110 台北自來水招考新進職員(工) 土木工程_一級工程員 北水甄試 一級工程員-土木工程(土木工程)專1 考古題詳解

核心觀念

本題考查：

1. 滾輪支承反力方向的判斷。
2. 平面剛體的靜力平衡條件： $\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0$
3. 剛接彎梁在沒有內鉸鏈或外加集中力矩時，梁內彎矩具有連續性。
4. 結構穩定性的判斷。

依【圖1】：

• 點 $a$ 為靠垂直牆面的滾輪支承，反力為水平方向。
• 點 $b$、$c$ 為置於水平面上的滾輪支承，反力為鉛直方向。
• 點 $b$ 為直角彎梁的剛接轉角，並非內鉸鏈。

解題方法

設外力 $P$ 向右，點 $a$ 的水平反力為 $R_a$，點 $b$、$c$ 的鉛直反力分別為 $R_b$、$R_c$。

水平方向平衡

因此：

所以點 $a$ 的支承反力大小為 $P$，不是 $2P$。

取點 $b$ 力矩

圖中 $P$ 的作用線通過點 $b$，對 $b$ 點力矩為零。

點 $a$ 與 $b$ 的垂直距離為 $L/2$，點 $c$ 與 $b$ 的水平距離為 $L$，故：

解得：

負號表示點 $c$ 的實際反力方向向下，反力大小為：

再由鉛直方向平衡：

核心觀念

本題考查平面力系的合力位置。將兩個垂直力與力矩 $M_o$ 合併後，須同時滿足：

1. 合力大小等於所有垂直力的代數和。
2. 合力對原點的力矩，等於原各力矩與外加力矩的代數和。

圖中 $P_1$、$P_2$ 均向下，$M_o$ 為順時針力矩。

解題方法

取向下為合力正方向，順時針力矩取負號。

合力為

以原點為力矩中心，各力及力矩造成的總力矩為

合力作用於 $c$ 點時，其力矩為 $Rc$，因此

核心觀念

本題考查「剛性蓋板」與「不同軸向剛度柱」的受力分配。

剛性蓋板不傾斜，表示兩根柱子的軸向變形量相同：

柱子的軸向變形為：

由於兩柱高度及長度相同，左柱軸向剛度為 $EA$，右柱軸向剛度為 $3EA$，因此柱頂承受力應按照軸向剛度比例分配。

解題方法

設左柱承受力為 $R_a$，右柱承受力為 $R_b$，則：

約去共同項後：

又由垂直力平衡：

因此：

對左柱底部取力矩，外力 $P$ 的作用位置距左柱為 $c$：

代入 $R_b=\frac{3P}{4}$：

約去 $P$：

核心觀念

本題考查水平面上的靜摩擦力與臨界滑動條件。

物體重力為 $W=50\ \mathrm{kgw}$，拉力 $P$ 與水平夾角 $30^\circ$，因此拉力具有：

• 水平分力：$P\cos30^\circ$
• 向上分力：$P\sin30^\circ$

向上分力會減少地面正向力，故：

物體即將開始滑動時，靜摩擦力達最大值：

其中 $\mu_s=0.2$。

解題方法

水平方向即將滑動時，拉力水平分力等於最大靜摩擦力：

代入正向力：

整理得：

核心觀念

本題考查均質 T 形斷面的水平中性軸位置。梁受到純彎矩時，中性軸通過斷面的形心，因此只要求出 T 形斷面的形心位置即可。

圖中尺寸為：

• 翼板：寬 $200\ \text{mm}$、厚 $20\ \text{mm}$
• 腹板：寬 $30\ \text{mm}$、高 $180\ \text{mm}$
• $c$：由斷面底部量至水平中性軸的距離

解題方法

將 T 形斷面分成翼板與腹板兩個矩形，利用形心公式：

以斷面底部為基準。

腹板面積：

腹板形心距底部：

翼板面積：

翼板形心距底部：

因此中性軸位置為：

核心觀念

本題考查簡支梁的：

• 支承反力平衡
• 剪力圖與彎矩圖
• 集中力造成剪力跳躍
• 集中力矩造成彎矩圖的突跳

圖 6 梁長為 $4\ \mathrm{m}$，中央集中力 $P=1.0\ \mathrm{kN}$，右端施加順時針端點彎矩 $M=2.0\ \mathrm{kN\cdot m}$。

