108 公路人員升資考試員級晉高員級 技術類(選試結構學)-公路總局 結構學 考古題詳解

108 年・公路人員升資考試・員級晉高員級・技術類(選試結構學)-公路總局
試題代碼 結構學

第 一 題25 分

試分析圖（一）所示桁架所有支承反力和桿件內力。請繪製桁架圖於試卷，並將分析所得之桿件內力標示於桿件旁，張力為正（＋），壓力為負（－）。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖（一）桁架資料：

  • 節點：AA、BB、CC、DD、EE、FF、GG。
  • 跨距：AG=8 mAG=8\ \mathrm{m}、GF=8 mGF=8\ \mathrm{m}；上弦各水平尺寸依序為 4 m4\ \mathrm{m}、8 m8\ \mathrm{m}、4 m4\ \mathrm{m}。
  • 高度：AB=6 mAB=6\ \mathrm{m}、BC=3 mBC=3\ \mathrm{m}、EF=6 mEF=6\ \mathrm{m}、DE=3 mDE=3\ \mathrm{m}。
  • 節點CC、DD及GG各受一向下集中力60 kN60\ \mathrm{kN}。
  • 支承位於AA及FF。
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考桁架的節點法與整體平衡。桿件只承受軸力，假設各桿件受拉為正；計算結果為負時，代表受壓。各節點須滿足 ∑Fx=0\sum F_x=0、∑Fy=0\sum F_y=0，整體則須滿足 ∑M=0\sum M=0。

依圖示尺寸，各斜桿方向的水平、垂直比例為 4:34:3，故方向餘弦為 45\frac45、35\frac35。交叉斜桿的交點沒有節點。

解題方法

一、求支承反力

圖示 A 為鉸支承、F 為滾支承，反力分別為 Ax,Ay,FyA_x,A_y,F_y。整體平衡得：

∑Fx=0:Ax=0\sum F_x=0:\quad A_x=0 ∑Fy=0:Ay+Fy=180 kN\sum F_y=0:\quad A_y+F_y=180\ \mathrm{kN}

以 A 點取矩：

∑MA=0:16Fy−60(4)−60(12)−60(8)=0\sum M_A=0:\quad 16F_y-60(4)-60(12)-60(8)=0

因此：

Fy=90 kN,Ay=90 kNF_y=90\ \mathrm{kN},\qquad A_y=90\ \mathrm{kN}

二、利用對稱性與節點平衡求桿件力

桁架幾何、支承及荷重皆左右對稱，因此鏡像桿件內力相等：

AD=CF,DE=BC,EF=AB,AG=GF,BG=GEAD=CF,\quad DE=BC,\quad EF=AB,\quad AG=GF,\quad BG=GE

在 B 點列平衡式：

∑Fx=0:45(BC+BG)=0⇒BG=−BC\sum F_x=0:\quad \frac45(BC+BG)=0 \quad\Rightarrow\quad BG=-BC ∑Fy=0:−AB+35BC−35BG=0⇒AB=65BC\sum F_y=0:\quad -AB+\frac35BC-\frac35BG=0 \quad\Rightarrow\quad AB=\frac65BC

在 D 點列垂直平衡式，並代入 DE=BCDE=BC：

−35AD−35DE−60=0⇒AD+BC=−100-\frac35AD-\frac35DE-60=0 \quad\Rightarrow\quad AD+BC=-100

在 A 點列垂直平衡式：

90+AB+35AD=090+AB+\frac35AD=0

代入 AB=65BCAB=\frac65BC，得：

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第 二 題25 分

圖（二）為一複合結構，由桁架ABCDABCD與梁DEDE所組成。假設梁斷面的慣性矩為Ib=109 mm4I_b=10^9\ \mathrm{mm}^4，桁架所有桿件的長度和截面積比值為L/A=1 m/cmL/A=1\ \mathrm{m}/\mathrm{cm}，彈性模數EE為常數。試分析桁架桿件的軸力，並繪製梁的彎矩圖。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖（二）結構及荷載資料：

