm} + 10\ \mathrm{mm} = 60\ \mathrm{mm}$ 形體總高度為 $20\ \mathrm{mm}$，貫穿總深度為 $30\ \mathrm{mm}$。

2. 等角圖（Isometric Drawing）原理：

• 等角軸（Isometric Axes）互成 $120^\circ$：包含一條垂直軸（$Z$ 軸，高）及兩條與水平線各呈 $30^\circ$ 仰角的等角軸（$X$ 軸，長；$Y$ 軸，深）。
• 尺度比例採 $1:1$ 實長繪製：題幹明訂「以比例 $1:1$ 繪製」，屬於「等角圖」，等角軸向尺寸直接取實長量測，不須乘上等角投影縮短率（$\sqrt{2/3} \approx 0.816$）。

3. 等角圓之四心近似橢圓法（Four-Center Approximation Method）：

• 圓在等角平面上投影為橢圓。工程製圖上以四心圓弧法建構外切等角菱形（內角分別為 $60^\circ$ 與 $120^\circ$），利用兩鈍角頂點引出對邊中點之交線，分別求得兩組不同半徑之圓心，完成近似橢圓弧之繪製。

解題方法

採用圖學解立體圖最嚴謹且不易出錯的基塊法（等角箱法，Box Method）​進行繪製，推導與作圖步驟如下：

1. 缺漏條件點明與定案幾何模型確立： 由於試卷原卷文字僅條列標註尺寸而未附完整投影圖之正負實虛線，本題依據公職圖學命題慣例，以「外形尺寸長 $60\ \mathrm{mm}\times$ 深 $30\ \mathrm{mm}\times$ 高 $20\ \mathrm{mm}$，頂面中央具貫穿深度 $30\ \mathrm{mm}$、半徑 $R20$ 之半圓柱凹槽，兩側各具 $10\ \mathrm{mm}$ 平面凸緣」為定案標準形體進行繪製。

2. 步驟一：建立等角基準軸與包絡箱（Bounding Box）

• 先以細實線繪製垂直 $Z$ 軸，以及自原點向右上方、左上方各偏轉 $30^\circ$ 之等角軸（$X$ 軸與 $Y$ 軸）。
• 沿長度軸（$X$ 軸）量取 $60\ \mathrm{mm}$，深度軸（$Y$ 軸）量取 $30\ \mathrm{mm}$，高度軸（$Z$ 軸）量取 $20\ \mathrm{mm}$。
• 分別引各軸之平行線，構築一個長 $\times$ 深 $\times$ 高為 $60\ \mathrm{mm} \times 30\ \mathrm{mm} \times 20\ \mathrm{mm}$ 之封閉等角長方體框。

3. 步驟二：在前表面界定特徵分段位置

• 於前視表面之頂部水平等角線上，由左端點沿 $X$ 軸向右量取 $10\ \mathrm{mm}$，標定左肩界線點 $P_1$。
• 由右端點沿 $X$ 軸向左量取 $10\ \mathrm{mm}$，標定右肩界線點 $P_2$。
• $P_1$ 與 $P_2$ 之間距即為半圓槽的開口寬度，恰等於直徑： $50\ \mathrm{mm} - 10\ \mathrm{mm} = 40\ \mathrm{mm} = 2R$

4. 步驟三：繪製前視平面之等角半圓（四心橢圓法）

• 圓弧中心落於頂邊中點（距左端 $30\ \mathrm{mm}$ 處），高度 $Z = 20\ \mathrm{mm}$。
• 建立該 $R20$ 圓外切等角菱形之下半部輔助框：邊長各為 $40\ \mathrm{mm}$，垂直邊平行於 $Z$ 軸、水平邊平行於 $X$ 軸。
• 自菱形上部鈍角頂點（位於圓心上方虛擬位置）向對邊兩中點（即左側端點 $P_1$ 與右側端點 $P_2$）引射線；射線與菱形垂直對稱軸之交點，即為繪製槽底圓弧之圓心。
• 以兩射線交點為心、交點至槽底最低點（剛好切齊底面 $Z = 0\ \mathrm{mm}$）為半徑，繪製中央大圓弧；再以鈍角頂點為心，繪製兩端小圓弧，使平滑相切接合於 $P_1$ 與 $P_2$，完成前表面凹弧。

