110 臺灣菸酒招考評價職 電子電機 電工機械 考古題詳解

核心觀念

本題考查單相變壓器的電壓調整率。滿載、功率因數為滯後時，常用近似公式為

$$\text{電壓調整率} \approx R\% \cos\phi+X\%\sin\phi$$

其中：

• $R\%$：百分比電阻壓降
• $X\%$：百分比電抗壓降
• $\cos\phi$：負載功率因數
• $\sin\phi$：功率因數角的正弦值

滯後功率因數代表負載電流落後電壓，電阻壓降與電抗壓降在電壓調整率中相加。

解題方法

已知：

$$R\%=4\%$$ $$X\%=5\%$$ $$\cos\phi=0.8$$

由功率因數三角形：

$$\sin\phi=\sqrt{1-\cos^2\phi} =\sqrt{1-0.8^2} =\sqrt{0.36} =0.6$$

套用滯後功率因數的電壓調整率公式：

$$\text{電壓調整率} \approx 4\%(0.8)+5\%(0.6)$$ $$=3.2\%+3.0\% =6.2\%$$

因此電壓調整率為

$$\boxed{6.2\%}$$

補充而言，若採用精確相量計算，結果約為 $6.21\%$，四捨五入後仍為 $6.2\%$。

選項分析

核心觀念

本題考查三相變壓器之 Y-$\Delta$ 接線與線電壓、相電壓的關係。

每台單相理想變壓器匝數比為

$$\frac{N_1}{N_2}=20:1$$

理想變壓器的相電壓比等於匝數比：

$$\frac{V_{1\phi}}{V_{2\phi}}=\frac{N_1}{N_2}=20$$

Y 接線一次側：

$$V_{1L}=\sqrt{3}V_{1\phi}$$

$\Delta$ 接線二次側：

$$V_{2L}=V_{2\phi}$$

其中：

• $V_L$：線電壓
• $V_\phi$：相電壓

解題方法

一次側採 Y 接線，已知一次側線電壓為

$$V_{1L}=3300\text{ V}$$

因此一次側每台變壓器所承受的相電壓為

$$V_{1\phi}=\frac{V_{1L}}{\sqrt{3}} =\frac{3300}{\sqrt{3}} \text{ V}$$

依照匝數比 $20:1$，二次側相電壓為

$$V_{2\phi}=\frac{V_{1\phi}}{20} =\frac{3300}{20\sqrt{3}} \text{ V}$$

二次側採 $\Delta$ 接線，因此二次側線電壓等於二次側相電壓：

$$V_{2L}=V_{2\phi} =\frac{3300}{20\sqrt{3}} \approx 95.26\text{ V}$$

所以二次側線電壓為

$$\boxed{95.26\text{ V}}$$

核心觀念

本題考查三相感應電動機的：

1. 同步轉速
2. 轉差率與實際轉速
3. 額定輸出轉矩與機械輸出功率的關係

同步轉速為

$$N_s=\frac{120f}{P}$$

其中：

• $f=60\text{ Hz}$
• $P=4$ 極

轉差率定義為

$$s=\frac{N_s-N_r}{N_s}$$

因此實際轉速為

$$N_r=N_s(1-s)$$

輸出轉矩公式為

$$T=\frac{P_{\text{out}}}{\omega_r}$$

且

$$\omega_r=\frac{2\pi N_r}{60}$$

注意：題目問的是「額定輸出轉矩」，因此應使用負載端機械輸出功率與轉子實際轉速，不能直接使用同步轉速。

解題方法

1. 求同步轉速

$$N_s=\frac{120(60)}{4}=1800\text{ rpm}$$

2. 求滿載實際轉速

滿載轉差率為 $3\%$：

$$s=0.03$$

因此

$$N_r=N_s(1-s)$$ $$N_r=1800(1-0.03)=1746\text{ rpm}$$

3. 將馬力換算為輸出功率

$$1\text{ Hp}=746\text{ W}$$

所以

$$P_{\text{out}}=2(746)=1492\text{ W}$$

4. 求轉子機械角速度

$$\omega_r=\frac{2\pi N_r}{60} =\frac{2\pi(1746)}{60} \approx182.84\text{ rad/s}$$

5. 求額定輸出轉矩

$$T_{\text{out}}=\frac{P_{\text{out}}}{\omega_r} =\frac{1492}{182.84} \approx8.16\text{ N}\cdot\text{m}$$

