111 公路人員升資考試員級晉高員級 技術類(選試電路學)-公路總局 電路學 考古題詳解

核心觀念

本題利用理想運算放大器的「虛短」與輸入端電流為零：

圖中下方端點接地，因此上方端點電壓就是 $V_{\text{out}}$。電阻 $R_1、R_2$ 由運算放大器輸出端分壓至非反相輸入端，$R_3$ 則連接上方輸入端與運算放大器輸出端。

解題方法

先由 $R_1、R_2$ 的分壓關係求非反相端電壓：

由虛短，$V_-=V_+=V_{\text{out}}$，所以

在上方輸入節點套用 KCL。理想運算放大器的反相輸入端不吸收電流，因此 $i_{\text{in}}$ 全部流經 $R_3$：

代入 $V_o$：

整理成題目指定的形式 $V_{\text{out}}=Ri_{\text{in}}$：

因此

核心觀念

本題考查理想運算放大器的非反相放大器，以及一階 RC 高通電路的轉移函數。假設運算放大器理想，輸入端電流為零，且在負回授下有 $V_+=V_-$。

解題方法

先分別求出輸入端 RC 網路的電壓比例，以及運算放大器的閉迴路增益。

圖二中，輸入電壓 $V_i$ 經串聯電容 $C_i$ 後，接到非反相輸入端；該節點再透過電阻 $R$ 接地。電容阻抗為

因此，非反相輸入端電壓由分壓關係得到

運算放大器的反相端由 $R_f$（輸出至反相端）與 $R$（反相端至地）構成回授分壓器，因此其非反相閉迴路增益為

合併兩部分：

核心觀念

本題考查 米勒定理（Miller theorem）：跨接在雙埠輸入端與輸出端之間的阻抗 $Z_f$，在已知電壓比 $A=V_{out}/V_{in}$ 時，可等效為輸入端與輸出端各自對地的阻抗。

解題方法

依圖中電流箭頭，$i_{in}$ 與 $i_{out}$ 都是流入雙埠網路的電流。跨接阻抗 $Z_f$ 兩端的電壓為 $V_{in}-V_{out}$，因此輸入側電流為

由輸入阻抗定義 $Z_{in}=V_{in}/i_{in}$，得

在輸出側，流入網路的電流為

核心觀念

本題結合理想運算放大器的負回授特性與電橋節點分析。假設運算放大器工作在線性區且輸入電流為零，則：

$V_-=V_+=0,\qquad i_-=0$

因此，圖中接至反相端的電橋下方節點電壓為 $0$。電橋左右端的電壓源極性依圖示為左正、右負。

解題方法

令電橋左、右節點電壓分別為 $V_L$、$V_R$，上方節點電壓為 $V_T$。由電壓源與下方節點的 KCL：

$V_L-V_R=V_s$

$\frac{V_L}{R_3}+\frac{V_R}{R_4}=0$

解得：

在左、右節點組成的超節點套用 KCL：

其中 $\frac{V_L}{R_3}+\frac{V_R}{R_4}=0$，因此：

$\frac{V_L-V_T}{R_1}+\frac{V_R-V_T}{R_2}=0$

這表示電橋上方節點的電流和為零。對 $V_T$ 節點套用 KCL，經 $R_5$ 的電流也必須為零，所以 $R_5$ 上沒有壓降，$R_5$ 另一端的節點電壓也等於 $V_T$。

代入 $V_L$、$V_R$ 可得：