  • 桁架節點為AA、BB、CC、DD；梁由DD延伸至EE。
  • 桁架寬度為3 m3\ \mathrm{m}，高度為4 m4\ \mathrm{m}；梁DEDE長度為8 m8\ \mathrm{m}。
  • 梁DEDE承受均布載重8 kN/m8\ \mathrm{kN/m}。
  • 支承位於AA及EE。
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核心觀念

本題考查桁架與梁共同作用時的位移相容、桁架桿件軸力，以及簡支梁的彎矩圖。桁架桿件以軸向剛度 EA/LEA/L 建模，梁以彎曲剛度 EIbEI_b 建模；桁架與梁在 DD 點共同位移。

依圖將 AA、EE 視為鉸支承，並採用梁的標準彎曲模型：梁軸向變形忽略，因此 DD 點的水平位移受梁約束。題目未提供梁的截面積；若要計入梁的軸向變形，還需要梁的 EAEA，否則桁架軸力無法唯一決定。

解題方法

梁長 L=8 mL=8\ \mathrm m，承受全跨均布載重 w=8 kN/mw=8\ \mathrm{kN/m}。梁兩端彎矩為零，故梁的支承反力為

RD=RE=wL2=8(8)2=32 kN.R_D=R_E=\frac{wL}{2} =\frac{8(8)}{2}=32\ \mathrm{kN}.

因此，梁在 DD 點對桁架施加向下 32 kN32\ \mathrm{kN} 的力。再以桁架直接勁度法求解；各桿件採用題給的共同軸向剛度比例 A/L=1 cm2/mA/L=1\ \mathrm{cm^2/m}，並施加 AA 點支承與 DD 點水平位移相容條件。解得桿件軸力如下，正值為拉力、負值為壓力：

桿件軸力性質
ABAB6 kN6\ \mathrm{kN}壓力
BCBC10 kN10\ \mathrm{kN}張力
CDCD6 kN6\ \mathrm{kN}壓力
DADA30 kN30\ \mathrm{kN}壓力
ACAC8 kN8\ \mathrm{kN}壓力
BDBD8 kN8\ \mathrm{kN}壓力
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第 三 題25 分

圖（三）所示之桁架結構，假設所有桿件之EA=105 kNEA=10^5\ \mathrm{kN}。當一系列移動集中荷載由右至左通過時，試求IDID桿之最大軸向伸長量。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖（三）桁架及移動荷載資料：

  • 桁架總長度為18 m18\ \mathrm{m}，分為66跨，每跨3 m3\ \mathrm{m}。
  • 桁架高度為4 m4\ \mathrm{m}。
  • 移動集中荷載由右至左依序通過，荷載大小為18 kN18\ \mathrm{kN}、36 kN36\ \mathrm{kN}、18 kN18\ \mathrm{kN}及54 kN54\ \mathrm{kN}。
  • 各集中荷載間距依圖示為2 m2\ \mathrm{m}、1 m1\ \mathrm{m}及1 m1\ \mathrm{m}。
  • 試求桿件IDID之最大軸向伸長量。
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核心觀念

本題以桁架影響線求移動荷載作用下 IDID 桿的最大軸力，再由桿件軸向變形公式計算伸長量：

ΔID=NIDLIDEA\Delta_{ID}=\frac{N_{ID}L_{ID}}{EA}

其中 NIDN_{ID} 為 IDID 桿軸力，拉力取正；LIDL_{ID} 為桿長。由於桁架為靜定結構，NIDN_{ID} 可用截面法求得。

解題方法

以 AA 點為 x=0x=0，各下弦節點位置為 A=0A=0、B=3B=3、C=6C=6、D=9D=9、E=12E=12、F=15F=15、G=18G=18 m。對桁架施加位於下弦節點的單位向下荷載，取穿過 IDID、IJIJ、CDCD 的截面，對左側部分列垂直力平衡。