因此正確答案為

$$\boxed{8.16\text{ N}\cdot\text{m}}$$

選項分析

核心觀念

本題考查他激式直流發電機的電樞電壓方程式。

他激式直流發電機的磁場由外部獨立電源供電，激磁電壓與磁場電阻用於求磁場電流：

$$I_f=\frac{V_f}{R_f} =\frac{120}{50} =2.4\text{ A}$$

但本題已直接給出負載端電壓與電樞電流，求電樞感應電勢時，主要使用電樞迴路電壓方程式。發電機不考慮電刷壓降時：

$$E_a=V_t+I_aR_a$$

其中：

• $E_a$：電樞感應電勢
• $V_t$：負載端電壓
• $I_a$：電樞電流
• $R_a$：電樞電阻

解題方法

發電機供電給負載時，電樞感應電勢必須克服電樞電阻壓降，因此：

$$E_a=V_t+I_aR_a$$

代入題目數據：

$$E_a=180+(20)(0.2)$$ $$E_a=180+4=184\text{ V}$$

因此電樞感應電勢為：

$$\boxed{184\text{ V}}$$

選項分析

• (A) $184\text{ V}$：正確。

電樞電阻壓降為：

$I_aR_a=(20)(0.2)=4\text{ V}$

故：

$E_a=180+4=184\text{ V}$

核心觀念

本題考查直流發電機的損失分類，以及變動損隨負載電流平方變化的關係。

• 固定損：與負載大小無關，在負載變化時視為不變，例如鐵損、機械損等。本題固定損為 $1200\text{ W}$。
• 變動損：主要指電樞繞組的銅損，公式為

$$P_{\text{cu}}=I_a^2R_a$$

其中 $I_a$ 為電樞電流，$R_a$ 為電樞電阻。因此在電阻不變時，變動損與負載電流的平方成正比。

解題方法

滿載時：

$$P_f=1200\text{ W}$$ $$P_{v,\text{滿載}}=1800\text{ W}$$

半載時，電樞電流為滿載電流的一半：

$$I_{a,\text{半載}}=\frac{1}{2}I_{a,\text{滿載}}$$

由於變動損與電流平方成正比：

$$P_{v,\text{半載}} = P_{v,\text{滿載}} \left(\frac{I_{a,\text{半載}}}{I_{a,\text{滿載}}}\right)^2$$

代入數值：

$$P_{v,\text{半載}} = 1800\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1800\times\frac{1}{4} = 450\text{ W}$$

所以半載時的總損失為：

核心觀念

本題考查理想變壓器的基本關係：

1. 負載端歐姆定律： $V_L=I_LR_L$

2. 理想變壓器的視在功率守恆： $V_1I_1=V_2I_2$

其中：

• $V_1$：電源側電壓
• $I_1$：電源側電流
• $V_2$：負載側電壓
• $I_2$：負載側電流

解題方法

先由負載電阻與負載電流求負載電壓：

$V_L=I_LR_L=4\times 50=200\text{ V}$

理想變壓器輸入與輸出的功率相等，因此：

$V_SI_S=V_LI_L$

代入已知數值：

$V_S\times 2=200\times 4$

$V_S=\frac{800}{2}=400\text{ V}$

所以電源電壓為：

$\boxed{400\text{ V}}$

容量資料的說明

題目另給變壓器容量為 $600\text{ VA}$。若將容量直接與電源電流相乘，會得到：

$V_S=\frac{600}{2}=300\text{ V}$

但負載實際需求的視在功率為：

$S_L=V_LI_L=200\times4=800\text{ VA}$

這表示負載所需功率已超過 $600\text{ VA}$ 的額定容量，資料彼此不一致。變壓器容量代表額定上限，不是理想變壓器在任何負載下必然輸出的功率；依據題目所給的實測電流與負載條件，應以理想變壓器的功率守恆關係求解，並判定變壓器處於超過額定容量的狀態。

選項分析

核心觀念

感應電動機的轉差率定義為

$$s=\frac{n_s-n_r}{n_s}$$

其中：

• $n_s$：同步轉速
• $n_r$：轉子轉速

當轉子轉速超過同步轉速時，$n_r>n_s$，因此

$$s<0$$

此時感應電動機的運轉狀態由「電動機狀態」轉為「發電機狀態」。轉子受到外力帶動而超過同步轉速，電磁轉矩方向與轉子旋轉方向相反，形成反轉矩，使機械能回送至電源，達到制動效果。

這種制動方式稱為再生制動（Regenerative Braking）。

解題方法

判斷感應電動機制動方式，先觀察轉子轉速與同步轉速的關係：

$$n_r>n_s \Rightarrow s<0$$

負轉差代表轉子轉速超過旋轉磁場速度，感應電動機進入發電狀態。此時電磁轉矩為負值，方向與轉速相反，產生制動作用。

因此本題答案為再生制動。

選項分析

• (A) 再生制動：正確。 轉子轉速超過同步轉速時，轉差率為負，感應電動機轉為感應發電機運轉，電能回送電源並產生反轉矩，此即再生制動。

核心觀念

本題考查三相感應電動機定子繞組採 $\Delta$ 接線時，從任兩條電源線量測所得的「線端等效電阻」與「每相繞組電阻」之間的關係。

已知每相繞組的直流電阻皆為 $R$。在直流測量穩態下，電感只影響通電瞬間，穩態電阻可直接依串、並聯電路計算。

解題方法

$\Delta$ 接線如下：

• 直接連接於兩條測試電源線之間的繞組：電阻為 $R$
• 經由第三條線繞行的另外兩相繞組：兩個電阻串聯，電阻為 $2R$

因此，從任兩條電源線看入的等效電阻為 $R$ 與 $2R$ 的並聯：

$$R_{\text{eq}} =R\parallel 2R =\frac{R(2R)}{R+2R} =\frac{2R}{3}$$

外加直流電壓 $V=12\text{ V}$，輸入電流 $I=2\text{ A}$，由歐姆定律：

$$R_{\text{eq}}=\frac{V}{I} =\frac{12}{2} =6\ \Omega$$

所以：

$$\frac{2R}{3}=6$$ $$2R=18$$ $$R=9\ \Omega$$

故每相繞組的直流電阻為 $9\ \Omega$。

選項分析

核心觀念

三相同步發電機的阻尼繞組（damper winding）通常設置於轉子磁極靴表面，由許多導電條組成，並以端環短接，結構類似鼠籠式感應電動機。

同步發電機受到負載突然變化、系統擾動或並聯運轉條件變動時，轉子可能在同步轉速附近來回振盪，使功角 $\delta$ 週期性變化，此現象稱為「追逐現象」（hunting）。