解題方法

取點 $a$ 為力矩中心，逆時針為正。

設支承反力為 $R_a$、$R_b$，則垂直力平衡為：

對點 $a$ 取力矩：

因此：

代回垂直力平衡式：

在集中力左側，梁內剪力為：

因此該區段彎矩斜率為零，且左端簡支點彎矩為零，所以：

在集中力右側，剪力因集中力下降 $1.0\ \mathrm{kN}$：

所以集中力右側的剪力不是 $0.5\ \mathrm{kN}$。

選項分析

(A) 最大梁內彎矩發生於集中力所在位置

核心觀念

本題考查懸臂梁的最大內力。對於受垂直荷載的懸臂梁：

• 最大剪力發生在固定端。
• 最大彎矩也發生在固定端。
• 均布荷載可等效為作用於荷載區段中點的集中力。

圖 7 中，梁的固定端為 $D$，因此最大剪力與彎矩均應以 $D$ 截面計算。

解題方法

梁上荷載如下：

• $AB$ 段長度為 $4\ \mathrm{m}$，均布荷載為 $100\ \mathrm{N/m}$
• $C$ 點集中荷載為 $200\ \mathrm{N}$
• $BC=2\ \mathrm{m}$，$CD=2\ \mathrm{m}$

因此：

1. 最大剪力

均布荷載的合力為：

固定端 $D$ 的最大剪力為所有垂直荷載總和：

2. 最大彎矩

均布荷載合力作用於 $AB$ 中點，距離 $A$ 為 $2\ \mathrm{m}$，故距離固定端 $D$ 為：

其對 $D$ 的彎矩為：

$C$ 點距離 $D$ 為 $2\ \mathrm{m}$，其彎矩為：

所以固定端最大彎矩為：

核心觀念

本題考查多層板以螺栓連接時，利用各板受力平衡求出螺栓所傳遞的最大剪力，再由平均剪應力公式計算：

其中單一螺栓的截面積為：

兩個螺栓位置對稱，因此所承受的剪力平均分配。

解題方法

依圖中五層板由上而下的受力順序，可視為：

其中中央的 $6P$ 與其餘各力方向相反，且整體滿足平衡：

沿板厚方向逐層作截面平衡，截面所需由螺栓傳遞的合力依序為：

因此螺栓所承受的最大總剪力為：

由於有兩個螺栓平均分擔：

故單一螺栓的最大平均剪應力為：

板厚 $t$ 對本題所求的螺栓平均剪應力不影響，主要會影響板材承壓或撕裂等其他破壞模式。

核心觀念

本題考查軸向受力構件的兩項設計限制：

1. 強度限制：鋁棒內應力不得超過容許應力 $\sigma=\frac{P}{A}\leq \sigma_{\mathrm{allow}}$

2. 勁度限制：鋁棒伸長量不得超過容許伸長量 $\delta=\frac{PL}{AE}\leq \delta_{\mathrm{allow}}$

因此，必須分別求出強度所允許的最大負荷與勁度所允許的最大負荷，最後取其中較小者作為控制值。

解題方法

已知：

• 長度：$L=4\ \mathrm{m}=400\ \mathrm{cm}$
• 截面積： $A=10\ \mathrm{cm}\times10\ \mathrm{cm}=100\ \mathrm{cm^2}$
• 容許應力： $\sigma_{\mathrm{allow}}=6{,}000\ \mathrm{kg/cm^2}$
• 容許伸長量： $\delta_{\mathrm{allow}}=0.2\ \mathrm{cm}$
• 彈性模數： $E=10\times10^6\ \mathrm{kg/cm^2}$

一、依強度要求計算

由

$\sigma=\frac{P}{A}$

得

$P_{\mathrm{強度}}=\sigma_{\mathrm{allow}}A$

代入數值：

因為 $1\ \mathrm{t}=1{,}000\ \mathrm{kg}$，所以

$P_{\mathrm{強度}}=600\ \mathrm{t}$

二、依勁度要求計算

軸向均勻受力構件的伸長量為

$\delta=\frac{PL}{AE}$

整理求負荷：

$P_{\mathrm{勁度}}=\frac{\delta_{\mathrm{allow}}AE}{L}$

代入數值：

核心觀念

本題考查土壤的阿特堡界限（Atterberg limits）及塑性指數（Plasticity Index, $PI$）之定義。

塑性指數表示土壤由塑性狀態轉為液性狀態時所涵蓋的含水量範圍，計算公式為：

其中：

• $LL$：液性限度（Liquid Limit）
• $PL$：塑性限度（Plastic Limit）
• $SL$：縮性限度（Shrinkage Limit）