核心觀念

本題評量工程製圖之「正投影三視圖」繪製能力與規範掌握，核心規範與原理包含：

1. CNS 3 工程製圖標準規範：依中華民國國家標準 CNS 3 之規定，我國工程圖學以「第三角投影法（Third Angle Projection）」為標準配置準則。
2. 第三角法視圖配置方位：

• 前視圖（主視圖，Front View）位於基準位置。
• 俯視圖（上視圖，Top View）位於前視圖的正上方。
• 右側視圖（Right Side View）位於前視圖的正右方。

3. 正投影基本投影對正幾何原理：

• 「長對正」：俯視圖與前視圖長度相等，左右投影邊界完全對齊。
• 「高平齊」：前視圖與右側視圖高度相等，水平投影水平平齊。
• 「寬相等」：俯視圖之寬度（前後深度）與右側視圖之寬度完全相等，圖面通常利用 $45^\circ$ 輔助折射投影線建立投影關係。

4. 圖線線型與使用規定（CNS 3）：

• 粗實線：用於可見輪廓線及可見稜線。
• 細虛線：用於隱藏輪廓線（隱藏稜線、隱蔽孔洞與凹槽壁面）。
• 細鏈線（細單點劃線）：用於迴轉體之對稱中心線與軸線，兩端需延伸超出輪廓外 $3 \text{ mm} \sim 5 \text{ mm}$。

解題方法

本題卷面原題未附帶完整數值之向量圖檔，依題幹明確指示之特徵要素「包括圓柱、凹槽、孔洞及各部位之長度、寬度、高度與直徑標註」，設定標準試題幾何尺寸模型作答：

• 基座（底座長方體）：長度 $L = 80 \text{ mm}$、寬度 $W = 50 \text{ mm}$、高度 $H_1 = 20 \text{ mm}$。
• 底部凹槽：位於基座底面中央，貫穿長度方向，凹槽寬度 $b = 30 \text{ mm}$、深度 $h = 10 \text{ mm}$。
• 頂部圓柱：同軸設置於基座頂面幾何中心，外徑 $D = \varnothing 40 \text{ mm}$、高度 $H_2 = 30 \text{ mm}$（工件總高 $H = H_1 + H_2 = 50 \text{ mm}$）。
• 貫穿圓孔：沿圓柱中心同軸垂直貫通，孔徑 $d = \varnothing 20 \text{ mm}$，貫穿圓柱及底座全厚度（總深 $50 \text{ mm}$）。

1. 前視圖（Front View）繪製步驟

1. 繪製對稱中心線：於預定位置繪製鉛直細鏈線作為工件之基準對稱軸。
2. 繪製基座可見輪廓：以粗實線繪製底座外形，寬度為 $80 \text{ mm}$、高度為 $20 \text{ mm}$。
3. 繪製底部凹槽：凹槽沿左右貫穿，因此在前視圖底部中央以粗實線繪製寬 $30 \text{ mm}$、高 $10 \text{ mm}$ 之向下開口矩形。
4. 繪製頂部圓柱輪廓：在底座頂面中央以粗實線向上繪製寬度 $40 \text{ mm}$、高度 $30 \text{ mm}$ 之矩形（圓柱正投影）。
5. 繪製內孔隱藏輪廓：圓孔直徑 $20 \text{ mm}$ 貫穿全體，於中心線兩側各距 $10 \text{ mm}$ 處，以細虛線繪製由頂面直貫底面之兩條平行垂直線。

2. 俯視圖（Top View）繪製步驟

1. 位置對齊：置於前視圖正上方，嚴格維持「長對正」，中心軸線與前視圖鉛直中心線完全共線。
2. 繪製基座可見輪廓：以粗實線繪製長 $80 \text{ mm}$、寬 $50 \text{ mm}$ 之完整外框矩形。
3. 繪製同心圓與中心線：

• 於中心位置繪製相互垂直之細鏈線（水平與鉛直對稱中心線）。
• 以交點為圓心，用粗實線繪製直徑 $\varnothing 40 \text{ mm}$ 之圓柱頂面圓。
• 同圓心以粗實線繪製直徑 $\varnothing 20 \text{ mm}$ 之貫穿通孔圓（由上方俯視可直接看見孔口，故為粗實線）。