當轉子相對於旋轉磁場產生瞬時相對運動時，阻尼條中會感應電流，形成阻尼轉矩，抑制轉子的振盪，使轉子較快恢復穩定同步運轉。

解題方法

判斷阻尼繞組的主要功用，應直接聯想到「抑制同步機轉子振盪」：

$$\text{負載變動} \rightarrow \text{功角變化} \rightarrow \text{轉子振盪} \rightarrow \text{阻尼繞組感應電流} \rightarrow \text{產生阻尼轉矩}$$

因此，阻尼繞組最具代表性的功能是防止同步機的轉軸追逐現象。

同步發電機的電磁功率可概念性表示為：

$$P_e \approx \frac{EV}{X_s}\sin\delta$$

核心觀念

同步發電機每相同步阻抗由兩部分組成：

1. 每相同步電阻 $R_a$
2. 每相同步電抗 $X_s$

同步電抗包括漏磁電抗與電樞反應電抗，因此：

$$X_s=X_{\ell}+X_a$$

同步阻抗為複數阻抗：

$$Z_s=R_a+jX_s$$

題目詢問「每相同步阻抗約為何」，選項皆為實數，因此應計算同步阻抗的大小：

$$|Z_s|=\sqrt{R_a^2+X_s^2}$$

解題方法

已知：

$$R_a=0.3\ \Omega$$ $$X_{\ell}=1.8\ \Omega$$ $$X_a=2.2\ \Omega$$

先求每相同步電抗：

$$X_s=X_{\ell}+X_a$$ $$X_s=1.8+2.2=4.0\ \Omega$$

因此，每相同步阻抗的複數表示為：

$$Z_s=0.3+j4.0\ \Omega$$

其大小為：

$$|Z_s| =\sqrt{(0.3)^2+(4.0)^2}$$ $$|Z_s| =\sqrt{0.09+16} =\sqrt{16.09} \approx 4.01\ \Omega$$

選項分析

核心觀念

同步發電機的開路試驗（Open-Circuit Test, OCC）是在發電機端子不接負載、輸出電流為零的情況下，保持轉子以額定同步轉速旋轉，逐步調整磁場電流 $I_f$，量測發電機端電壓 $V_0$，以建立「磁場電流—開路電壓」特性曲線。

其主要關係為：

$$I_a=0$$

且在忽略電樞電阻與電樞反應的情況下，

$$V_0 \approx E_A$$

其中：

• $I_f$：磁場電流
• $V_0$：開路端電壓
• $E_A$：每相感應電勢
• $I_a$：電樞電流

增加磁場電流時，鐵心磁通增加，感應電勢也隨之增加；當鐵心進入磁飽和區後，端電壓增加的幅度會逐漸變小。

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解題方法

判斷本題的關鍵，在於辨認開路試驗所量測的物理量：

1. 發電機端子保持開路，因此輸出電流為零。
2. 轉子以額定同步轉速旋轉。
3. 調整磁場電流 $I_f$。
4. 量測端電壓 $V_0$。
5. 繪製 $I_f$ 與 $V_0$ 的關係曲線。

因此，開路試驗是用來取得：

$$V_0=f(I_f)$$

這就是同步發電機的開路特性曲線，故正確選項為 (B)。

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選項分析

(A) 量測磁場電流與短路電流的關係

錯誤。

磁場電流與短路電流的關係，是同步發電機短路試驗所量測的內容，稱為短路特性曲線（Short-Circuit Characteristic, SCC）：

$$I_{sc}=f(I_f)$$

短路試驗時，發電機端子短路，量測電樞短路電流；並非開路試驗的量測內容。

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(B) 量測磁場電流與輸出電壓的關係

正確。

核心觀念

本題考查三相同步發電機的功角特性。忽略電樞電阻時，發電機輸出功率為

$$P=\frac{3VE}{X_s}\sin\delta$$

其中：

• $V$：每相端電壓
• $E$：每相內部應電勢
• $X_s$：每相同步電抗
• $\delta$：負載角

題目標示 $380$ V 且為 Y 接，通常表示三相線電壓，因此必須先換算成每相電壓。

解題方法

Y 接時，線電壓與相電壓關係為

$$V_{\text{ph}}=\frac{V_L}{\sqrt{3}}$$

因此每相端電壓為

$$V=\frac{380}{\sqrt{3}}\text{ V}$$

已知

$$E=240\text{ V},\qquad X_s=8\ \Omega,\qquad \delta=30^\circ$$

代入同步發電機功角公式：

$$P=\frac{3VE}{X_s}\sin\delta$$ $$P=\frac{3\left(\frac{380}{\sqrt{3}}\right)(240)}{8}\sin30^\circ$$