單位荷載位於 x=sx=s 時，支承反力為 RA=(18−s)/18R_A=(18-s)/18。荷載在 DD 左側時，左側截面的垂直力平衡式為

RA−1−45NID=0R_A-1-\frac45N_{ID}=0

代入 RAR_A，得 NID=−5s/72N_{ID}=-5s/72。荷載在 DD 點或其右側時，左側截面不包含該荷載，故

RA−45NID=0R_A-\frac45N_{ID}=0

得 NID=5(18−s)/72N_{ID}=5(18-s)/72。

因此，IDID 桿軸力影響線在各下弦節點的縱座標如下；節點間以直線連接：

節點AABBCCDDEEFFGG
NIDN_{ID} 影響線00−5/24-5/24−5/12-5/125/85/85/125/125/245/2400

依圖示，荷載由左至右排列為 1818、3636、1818、5454 kN，間距依序為 22、11、11 m。

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第 四 題25 分

試以位移法分析圖（四）所示之構架，並繪製其剪力圖和彎矩圖。（本題若採用力法（柔度法）分析不計分。）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖（四）構架及荷載資料：

  • 構架由節點AA、BB、CC、DD組成。
  • AA、DD為固定端，ABAB及CDCD為柱，BCBC為梁。
  • 柱高為8 m8\ \mathrm{m}，梁長度為8 m8\ \mathrm{m}，梁中點距BB、CC各4 m4\ \mathrm{m}。
  • BB點受水平向右集中力42 kN42\ \mathrm{kN}。
  • 梁BCBC中點受向下集中力48 kN48\ \mathrm{kN}。
  • 所有桿件的EIEI均為常數。
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核心觀念

本題以位移法分析平面剛架。柱腳 A、DA、D 固定，梁柱接頭 B、CB、C 可轉動，且整個上部構架可水平側移。依一般剛架位移法假設，桿件軸向變形忽略；因此主要未知位移為水平側移 Δ\Delta、接頭轉角 θB\theta_B、θC\theta_C。

梁中點集中力 PP 的固定端等效節點力矩為 PL/8PL/8；組裝剛度方程後，可求出各桿端力，再由桿件平衡繪製剪力圖與彎矩圖。

解題方法與計算

取 Δ\Delta 向右為正，接頭轉角逆時針為正。以 EIEI 為共同因子，柱長、梁長皆為 8 m8\ \mathrm{m}。

兩柱對水平側移及各自柱頂轉角的剛度項為

EI83[126(8)6(8)4(82)]（柱頂橫向位移以局部橫向座標表示）.\frac{EI}{8^3} \begin{bmatrix} 12&6(8)\\ 6(8)&4(8^2) \end{bmatrix} \quad \text{（柱頂橫向位移以局部橫向座標表示）}.

組裝兩柱與梁的轉動剛度，並將中點 48 kN48\ \mathrm{kN} 向下集中力轉為梁端等效力矩後，化為下列三個自由度方程：

EI[364332332332114332141][ΔθBθC]=[42−4848].EI \begin{bmatrix} \frac{3}{64}&\frac{3}{32}&\frac{3}{32}\\ \frac{3}{32}&1&\frac14\\ \frac{3}{32}&\frac14&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Delta\\ \theta_B\\ \theta_C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 42\\ -48\\ 48 \end{bmatrix}.

右側第二、三項分別包含梁中點荷載造成的固定端等效力矩。解得

Δ=1280EI m,θB=−160EI,θC=−32EI.\boxed{\Delta=\frac{1280}{EI}\ \mathrm{m}},\qquad \boxed{\theta_B=-\frac{160}{EI}},\qquad \boxed{\theta_C=-\frac{32}{EI}}.

依位移結果計算桿端力矩，以下均以桿端力矩逆時針為正：

構件左端／下端力矩右端／上端力矩
ABABMA=+80 kN mM_A=+80\ \mathrm{kN\,m}MB=+40 kN mM_B=+40\ \mathrm{kN\,m}
BCBCMB=−40 kN mM_B=-40\ \mathrm{kN\,m}MC=−104 kN mM_C=-104\ \mathrm{kN\,m}
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