111 專技高考高等考試 造船工程技師 電工學（包括電機機械） 考古題詳解

核心觀念

本題考查交流穩態的相量分析、串並聯阻抗，以及實功率與功率因數。先將電源與各支路換成相量，再求並聯支路電壓與支路電流；計算功率時使用有效值。

電源為 $e_S(t)=200\sqrt{2}\sin(500t)\ \mathrm{V}$，因此

以下以正弦波為相量相位基準。

解題方法與計算

1. 求各支路阻抗及總阻抗

電感與電容的阻抗分別為

兩支路並聯的導納為

所以並聯等效阻抗為

再加上串聯電阻 $R_S=1\ \Omega$，總阻抗為

2. 求並聯支路電壓

電源電流相量為

並聯支路電壓為電源電壓扣除 $R_S$ 上的壓降：

3. 求電感支路與電容支路電流

依圖示方向，兩支路電流相量為

核心觀念

這題考一階 RC 暫態響應、電容電壓連續，以及戴維寧等效電路。開關閉合前電容沒有儲能，因此 $v_C(0^-)=0$；電容電壓不能瞬間改變，故 $v_C(0^+)=0$。

解題方法

將電容 $C_S$ 視為負載，求其端點的戴維寧等效電壓與電阻。

開路電容時，$R_C$ 中沒有電流，因此 $R_C$ 上沒有壓降。電容端的戴維寧電壓為 $R_S$、$R_m$ 分壓所得：

將理想電壓源短路後，電容看到的等效電阻為 $R_C$ 串聯 $R_S\parallel R_m$：

時間常數為

因此，$t>0$ 時電容電壓為

依電容電流關係 $i_C(t)=C_S\dfrac{dv_C(t)}{dt}$，且電流箭頭方向為向下：

核心觀念

本題考三相平衡電路的 $\Delta$–Y 等效轉換、每相電壓分配，以及線電壓與負載支路電流的相量計算。

三相平衡 $\Delta$ 負載可等效為每相阻抗 $Z_Y=Z_\Delta/3$ 的 Y 負載。等效後，每相電源阻抗與負載阻抗串聯，可用電壓分配求出負載相電壓；再由相電壓求線電壓，並以負載支路阻抗求支路電流。

解題方法

每相電源串聯阻抗為

每一支 $\Delta$ 負載阻抗為 $30+j30\ \Omega$，等效 Y 的每相阻抗為

因此每相總阻抗為

以 A 相為例，負載相電壓為

由於電路三相平衡，其餘兩相負載相電壓為

以正相序 $a\!-\!b\!-\!c$ 計算線電壓：

核心觀念

本題評量三相感應電動機之運轉特性（轉速、轉矩、滑差與功率平衡）以及交流電路之功率因數改善計算，涉及以下核心觀念與公式：

1. 旋轉磁場與滑差率（Slip, $s$）：

• 同步轉速：$n_s = \frac{120f}{P}$
• 滑差率：$s = \frac{n_s - n_r}{n_s}$

2. 機械角速度與輸出轉矩（Torque, $T_{\text{out}}$）：

• 機械角速度：$\omega_r = \frac{2\pi n_r}{60}$
• 輸出轉矩：$T_{\text{out}} = \frac{P_{\text{out}}}{\omega_r}$

3. 電動機功率轉換與效率（Efficiency, $\eta$）：

• 輸入總實功率：$P_{\text{in}} = \frac{P_{\text{out}}}{\eta}$
• 三相交流輸入視在功率：$S_{\text{in}} = \sqrt{3} V_L I_L$
• 輸入總虛功率：$Q_{\text{in}} = \sqrt{S_{\text{in}}^2 - P_{\text{in}}^2}$

4. 三相 $\Delta$ 接電容器之功率因數改善：

• 改善功率因數至 $1.0$ 時，電容器組需完全抵消負載原有的感性虛功率，即 $Q_C = Q_{\text{in}}$。
• $\Delta$ 接法下，每相電容器所承受之相電壓等於系統線電壓（$V_{C\phi} = V_L$）： $Q_C = 3 \times \frac{V_L^2}{X_C} = 3 \omega C_\Delta V_L^2 \implies C_\Delta = \frac{Q_C}{3 \times 2\pi f \times V_L^2}$
• 功因改善後電源側線電流：$I_L' = \frac{P_{\text{in}}}{\sqrt{3} V_L \cos\theta'} = \frac{P_{\text{in}}}{\sqrt{3} V_L}$