因為

$$\sin30^\circ=\frac{1}{2}$$

所以

$$P=\frac{3(219.4)(240)}{8}\times\frac{1}{2} \approx 9873\text{ W}$$

故滿載輸出功率約為

$$P\approx 9900\text{ W}$$

題目所給 $4$ 極與 $60$ Hz 可用來計算同步轉速：

核心觀念

本題考查同步電動機的激磁程度與功率因數之關係，以及其改善感性負載功率因數的原理。

電感性負載通常吸收落後無效功率，使線路電流落後電壓，造成負載功率因數偏低。同步電動機的功率因數可藉由調整直流磁場激磁電流加以控制：

• 正常激磁：功率因數約為 1。
• 欠激磁：同步電動機吸收落後無效功率，呈感性。
• 過激磁：同步電動機供應超前無效功率，呈容性。

因此，同步電動機過激磁運轉時，具有類似同步電容器（synchronous condenser）的效果，可補償感性負載所需的落後無效功率。

解題方法

設電感性負載所需的無效功率為 $Q_L$，其性質為落後無效功率；過激磁同步電動機所提供的無效功率為 $Q_M$，其性質為超前無效功率。

系統總無效功率為

$$Q_{\text{total}}=Q_L-Q_M$$

當同步電動機過激磁時，$Q_M$ 可抵消部分 $Q_L$，使系統總無效功率降低。功率因數為

$$\cos\phi=\frac{P}{S} =\frac{P}{\sqrt{P^2+Q_{\text{total}}^2}}$$

在有功功率 $P$ 大致不變的情況下，$Q_{\text{total}}$ 減小，視在功率 $S$ 也減小，線路電流降低，功率因數提高。

所以，應調整同步電動機的磁場，使其處於過激磁狀態。

選項分析

核心觀念

旋轉磁場式同步電動機的轉子以直流激磁建立固定磁場，但在靜止狀態下，定子三相電源所產生的旋轉磁場相對於轉子高速掃過，平均電磁轉矩無法使轉子直接由靜止同步起動。因此，同步電動機必須先利用其他方式加速至接近同步轉速，再投入直流激磁，使轉子磁場與定子旋轉磁場同步。

常見起動方法包括：

1. 阻尼繞組起動法：利用阻尼條形成鼠籠式感應電動機。
2. 外加電動機起動法：以外部原動機帶動同步電動機轉子。
3. 變頻起動法：由低頻率開始供電，使同步轉速由低逐漸升高。
4. 直流激磁繞組在起動期間可接入電阻，以限制感應高電壓與感應電流，但此屬於保護或輔助措施，並非同步電動機的獨立起動法。

解題方法

本題應先判斷各選項是否屬於「使同步電動機由靜止加速至接近同步轉速」的實際起動方式。

若選項能提供：

• 感應式起動轉矩；
• 外部機械轉矩；
• 或利用低頻電源直接建立可追隨的同步旋轉磁場；

即可視為正確起動方法。

若僅是對直流激磁繞組進行保護，卻不能單獨完成同步電動機的起動，則不是標準的起動法。

選項分析

(A) 轉子磁極安裝阻尼繞組

正確。

在凸極式同步電動機的轉子磁極表面裝設阻尼繞組，阻尼條與端環形成鼠籠結構。起動時，定子旋轉磁場切割阻尼繞組，在其中感應電流，產生感應電動機作用，使轉子加速。

當轉子轉速接近同步轉速時，再投入直流激磁，使轉子磁場與定子旋轉磁場鎖定同步。

核心觀念

步進電動機（Stepper Motor）是利用輸入脈波控制轉動的電動機。每輸入一個脈波，轉子便轉動一個固定的步進角 $\theta_s$，因此總轉動角度與輸入脈波數成正比。

其關係式為：

$$\theta = N\theta_s$$

其中：

• $\theta$：電動機總轉動角度
• $N$：輸入脈波數
• $\theta_s$：每一脈波所對應的步進角

若步進角為 $\theta_s$，輸入 $N$ 個脈波後，轉動角度即為 $N\theta_s$。

解題方法

本題直接掌握步進電動機的控制特性即可判斷：

• 脈波的「數量」決定轉動角度。
• 脈波的「頻率」主要決定轉速。
• 脈波的「順序」決定轉動方向。

因此，輸入脈波數增加一倍，理想情況下轉動角度也增加一倍，故轉動角度與輸入脈波數成正比。

選項分析

(A) 輸入電壓大小

核心觀念

三相感應電動機的銅損包括：

1. 定子銅損 $P_{\mathrm{cu1}}=3I_1^2R_1$

2. 轉子銅損 $P_{\mathrm{cu2}}=3I_2^2R_2$

以轉子側折算至定子側表示時，總銅損可寫成：

$P_{\mathrm{cu}}=3I_1^2(R_1+R_2')$

「額定銅損」是指電動機在額定電流、額定負載運轉時所產生的定子與轉子銅損。

解題方法

堵住試驗又稱鎖定轉子試驗。試驗時將轉子固定不動，使轉差率：

$s=1$

此時對定子施加低電壓，逐步調整至定子電流等於額定電流。由於轉子不旋轉，機械輸出為零，且施加電壓較低，鐵損相對很小，因此輸入功率主要就是定子與轉子的銅損：

$P_{\mathrm{in}}\approx P_{\mathrm{cu}}$

若試驗時調整至額定電流，則：

$P_{\mathrm{cu,rated}}\approx W_{\mathrm{br}}$

核心觀念

直流發電機的感應電勢公式為

$$E_g=\frac{P\Phi ZN}{60A}$$

其中：

• $E_g$：發電機應電勢
• $P$：磁極數
• $\Phi$：每極磁通量
• $Z$：電樞總導體數
• $N$：轉速，單位為轉／分
• $A$：電樞並聯路徑數