縮性限度主要用於判斷土壤由半固體狀態轉為固體狀態的界限，不列入塑性指數的計算。

解題方法

題目給定：

依塑性指數公式：

代入數值：

因此，該土壤的塑性指數為 $34\%$。

選項分析

核心觀念

本題考查「統一土壤分類法」（Unified Soil Classification System, USCS）中，粗粒土之分類符號。

USCS 主要依土壤的主要粒徑及細粒成分性質分類：

• 砂土：以 $S$ 表示
• 礫土：以 $G$ 表示
• 粉土：以 $M$ 表示
• 黏土：以 $C$ 表示

其中：

• 第一個字母代表主要土壤類別。
• 第二個字母代表級配或細粒成分的性質。

「粉土質砂土」表示土壤以砂粒為主，且含有粉土性細粒，因此分類符號為：

解題方法

判斷本題只要抓住兩個關鍵字：

1. 「砂土」是主要土壤，第一碼為 $S$。
2. 「粉土質」表示含有粉土性細粒，第二碼為 $M$。

因此：

若砂土中含有黏土性細粒，則會分類為 $SC$；若是礫土為主，則第一碼應為 $G$，不能選用 $S$ 開頭的符號。

選項分析

(A) GW

核心觀念

本題考查樁基礎的適用情況。樁基礎通常用於下列目的：

1. 將荷載傳遞至較深且較穩定的地層。
2. 利用樁側摩阻力及樁端承載力承受垂直荷載。
3. 抵抗拉拔力、水平力或傾覆力矩。
4. 避免表層軟弱土、沖刷土或膨脹土對基礎造成不利影響。

樁基礎之軸向承載力可概念性表示為：

其中，$Q_b$ 為樁端承載力，$Q_s$ 為樁側摩阻力。若樁承受拉拔力，主要依靠樁自重、樁側摩阻力及必要時的樁端抗拔作用：

因此，是否採用樁基礎，須視地層條件、荷載型態、地下水、沖刷及施工性等因素判斷。

解題方法

逐一判斷各選項是否屬於樁基礎的典型適用情況：

• 若樁基礎能解決特殊荷載或不良表層地盤問題，屬於合理使用。
• 若表層地盤本身具有良好承載力，且不需要深層傳遞或特殊抗力，通常沒有採用樁基礎的必要。
• 題目問的是「最不可能使用」，重點在於比較各選項的適用程度，而非判斷某種地層絕對不能使用樁基礎。

選項分析

(A) 基礎承受拉拔力

樁基礎可利用樁側摩阻力、樁自重及樁群作用抵抗拉拔力，常見於：

• 高架橋或塔柱的傾覆作用；
• 擋土結構及地下結構的上浮；
• 風力或地震作用所造成的上拔力；
• 錨樁及抗拔樁。

因此，承受拉拔力是樁基礎的重要適用情況。本選項正確，並非答案。

(B) 工址地盤表層土壤具膨脹性質

膨脹土受含水量變化影響，會產生膨脹與收縮，容易造成淺基礎隆起、沉陷及不均勻變形。

核心觀念

本題考查黏土層在單向度壓密下的沉陷量計算。壓密過程中，土粒本身體積可視為不變，主要是孔隙水排出，使孔隙體積減少，因而造成土層厚度降低。

已知：

• 初始土層厚度：$H_0=2\ \mathrm{m}$
• 初始孔隙比：$e_0=1.120$
• 壓密後孔隙比：$e_1=0.961$

單向度壓密沉陷量公式為：

其中分母採用初始孔隙比所對應的初始土層狀態。

解題方法

孔隙比定義為：

由於壓密過程中土粒體積 $V_s$ 不變，土層厚度變化與孔隙比變化的關係為：

代入題目數據：

換算為公分：

因此地表沉陷量為 $15\ \mathrm{cm}$。

選項分析

核心觀念

本題考查細粒土壤阿太堡限度（Atterberg limits）中的塑性限度（Plastic Limit, PL）。

塑性限度定義為：細粒土壤在半固體狀態與塑性狀態之間的含水量。試驗時，將土樣在玻璃板上反覆搓成土條，當土條直徑達到標準尺寸並開始恰好斷裂、碎裂時，此時土樣的含水量即為塑性限度。