4. 繪製底部凹槽隱藏線：凹槽在基座下方沿左右方向貫穿，寬度為 $30 \text{ mm}$，在俯視圖中不可見，故在水平對稱中心線上下兩側各距 $15 \text{ mm}$ 處，以兩條水平細虛線貫穿基座長度 $80 \text{ mm}$。

3. 右側視圖（Right Side View）繪製步驟

1. 位置對齊：置於前視圖正右方，嚴格維持「高平齊」，寬度尺寸由俯視圖經 $45^\circ$ 折射輔助線精確導入，維持「寬相等」。
2. 繪製基座可見輪廓：以粗實線繪製寬度 $50 \text{ mm}$、高度 $20 \text{ mm}$ 之矩形。
3. 繪製底部凹槽開口：凹槽貫穿端面在此處完整展現，以粗實線在底座底邊中央繪製寬 $30 \text{ mm}$、高 $10 \text{ mm}$ 之矩形凹口。
4. 繪製圓柱投影輪廓：於底座上方中央以粗實線繪製寬 $40 \text{ mm}$、高 $30 \text{ mm}$ 之矩形。
5. 繪製內孔與軸線：

• 中央繪製鉛直細鏈線作為對稱中心線。
• 中心線兩側各距 $10 \text{ mm}$ 處繪製兩條鉛直細虛線，自圓柱頂面貫穿到底部凹槽頂面。

選項分析

本題為國家考試公職專技之「非選擇題（繪圖題）」，無單選或複選選項。評分重點對應下列四項正誤判斷準則：

1. 視圖投影配置判斷：

• 正確：依 CNS 第三角法，俯視圖在前視圖正上方、右側視圖在前視圖正右方。

核心觀念

本題旨在測驗工程圖學之「正投影三視圖」繪製能力與國家標準規範之應用，涉及的核心理論與依據如下：

1. 投影法規範：依據中華民國國家標準「CNS 3 工程製圖標準（CNS 3-1 B1001）」（以命題當年民國 107 年規範為準），公務人員考試在未特別指定投影角之情形下，一律採用「第三角投影法」（Third-Angle Projection Method）。三視圖依規定位置擺放時，俯視圖置於前視圖正上方，右側視圖置於前視圖正右方。
2. 正投影三大原則：

• 「長對正」：俯視圖與前視圖之水平長度及左右基準線完全對齊。
• 「高平齊」：前視圖與右側視圖之垂直高度及水平基準線完全對齊。
• 「寬相等」：俯視圖之深度（前後寬度）與右側視圖之寬度完全相等，滿足投影關係 $W_{\text{俯}} = W_{\text{側}}$。

3. 線條種類與層級規範：

• 可見輪廓線：採用粗實線繪製外觀可視稜邊。
• 隱藏輪廓線：採用中虛線表示內部未顯露之孔壁或階差。
• 中心線：採用細鏈線（長短劃相間）標示圓孔、圓柱及對稱幾何中心，圓心交會處必須為線段實體相交。
• 平滑相切線：半圓弧與直立平面若為相切過渡（無稜邊），切線處嚴禁繪製實線。

解題方法

本題題目文字缺少圖（三）原卷之具體幾何數值標註，依題旨所列之「底座、立板、圓孔、半圓形外輪廓」特徵，以經典標準支架形體設定定案幾何參數作答：底座長度為 $L$、寬度為 $W$、厚度為 $t_1$；直立板垂直立於底座一側，厚度為 $t_2$、寬度為 $W$；頂部為外凸半圓形輪廓，半徑 $R = \frac{W}{2}$；中心設有一貫穿立板之水平通孔，直徑為 $D$；立板底部至頂部半圓弧頂端之總高度為 $H$。

解題與作圖切入步驟如下：

1. 圖面佈局與視圖定位：

• 依第三角法規定，在同一面圖紙上以 $1:1$ 比例規劃三視圖位置：左下方為前視圖（主視圖）、正上方為俯視圖、正右方為右側視圖。
• 設定各視圖間隔均勻（間距約為 $25\text{ mm}$ 至 $30\text{ mm}$），並在右上方繪出與水平呈 $45^\circ$ 之深度投影折射線。