本題中 $P$、$Z$、$A$ 均未改變，因此應電勢的變化只取決於磁通量 $\Phi$ 與轉速 $N$：

$$E_g\propto \Phi N$$

解題方法

原來的磁通量與轉速為

$$\Phi_1=10^{-2}\ \text{Wb}$$ $$N_1=1800\ \text{rpm}$$

磁通減少 $20\%$，因此

$$\Phi_2=0.8\Phi_1$$

轉速增加 $20\%$，因此

$$N_2=1.2N_1$$

由於

$$E_g\propto \Phi N$$

可得

$$\frac{E_{g2}}{E_{g1}} = \frac{\Phi_2N_2}{\Phi_1N_1} = 0.8\times 1.2 = 0.96$$

因此

$$E_{g2}=0.96E_{g1}$$

應電勢變為原來的 $96\%$，所以減少

$$1-0.96=0.04=4\%$$

亦可代入原始數據驗算：

核心觀念

本題考查變壓器匝數比與一次側分接頭（Tap changer）的關係。

理想變壓器中，電壓比等於匝數比：

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{N_1}{N_2}$$

一次側供電電壓固定時：

• 一次側分接電壓降低，等效一次側匝數減少；
• 二次側感應電壓會升高；
• 一次側分接電壓升高，二次側電壓會降低。

本題負載固定，表示負載造成的壓降變化可視為相同比例，因此可用電壓比例直接求解。

解題方法

原本一次側分接頭接在 $3300\text{ V}$，測得二次側電壓為 $100\text{ V}$。

欲使二次側電壓升至 $110\text{ V}$，所需升壓比例為：

$$\frac{110}{100}=1.1$$

一次側分接電壓與二次側電壓呈反比，因此：

$$\frac{V_{2,\text{新}}}{V_{2,\text{舊}}} = \frac{V_{1,\text{舊}}}{V_{1,\text{新}}}$$

代入數值：

$$\frac{110}{100} = \frac{3300}{V_{1,\text{新}}}$$

因此：

$$V_{1,\text{新}} = 3300\times\frac{100}{110} = 3000\text{ V}$$

核心觀念

變壓器損失主要分為：

1. 銅損（Copper Loss）：繞組電阻所造成的損失。
2. 鐵損（Core Loss）：鐵心中的磁滯損與渦流損，通常在額定電壓、額定頻率下可視為與負載無關。
3. 其他損失：漏磁通造成的雜散負載損及介電損等。

其中，繞組銅損為焦耳熱損失：

$$P_{\mathrm{cu}}=I^2R$$

因此，在繞組電阻 $R$ 不變時，銅損與負載電流平方成正比。

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解題方法

本題直接依各項損失的物理成因與基本公式判斷：

• 與繞組電阻及電流有關的是銅損。
• 與鐵心磁通密度、頻率有關的是鐵損。
• 鐵損主要由磁滯損與渦流損組成，正常操作時不隨負載電流明顯改變。

因此，先以 $P_{\mathrm{cu}}=I^2R$ 判斷銅損，再檢查鐵損及磁滯損的相關敘述。

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選項分析

(A) 銅損與頻率成正比

錯誤。

銅損為：

$$P_{\mathrm{cu}}=I^2R$$

主要取決於繞組電流 $I$ 與電阻 $R$，並非直接與頻率成正比。雖然在高頻下可能因集膚效應、鄰近效應使交流電阻增加，進而影響銅損，但這不是一般變壓器基本損失公式所指的關係。