標準土條直徑為：

因此，塑性限度試驗的判定條件為：

土條搓至直徑約 $3.2\ \mathrm{mm}$ 時，恰好產生斷裂，即以此時含水量作為塑性限度。

解題方法

本題不需計算，只要掌握塑性限度試驗的標準判定尺寸：

1. 取適量細粒土壤。
2. 在玻璃板上以手反覆搓成土條。
3. 土條逐漸變細，含水量也因搓動而降低。
4. 當土條直徑達 $3.2\ \mathrm{mm}$，且恰好斷裂時，測定此時土樣含水量。
5. 該含水量即為塑性限度 $PL$。

選項分析

• (A) $3.2\ \mathrm{mm}$：正確

核心觀念

本題考查砂性土壤之粒徑分布與「優良級配（well graded）」判定。

由粒徑分布曲線可取得：

• $D_{10}$：有效粒徑，通過百分比為 $10\%$ 時的粒徑。
• $D_{30}$：通過百分比為 $30\%$ 時的粒徑。
• $D_{60}$：通過百分比為 $60\%$ 時的粒徑。

砂土之級配係數為：

其中 $C_u$ 為均勻係數；曲率係數為：

依土壤分類判定，砂土屬於優良級配須同時符合：

且

兩項缺一不可。

解題方法

逐一計算各選項的 $C_u$ 與 $C_c$，再與砂土優良級配標準比較。

（A）

符合 $C_u\geq 6$。

因為 $C_c<1$，不符合曲率係數要求，故不是優良級配。

（B）

因為 $C_u<6$，已不符合優良級配條件。

其曲率係數為：

雖然主要判定條件已不符合，且 $C_c<1$，故不是優良級配。

（C）

核心觀念

標準貫入試驗（Standard Penetration Test, SPT）通常將取樣器連續貫入土中共 $45\ \mathrm{cm}$，分為三段，每段 $15\ \mathrm{cm}$：

• 第 1 段 $15\ \mathrm{cm}$：作為座入段，打擊次數不列入標準貫入數。
• 第 2、3 段合計 $30\ \mathrm{cm}$：兩段打擊次數總和即為標準貫入數 $N$ 值。