2. 前視圖（主視圖）繪製：

• 選取能最完整顯現幾何特徵之方向（垂直於立板正面）作為投影方向。
• 外框輪廓：繪製下方底座正視矩形（寬度 $W$、厚度 $t_1$）；其上繪製立板正視輪廓，兩側垂直線向上延伸，頂部以半徑 $R = \frac{W}{2}$ 之半圓弧平滑閉合。
• 中心圓孔：以半圓弧同心位置為圓心，繪製直徑 $D$ 之實線圓。
• 中心線繪製：以細鏈線通過圓心繪出水平與垂直交會之十字對稱中心線，延伸出輪廓線外約 $2\sim 3\text{ mm}$。

3. 俯視圖繪製：

• 由上向下正投影，依「長對正」嚴格對齊前視圖各特徵線。
• 外框輪廓：繪製長方形底座實線外框（長度 $L$、寬度 $W$）。
• 立板與相切線：繪出立板厚度為 $t_2$ 之實線矩形。立板頂端半圓柱面由上方俯視為一平面，兩側平滑相切處不劃交線。
• 隱藏特徵與軸線：直徑 $D$ 之貫穿孔由上方俯視為內部空腔，以兩條相距 $D$ 之水平中虛線表示孔壁，中央繪製一條水平細鏈中心線。

4. 右側視圖繪製：

• 由左向右正投影（朝向支架側面），置於前視圖正右方，依「高平齊」對齊高度，並藉由 $45^\circ$ 輔助折射線精準導入俯視圖之深度數值。
• 外觀輪廓：呈現側向「L 型」結構。底座為底面長度 $L$、厚度 $t_1$ 之矩形；立板為厚度 $t_2$、高度達頂點 $H$ 之垂直矩形。
• 頂部半圓投影：頂部半圓弧由側面投影視為單一水平直線頂邊，高度與前視圖圓弧切頂平齊。

核心觀念

本題評量國家考試工程製圖（圖學）之核心投影幾何與製圖規範能力，涵蓋以下關鍵定義與國家標準：

1. 正投影幾何配置（第三角法，Third-Angle Projection）：

• 依中華民國國家標準 CNS 3-1《工程製圖（投影法）》規範，正投影採第三角法。
• 三視圖方位關係為「上視圖（Top View）位於前視圖（Front View）正上方」，各視圖間必須維持正投影幾何對正關係：前視圖與上視圖「長度對正（寬度對齊）」、前視圖與側視圖「高度平齊」、上視圖與側視圖「深度相等」。

2. 單一輔助視圖（Primary Auxiliary View）與斜面實形（True Shape）：

• 當工件之斜面為垂直於正立投影面（Frontal Plane）但對水平面傾斜之「正垂面（Frontal Perpendicular Plane / Edge plane in Front View）」時，該斜面在前視圖中積聚成一條傾斜直線（邊緣視圖，Edge View），傾角為 $45^\circ$。
• 斜面在水平投影面（上視圖）中為縮影投影（變形），其上幾何特徵（如圓孔）無法呈現真實大小與形狀。
• 依 CNS 投影幾何原理，求取斜面實形之方法為設置平行於該斜面之輔助投影面 $A$。投射線自前視圖沿「垂直於該斜面直線」之方向引出；特徵之深度（寬度）維度則自上視圖之基準面（Datum Line / Reference Plane）以 $1:1$ 等距移轉至輔助視圖，即可求得該斜面之真實形狀與大小（True Size and Shape）。

3. 尺寸標註規範（Dimensioning Standards）：

• 依 CNS 3-2《工程製圖（尺寸標註法）》，尺寸須依「實形標註原則」標註於最能反映該幾何特徵實形之視圖上。斜面上之形狀特徵（孔徑 $\varnothing20$）及定位尺寸應優先標註於輔助視圖上；底板外形大小與位置尺寸（$160\ \mathrm{mm}$、$120\ \mathrm{mm}$、$100\ \mathrm{mm}$、$60\ \mathrm{mm}$、$40\ \mathrm{mm}$、$37\ \mathrm{mm}$、$20\ \mathrm{mm}$ 及角度 $45^\circ$）則清楚標註於主要正投影視圖。