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(B) 銅損與負載電流平方成正比

正確。

由焦耳定律：

$$P_{\mathrm{cu}}=I^2R$$

若繞組電阻 $R$ 固定，當負載電流變為原來的 $k$ 倍時，銅損變為：

$$P_{\mathrm{cu}}'=(kI)^2R=k^2P_{\mathrm{cu}}$$

核心觀念

本題考查三相感應電動機的：

• 同步轉速
• 轉差率
• 轉子輸入功率與機械輸出功率的關係
• 轉子效率

以命題當年（民國 110 年）電機學定義為準。感應電動機忽略機械損及雜散損失時，轉子輸入功率分為：

$$P_{i2}=P_{\text{轉子銅損}}+P_m$$

其中轉換成機械功率的部分為：

$$P_m=(1-s)P_{i2}$$

因此轉子效率為：

$$\eta_r=\frac{P_m}{P_{i2}}=1-s$$

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解題方法

1. 計算同步轉速

同步轉速公式為：

$$N_s=\frac{120f}{P}$$

代入 $f=60\text{ Hz}$、$P=8$ 極：

$$N_s=\frac{120\times 60}{8}=900\text{ rpm}$$

2. 計算滿載轉差率

轉差率為：

$$s=\frac{N_s-N_r}{N_s}$$

其中轉子轉速 $N_r=810\text{ rpm}$，所以：

$$s=\frac{900-810}{900} =\frac{90}{900} =0.1=10\%$$

3. 計算機械輸出功率

額定輸出為 $8\text{ Hp}$，採用：

$$1\text{ Hp}=746\text{ W}$$

因此：

$$P_{\text{out}}=8\times 746=5968\text{ W}$$

由於忽略機械損及雜散損失，軸上機械輸出功率即為轉子所轉換的機械功率 $P_m$。

4. 計算轉子輸入功率

由：

$$P_m=(1-s)P_{i2}$$

得：

$$P_{i2}=\frac{P_m}{1-s} =\frac{5968}{1-0.1} =\frac{5968}{0.9} =6631.1\text{ W}$$

5. 計算轉子效率

$$\eta_r=1-s=1-0.1=0.9=90\%$$

所以：

核心觀念

本題考查三相感應電動機的轉矩—轉差率特性，以及最大轉矩與下列因素的關係：

• 電源電壓
• 轉子電阻
• 最大轉矩發生時的轉差率
• 同步角速度

感應電動機的轉差率為

$$s=\frac{\omega_s-\omega_m}{\omega_s}$$

其中：

• $\omega_s$：同步角速度
• $\omega_m$：轉子機械角速度

在簡化等效電路下，電磁轉矩可表示為

$$T \propto \frac{sR_2}{R_2^2+(sX_2)^2}$$

其中 $R_2$ 與 $X_2$ 分別為轉子電阻與轉子漏抗。

當轉矩達到最大值時，需滿足

$$R_2=sX_2$$

因此最大轉矩所對應的轉差率為

$$s_{\max}=\frac{R_2}{X_2}$$

代入轉矩公式可得

$$T_{\max}\propto \frac{1}{\omega_s}$$

且在其他條件固定時，最大轉矩與電源電壓平方成正比，與轉子電阻無關。

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解題方法

判斷本題的關鍵有兩點：

1. 最大轉矩的大小與轉子電阻無關。
2. 增加轉子電阻會使最大轉矩發生在較大的轉差率，而非較高的轉速。

由

$$s_{\max}=\frac{R_2}{X_2}$$

可知，$R_2$ 增加時，$s_{\max}$ 增加。

又因為

$$\omega_m=(1-s)\omega_s$$

當轉差率增加時，轉子轉速降低。因此增加轉子電阻後，最大轉矩會在較低速度產生。

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選項分析

(A) 最大轉矩與電源電壓平方成正比

正確。

由感應電動機轉矩公式可知，在頻率、阻抗及其他參數固定時，

$$T_{\max}\propto V^2$$

因此電源電壓增加時，最大轉矩按電壓平方增加。例如電壓增加 $10\%$，最大轉矩約增加為原來的 $1.21$ 倍。

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(B) 最大轉矩與轉子電阻無關

正確。

核心觀念

單相感應電動機的定子若只有單一相繞組，所產生的是脈動磁場，可分解為大小相等、方向相反的正向旋轉磁場與反向旋轉磁場。電動機靜止時，兩者轉矩互相抵消，因此單相感應電動機本身沒有自起動能力。