解題方法

(一) 計算輸出轉矩、滑差率、輸入總實功率與總虛功率

1. 同步轉速與滑差率：

• 額定電源頻率 $f = 60\ \mathrm{Hz}$、極數 $P = 8$： $n_s = \frac{120 \times 60}{8} = 900\ \mathrm{rpm}$
• 轉子實際轉速 $n_r = 870\ \mathrm{rpm}$，代入滑差率定義： $s = \frac{900 - 870}{900} = \frac{30}{900} = \frac{1}{30} \approx 0.0333\quad (3.33\%)$

2. 輸出轉矩：

• 轉子機械角速度： $\omega_r = \frac{2\pi \times 870}{60} = 29\pi \approx 91.106\ \mathrm{rad/s}$
• 輸出功率 $P_{\text{out}} = 50\ \mathrm{kW} = 50000\ \mathrm{W}$，輸出轉矩為： $T_{\text{out}} = \frac{P_{\text{out}}}{\omega_r} = \frac{50000}{29\pi} \approx 548.81\ \mathrm{N\cdot m}$

3. 輸入總實功率：

• 依效率 $\eta = 0.92$ 定義： $P_{\text{in}} = \frac{P_{\text{out}}}{\eta} = \frac{50\ \mathrm{kW}}{0.92} \approx 54.348\ \mathrm{kW} = 54347.8\ \mathrm{W}$

4. 輸入總虛功率：

• 線電壓 $V_L = 460\ \mathrm{V}$、線電流 $I_L = 82\ \mathrm{A}$，輸入視在功率為：

核心觀念

本題考查**他激式直流電動機（Separately Excited DC Motor）**的穩態電氣特性與機電能量轉換，核心觀念與必備公式如下：

1. 電樞迴路電壓平衡方程式： 忽略碳刷壓降時，電動機端電壓 $V_t$、反電動勢 $E_a$、電樞電流 $I_a$ 與電樞電阻 $R_a$ 的關係為： $V_t = E_a + I_a R_a \implies E_a = V_t - I_a R_a$

2. 電磁轉矩與反電動勢方程式（SI 單位制）：

• 電磁轉矩：$T_e = K_a \Phi I_a$
• 反電動勢：$E_a = K_a \Phi \omega_m$ 其中 $\omega_m = \frac{2\pi n}{60}\ (\mathrm{rad/s})$ 為轉子機械角速度。在 SI 單位制下，轉矩常數與反電動勢常數數值相等（均為 $K_a$）。

3. 線性磁路關係： 題目指明「激磁場電流與其磁通量成線性關係」，即 $\Phi \propto I_f$（令 $\Phi = c \cdot I_f$）。因此可定義綜合機電耦合常數 $K_m = K_a \cdot c$，將方程式簡化為： $T_e = K_m I_f I_a$ $E_a = K_m I_f \omega_m$

4. 電磁功率（內生功率）： 電機內部轉換的電磁功率 $P_e$ 定義為： $P_e = E_a I_a = T_e \omega_m$

解題方法

步驟一：求取電機綜合耦合常數 $K_m$

由已知實驗數據：當 $I_{f1} = 4\ \mathrm{A}$、$I_{a1} = 10\ \mathrm{A}$ 時，電磁轉矩 $T_{e1} = 6\ \mathrm{N\cdot m}$。 代入轉矩關係式： $6 = K_m \times 4 \times 10 \implies K_m = \frac{6}{40} = 0.15\ \mathrm{N\cdot m/A^2}\ (\text{或}\ \mathrm{V\cdot s/(A\cdot rad)})$

得電機方程式為： $T_e = 0.15 I_f I_a$ $E_a = 0.15 I_f \omega_m$

步驟二：求解第 (一) 小題

已知運轉條件：

• 轉速 $n = 1362\ \mathrm{rpm}$
• 機械角速度： $\omega_m = \frac{2\pi \times 1362}{60} = 45.4\pi \approx 142.63\ \mathrm{rad/s}$
• 激磁場電流 $I_f = 4\ \mathrm{A}$
• 外加電樞電壓 $V_t = 100\ \mathrm{V}$

1. 計算反電動勢 $E_a$： $E_a = K_m I_f \omega_m = 0.15 \times 4 \times 45.4\pi = 27.24\pi \approx 85.58\ \mathrm{V}$

2. 計算電樞電流 $I_a$： 由電樞迴路方程式： $I_a = \frac{V_t - E_a}{R_a} = \frac{100 - 85.58}{1.2} = \frac{14.42}{1.2} \approx 12.02\ \mathrm{A}$ (註：若取 $\pi \approx 3.1416$，反電動勢約為 $85.6\ \mathrm{V}$，此時 $I_a = \frac{100 - 85.6}{1.2} = 12\ \mathrm{A}$)