解題方法

本題解題切入點為「先建立主視圖投影幾何架構，再依邊緣視圖引出局部輔助視圖，最後進行規範化尺寸標註」。

一、 幾何形體拆解與投影幾何推導

1. 底板基座（Base Plate）：

• 總長度為 $160\ \mathrm{mm}$，總寬度（深度）為 $120\ \mathrm{mm}$，板厚為 $20\ \mathrm{mm}$。
• 具有階梯/轉折輪廓：水平長度方向分段尺寸為 $100\ \mathrm{mm}$ 與 $60\ \mathrm{mm}$，滿足： $100\ \mathrm{mm} + 60\ \mathrm{mm} = 160\ \mathrm{mm}$ 前後深度方向亦依 $60\ \mathrm{mm}$ 及 $120\ \mathrm{mm}$ 界定各部位之臺階邊界。

2. 立部與 $45^\circ$ 斜面構造：

• 立部垂直結構配合高度尺寸 $20\ \mathrm{mm}$、立壁特徵高 $40\ \mathrm{mm}$ 定位。
• 斜面與水平底面呈 $45^\circ$ 傾角。在前視圖中，斜面呈現一條傾斜 $45^\circ$ 的直線段（邊視圖）。
• 若垂直高度差為 $\Delta h = 40\ \mathrm{mm}$，則斜面在前視圖中之投影長度（實長 $L$）為： $L = \frac{\Delta h}{\sin 45^\circ} = \frac{40}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 40\sqrt{2} \approx 56.57\ \mathrm{mm}$ 其在上視圖中之水平投影縮影長度為： $\Delta x = L \cdot \cos 45^\circ = 40\ \mathrm{mm}$

3. $\varnothing20$ 孔之特徵投影：

• 貫穿孔之直徑為 $20\ \mathrm{mm}$，中心定位尺寸為 $37\ \mathrm{mm}$。
• 位於斜面上的圓孔在前視圖中積聚為與斜面垂直之隱藏虛線（線距 $20\ \mathrm{mm}$）；在上視圖中因投影縮影而呈現短軸為 $20 \times \cos 45^\circ \approx 14.14\ \mathrm{mm}$、長軸為 $20\ \mathrm{mm}$ 之橢圓；在輔助視圖中則完全恢復為直徑 $20\ \mathrm{mm}$ 之真實圓形。

二、 逐步繪圖程序（比例 $1:1$ 繪於答案紙同一面）

1. 圖面規劃與圖心配置：

• 考量 $1:1$ 製圖尺寸（底板達 $160\ \mathrm{mm} \times 120\ \mathrm{mm}$），將答案紙上方保留予上視圖，下方配置前視圖。
• 前視圖之斜面朝向側上方，於該側外方預留足夠繪製輔助視圖之圖面空間，確保視圖不超出圖紙邊界。

2. 繪製前視圖（Front View）：

• 繪製底板水平底線（長 $160\ \mathrm{mm}$），以垂直向上量取 $20\ \mathrm{mm}$ 繪出底板厚度輪廓。
• 依 $100\ \mathrm{mm}$ 與 $60\ \mathrm{mm}$ 分界點繪製立壁階梯形狀。
• 依高程 $40\ \mathrm{mm}$ 及 $45^\circ$ 導角繪出斜面之積聚邊線（邊緣視圖）。
• 以細虛線標註內部貫穿孔壁（孔徑 $20\ \mathrm{mm}$），以細鏈線標註其對稱中心線。

3. 繪製上視圖（Top View）：

• 自前視圖引出垂直投射線，維持前視圖與上視圖左右長度完全對正。
• 繪製深度尺寸輪廓（總深 $120\ \mathrm{mm}$、階梯深 $60\ \mathrm{mm}$）。
• 繪製斜面之上視圖投影矩形區（寬度維持實寬，長度為水平投影縮影長度）。
• 若圓孔位於斜面，繪出長軸 $20\ \mathrm{mm}$、短軸 $14.14\ \mathrm{mm}$ 之投影橢圓（以四心近似法或座標點法求出）。