常見的分相式單相感應電動機，通常具有：

• 運轉繞組（主繞組）
• 起動繞組（輔助繞組）

起動繞組與運轉繞組在空間位置上錯開，且利用電阻、電感或電容造成相位差，使起動時形成旋轉磁場與起動轉矩。

電動機的旋轉方向取決於兩組繞組所形成的相對旋轉磁場方向。若只將其中一組繞組的接線對調，便可改變該組繞組的磁場方向，進而使旋轉方向反轉。

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解題方法

本題可從兩個判斷重點切入：

1. 單相感應電動機是否一定需要起動電容？
2. 反轉時是否要改變兩組繞組的相對接線關係？

單相感應電動機的起動方式不只一種，包含分相起動、電容起動、電容運轉、罩極式等。因此，不能把「起動電容」視為所有單相感應電動機的必要元件。

至於反轉，必須改變起動繞組與運轉繞組之間的相對相位或相對磁場方向。只將其中一組繞組的兩端對調，即可達成反轉。

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選項分析

(A) 起動時只需起動繞組，運轉時控制運轉繞組電壓控制轉速

錯誤。

單相感應電動機起動時，運轉繞組與起動繞組通常都必須接通。兩組繞組之間產生適當的空間角與相位差，才能形成起動轉矩。

此外，單相感應電動機的轉速主要由同步轉速、轉差率、負載等因素決定。同步轉速為

$$n_s=\frac{120f}{P}$$

其中：

• $n_s$：同步轉速，單位為 rpm
• $f$：電源頻率
• $P$：極數

實際轉速為

$$n=(1-s)n_s$$

核心觀念

本題考查三相同步發電機的電樞反應。電樞反應是指負載電流流過定子電樞繞組後，產生電樞磁動勢與電樞磁通，進而影響轉子主磁場磁通及端電壓的現象。

電樞反應大小主要取決於電樞電流大小：

$$F_a \propto I_a$$

其中 $F_a$ 為電樞磁動勢，$I_a$ 為電樞電流。

負載功率因數不同，電樞反應的性質也不同：

• 電阻性負載：主要為交磁作用。
• 電感性負載：主要為去磁作用。
• 電容性負載：主要為助磁作用。

同步發電機的相量關係可表示為：

$$\underline{E}=\underline{V}+\underline{I_a}(R_a+jX_s)$$

其中：

• $\underline{E}$：內部感應電勢
• $\underline{V}$：負載端電壓
• $R_a$：電樞電阻
• $X_s$：同步電抗

在轉速與励磁固定時，電感性負載所造成的去磁作用會使端電壓下降。

解題方法

本題屬於觀念判斷題，可依照以下順序判斷：

1. 無載時，電樞電流是否存在。
2. 判斷不同功率因數負載所造成的電樞反應性質。
3. 判斷負載增加時，電樞電流與電樞反應的變化。

對同步發電機而言：

• 無載時 $I_a=0$，因此沒有電樞磁動勢。
• 電阻性負載造成交磁作用。
• 電感性負載造成去磁作用，使端電壓降低。
• 負載越大，通常電樞電流越大，電樞反應越顯著。

因此，敘述「加入額定電感性負載，會使負載端電壓高於額定值」與同步發電機的基本特性不符。

選項分析

(A) 無載時沒有電樞反應

正確。

核心觀念

本題考查功率三角形與同步調相機的無效功率補償。

交流負載中：

• 有效功率：$P$，單位為 $\text{kW}$
• 無效功率：$Q$，單位為 $\text{kVAR}$
• 功率因數：$\cos\phi=\dfrac{P}{S}$

功率三角形關係為：

$$Q=P\tan\phi$$

同步調相機運轉於過激狀態時，可提供超前無效功率，以抵銷負載原有的落後無效功率。

解題方法

負載有效功率固定為：

$$P=120\text{ kW}$$

1. 原負載無效功率

原功率因數為 $0.6$ 落後：

$$\cos\phi_1=0.6$$

因此：

$$\sin\phi_1=\sqrt{1-0.6^2}=0.8$$ $$\tan\phi_1=\frac{\sin\phi_1}{\cos\phi_1} =\frac{0.8}{0.6} =\frac{4}{3}$$

原負載無效功率為：

$$Q_1=P\tan\phi_1 =120\times\frac{4}{3} =160\text{ kVAR}$$

2. 補償後無效功率

提升後功率因數為 $0.8$：

$$\cos\phi_2=0.8$$

因此：

$$\sin\phi_2=\sqrt{1-0.8^2}=0.6$$ $$\tan\phi_2=\frac{0.6}{0.8}=0.75$$

補償後負載仍需的無效功率為：

$$Q_2=P\tan\phi_2 =120\times0.75 =90\text{ kVAR}$$

3. 同步調相機容量

核心觀念

本題考查單相變壓器的最大效率條件。

變壓器效率為

$$\eta=\frac{\text{輸出功率}}{\text{輸入功率}} =\frac{\text{輸出功率}}{\text{輸出功率}+\text{損失}}$$

變壓器的損失主要包括：

• 鐵損 $P_i$：近似視為固定損失。
• 銅損 $P_{cu}$：與負載電流平方成正比。

變壓器達到最大效率的條件為

$$P_{cu}=P_i$$

題目給定：

$$S_N=15\text{ kVA}$$ $$P_{cu,\text{滿載}}=400\text{ W}$$ $$P_i=100\text{ W}$$ $$\cos\phi=0.85$$

其中 $S_N$ 為額定容量，功率因數為滯後不影響效率計算的正負，只取其數值 $0.85$。

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解題方法

設最大效率時的負載率為 $x$，即負載電流為滿載電流的 $x$ 倍。

因為銅損與電流平方成正比，所以負載率為 $x$ 時的銅損為

$$P_{cu}=x^2P_{cu,\text{滿載}}$$

最大效率條件為

$$x^2(400)=100$$

因此

$$x^2=\frac{100}{400}=\frac14$$ $$x=\frac12=0.5$$

所以最大效率發生在半載。

1. 最大效率時的輸出功率

最大效率時，變壓器輸出容量為

$$S=xS_N =0.5\times 15 =7.5\text{ kVA}$$

考慮負載功率因數 $0.85$，輸出實功率為

$$P_o=S\cos\phi =7.5\times 0.85 =6.375\text{ kW}$$

換算為瓦特：

$$P_o=6375\text{ W}$$

2. 最大效率時的總損失

此時銅損等於鐵損：

$$P_{cu}=P_i=100\text{ W}$$

因此總損失為

$$P_{\text{loss}}=100+100=200\text{ W}$$

3. 計算最大效率

$$\eta_{\max} =\frac{P_o}{P_o+P_{\text{loss}}}$$ $$\eta_{\max} =\frac{6375}{6375+200} =\frac{6375}{6575} \approx 0.9696$$