因此，標準貫入數定義為：

解題方法

題目給定三段貫入 $15\ \mathrm{cm}$ 的打擊次數依序為 $5$ 次、$8$ 次及 $7$ 次。

第 1 段 $15\ \mathrm{cm}$ 的 $5$ 次為座入段，不計入 $N$ 值；應計算第 2、3 段：

核心觀念

本題考查土壤中有效應力原理：

其中：

• $\sigma'_v$：有效垂直應力
• $\sigma_v$：總垂直應力
• $u$：孔隙水壓

抽水後，砂土層由飽和狀態變為乾燥狀態，使總垂直應力降低；同時地下水位下降，使黏土層內的孔隙水壓降低。有效應力的變化必須同時考慮這兩項影響。

解題方法

1. 抽水前的有效垂直應力

地表至 $15\ \mathrm{m}$ 處包含：

• 飽和砂土：$10\ \mathrm{m}$
• 飽和黏土：$5\ \mathrm{m}$

抽水前總垂直應力為：

原地下水位位於地表，因此 $15\ \mathrm{m}$ 處的孔隙水壓為：

所以抽水前有效垂直應力：

2. 抽水後的有效垂直應力

抽水後地下水位下降至砂土層與黏土層交界，即地表下 $10\ \mathrm{m}$ 處。

砂土層呈乾燥狀態，因此抽水後總垂直應力為：

地表下 $15\ \mathrm{m}$ 處位於地下水位下方 $5\ \mathrm{m}$，故孔隙水壓為：

抽水後有效垂直應力：

3. 有效垂直應力變化

核心觀念

本題考查土壤含水量 $\omega$ 的定義：

其中：

• $W_w$：水的重量
• $W_s$：烘乾後土粒的重量
• 天然狀態總重量：$W=W_s+W_w$

因此，水的重量可由下式求得：

題目中的總體積與比重 $G_s$，對於求含水量並非必要資料。

解題方法

天然狀態土壤總重量為：

烘箱乾燥後的土粒重量為：

水的重量為：

代入含水量公式：

約去相同單位與倍率：

取至選項所示精度：

核心觀念

本題考查閉合水準測量的高程計算與閉合差改正。

水準測量中：

閉合水準網的代數高程差總和應為 $0$。若有閉合差，通常依測站數或距離比例分配改正數。本題各段資料按相同比例分配，故採「按測站數平均改正」。

解題方法

由表中觀測順序，閉合路線為：

各測站後視總和：

各測站前視總和：

因此閉合差為：

共有 $5$ 個水準測段，平均每段改正數為：

先計算未改正的 $2$ 號點高程：

核心觀念

本題考查測量學中的「方位角與坐標增量」關係。

測量方位角以北方向為 $0^\circ$，順時針增加至 $360^\circ$。已知線段 $AB$ 的距離與方位角，可利用下列公式求出東坐標增量與北坐標增量：

其中：

• $\Delta E_{AB}$：東坐標增量
• $\Delta N_{AB}$：北坐標增量
• $AB$：線段距離
• $\alpha_{AB}$：線段 $AB$ 的方位角

因此，$B$ 點坐標為：

解題方法

已知：

且：

先求東坐標增量：

所以：

再求北坐標增量：

所以：

核心觀念

本題考查 GNSS 靜態同步觀測中的「獨立基線」概念。

若有 $n$ 部 GNSS 接收儀分別架設於 $n$ 個測站：

• 任意兩測站皆可組成一條基線，稱為「全部基線」。
• 能夠彼此獨立、用來建立整個測站網幾何關係的基線，稱為「獨立基線」。
• 建立連通測站網所需的最少基線數為 $n-1$。

解題方法

五部接收儀同步觀測時，若選定其中一部作為基準站，其餘四部測站各與基準站組成一條基線，便可連結全部五個測站。

因此獨立基線數為：

也可從網路幾何關係理解：每增加一個測站，只需增加一條與既有測站相連的基線，即可使測站網保持連通；五個測站需要四條獨立基線。

全部基線與獨立基線的區別

五個測站任意兩兩組合，可形成的全部基線數為：

但這 $10$ 條基線中，有許多基線可由其他基線組合而得，彼此並非全部獨立。例如測站 $A$、$B$、$C$ 間，若已知 $\overrightarrow{AB}$ 與 $\overrightarrow{AC}$，則 $\overrightarrow{BC}$ 可由下式求得：

核心觀念

本題考查：

1. 方位角的定義：由正北方向順時針量測，範圍為 $0^\circ$ 至 $360^\circ$。
2. 反方位角： $\text{方位角}_{BA}=\text{方位角}_{AB}+180^\circ$
3. 依圖 22，於點 $B$ 處由 $BA$ 順時針轉至 $BC$，其夾角為 $\angle B$。

解題方法

已知：

$\text{方位角}_{AB}=80^\circ10'50''$

先求反方位角 $BA$：

依圖示方向：

代入 $\angle B=95^\circ40'10''$：

核心觀念

本題考查測量學中的「方向角」與「方位角」判讀。

象限方位角以南北方向為基準，表示方式如下：

• $N30^\circ E$：由北方向向東偏轉 $30^\circ$。
• $S30^\circ E$：由南方向向東偏轉 $30^\circ$。

北、南兩方向相差 $180^\circ$，因此需先將兩導線方向換算至同一基準，再求其夾角。

解題方法

以正北方向為起算基準，順時針量測方位角：

1. 導線 $OA$ 的方向為 $N30^\circ E$，其方位角為

2. 導線 $OB$ 的方向為 $S30^\circ E$。由正北順時針量至正南為 $180^\circ$，再由正南向東偏轉 $30^\circ$，故

3. 兩導線的夾角為方位角之差：

因此，

選項分析

• (A) $60^\circ$：錯誤。 $60^\circ$ 是將兩個「偏角數值」直接相加所得，但忽略了 $OA$ 與 $OB$ 分別位於不同象限，且北、南方向相差 $180^\circ$。