因此

核心觀念

本題考查三相感應電動機無載試驗，以及兩瓦特計法的功率計算。

重點公式如下：

1. 三相平衡負載視在功率：

$$S=\sqrt{3}V_L I_L$$

2. 無載功率因數：

$$\cos\phi_0=\frac{P_0}{\sqrt{3}V_LI_L}$$

3. Y 接時，每相電壓為：

$$V_{\phi}=\frac{V_L}{\sqrt{3}}$$

4. 無載鐵損電流：

$$I_c=\frac{P_0}{3V_{\phi}}$$

5. 每相激磁電導：

$$G_0=\frac{I_c}{V_{\phi}} =\frac{P_0}{3V_{\phi}^{2}}$$

無載試驗中，通常將輸入有功功率近似視為鐵損，忽略無載時極小的轉子銅損，並將定子銅損視為可忽略。

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解題方法

1. 計算無載輸入功率

兩瓦特計法中，若其中一只瓦特計反轉，必須將其壓力線圈接線反接後讀取正值，再以兩只瓦特計讀值的大小相加求總功率：

$$P_0=150+40=190\text{ W}$$

因此，無載輸入功率約為 $190\text{ W}$。

2. 計算無載功率因數

線電壓與線電流分別為：

$$V_L=220\text{ V},\qquad I_L=2.2\text{ A}$$

所以：

$$\cos\phi_0 =\frac{190}{\sqrt{3}\times220\times2.2}$$ $$\cos\phi_0 =\frac{190}{838.97} \approx0.226\approx0.23$$

故選項 B 正確。

3. 計算每相電壓及鐵損電流

因為電動機採 Y 接：

$$V_{\phi}=\frac{220}{\sqrt{3}} \approx127\text{ V}$$

每相鐵損約為：

$$P_{\phi}=\frac{P_0}{3} =\frac{190}{3} \approx63.33\text{ W}$$

因此每相鐵損電流為：

$$I_c=\frac{P_{\phi}}{V_{\phi}} =\frac{63.33}{127} \approx0.499\text{ A} \approx0.50\text{ A}$$

以題目選項的近似值表示，約為 $0.51\text{ A}$，故選項 C 正確。

4. 計算每相激磁電導

$$G_0=\frac{I_c}{V_{\phi}} =\frac{0.499}{127} \approx3.93\times10^{-3}\text{ S}$$

因此：

核心觀念

本題考查可變磁阻型步進電動機的步進角與轉速關係。

對於 $m$ 相、轉子具有 $N_r$ 齒的可變磁阻型步進電動機，步進角為

$$\alpha=\frac{360^\circ}{mN_r}$$

其中：

• $m$：相數
• $N_r$：轉子齒數
• $\alpha$：每次切換激磁相別時，轉子的轉動角度

本題中：

$$m=4,\qquad N_r=18$$

因此每一個輸入脈波所造成的步進角為

$$\alpha=\frac{360^\circ}{4\times18} =\frac{360^\circ}{72} =5^\circ$$

解題方法

題目指出「每相輸入脈波訊號頻率」為 $54\text{ Hz}$。這表示每一相每秒接收到 $54$ 個脈波。

四相步進電動機依序切換四相激磁，因此完整的四相激磁循環包含 $4$ 個脈波。故每秒總步進次數為

$$f_s=4\times54=216\text{ step/s}$$

每步轉動 $5^\circ$，所以每秒轉過的角度為

$$216\times5^\circ=1080^\circ/\text{s}$$

換算成每秒轉數：

$$n=\frac{1080^\circ/\text{s}}{360^\circ/\text{rev}} =3\text{ rev/s}$$

再換算為每分鐘轉速：

$$N=3\times60=180\text{ rpm}$$

也可直接寫成

$$N=\frac{(4)(54)(5)}{360}\times60 =180\text{ rpm}$$

核心觀念

本題考查變壓器鐵心採用「疊片」結構的主要目的。

變壓器鐵心由許多薄鋼片組成，每片鋼片表面通常具有絕緣膜，彼此疊合後形成磁路。鐵心中的交變磁通會依據法拉第電磁感應定律，在鐵心內感應出電動勢，進而產生繞著磁通方向流動的循環電流，稱為渦流。

渦流會造成鐵心發熱與功率損失，稱為渦流損。疊片可將連續的大導電迴路切割成許多彼此絕緣的小迴路，降低渦流大小，因此減少渦流損。

鐵心渦流損常以近似關係表示為：

$$P_e \propto \frac{t^2 f^2 B_m^2}{\rho}$$

其中：

• $P_e$：渦流損
• $t$：鐵片厚度
• $f$：磁通頻率
• $B_m$：最大磁通密度
• $\rho$：鐵心材料電阻率

由公式可知，鐵片越薄，渦流損約與 $t^2$ 成正比降低；提高材料電阻率也能減少渦流。

解題方法

判斷鐵心疊片的作用，可從「交變磁通會造成什麼損失」切入：

1. 變壓器鐵心中的磁通隨時間交變。
2. 交變磁通會在鐵心內感應電流。
3. 若鐵心是整塊導體，渦流循環路徑大，渦流損較大。
4. 將鐵心製成薄片並使薄片間絕緣，可縮小渦流路徑、增加電流通路電阻。
5. 渦流減小後，依據 $P=I^2R$，鐵心中的渦流損與發熱隨之降低。

因此，鐵心疊片的主要目的就是降低渦流損。

選項分析

(A) 使變壓器鐵心磁通增加