111 公路人員升資考試員級晉高員級 技術類(選試結構學)-公路總局 結構學 考古題詳解

核心觀念

本題先用節點法求桁架各桿件軸力，再用單位荷重法計算中央下方節點的垂直位移。

桿件軸力以拉力為正、壓力為負；各節點均須滿足：

桁架節點位移則由虛功原理求得：

其中 $N_i$ 為實際荷重下的桿力，$n_i$ 為所求位移方向施加單位荷重後的桿力，$L_i$ 為桿長。

解題方法

令圖中左端下方支承為 $A$，由左至右的下弦節點依序為 $A、B、C、D、E$；$C$ 為中央下方節點。兩個向下荷重 $P$ 分別作用於 $B、C$。斜桿與水平、垂直桿形成 $45^\circ$ 角。

1. 求支承反力

以 $A$ 點取矩，跨距為 $4l$：

再由垂直力平衡：

水平反力為 $A_x=0$。

2. 求各桿件軸力

先由節點 $B$ 平衡。$B$ 點的上下方向只有豎桿與向下荷重，因此：

水平平衡則得：

由節點 $A$ 的水平平衡，並利用 $45^\circ$ 斜桿分力，可得 $N_{AB}=P/2$，故 $N_{BC}=P/2$。節點 $A$ 的垂直平衡進一步給出左外側豎桿：

在左側中間斜桿交會節點 $I$，以 $N_{FI}$、$N_{IC}$、$N_{AI}$ 表示三支斜桿軸力。由水平及垂直平衡：

因此：

由節點 $F$ 平衡，得：

中央上方節點 $G$ 的豎桿為零力桿，且水平平衡得 $N_{GH}=N_{FG}=-3P/4$。中央下方節點 $C$ 的垂直平衡給出：

而其水平平衡及前述 $N_{IC}=\sqrt2P/4$，可得：

核心觀念

本題考直接勁度法：先由「軸向變形忽略」建立節點位移限制，再將各桿件的彎曲勁度與水平桿 $BC$ 的均佈載重組成勁度方程。以下令 $W$ 為單位長度載重，向上位移及逆時針旋轉為正。

解題方法

令 $u_B,v_B,u_C,v_C$ 分別為 $B,C$ 點的水平及垂直位移。$AB$、$CD$ 的軸向變形為零，且水平桿 $BC$ 的軸向變形為零，因此：

故四個平移量相等，記為 $q$：

令 $x=q/L$，並以 $\theta_B,\theta_C$ 表示兩節點轉角。斜桿的局部橫向位移皆為 $\sqrt{2}q$。將三根桿件的彎曲勁度轉換至這組自由度後，勁度方程可寫成：

右側為 $BC$ 上向下均佈載重的等效節點力與固定端彎矩，已依 $x=q/L$ 的自由度作功換算。除以 $EI/L$，令 $\lambda=WL^3/EI$，得到：

核心觀念

這題要求繪製 B 點彎矩影響線與 B 點支承反力影響線。令一個向下的單位荷重沿梁移動，逐一計算荷重位置改變時的 $M_B$ 與 $R_B$。

取向上反力為正，彎矩以正彎矩（下緣受拉）為正。以下以 $M_B<0$ 表示 B 點為負彎矩；支承反力影響線的縱座標為無因次值，彎矩影響線的縱座標單位為長度。

解題方法

採用三彎矩定理求移動單位荷重造成的 B 點彎矩，再由靜力平衡求 B 點反力。圖中兩跨均為 $L$，且 $EI$ 相同；A、C 端彎矩為零。

若單位荷重位於任一跨，令該跨內的荷重距離為 $a$。該跨視為簡支梁時，彎矩圖面積及其形心位置為

因此

三彎矩定理對兩等跨梁給出

所以

B 點彎矩影響線

單位荷重位於 AB 跨

令 $t=x/L$，其中 $0\le t\le1$。此時 $a=tL$，故

因此，AB 跨上的彎矩影響線由 A 點的 $0$ 下降為負值，再於 B 點回到 $0$。

單位荷重位於 BC 跨

令 $s=(x-L)/L$，其中 $0\le s\le1$。此時荷重距離 C 點為 $(1-s)L$，故

BC 跨上的影響線由 B 點的 $0$ 下降為負值，再於 C 點回到 $0$。

B 點支承反力影響線

以下 $m=M_B/L$ 表示 B 點彎矩影響線的無因次形式。

單位荷重位於 AB 跨

由 AB 跨對 B 點取彎矩：

核心觀念

桁架穩定與靜不定度，先以桁架計數式檢查：

• 二維平面桁架：$m+r-2j$
• 三維空間桁架：$m+r-3j$

其中 $m$ 為桿件數，$r$ 為支承反力分量數，$j$ 為節點數。計數結果是判斷靜定性的必要依據；若構架幾何上有機構，仍須依實際桿件配置判斷穩定性。

本題按圖示支承判讀：三維圖底部 $A、B、C、D$ 各為空間鉸支承，每處提供三個反力分量；二維圖 $A、C$ 為鉸支承，各提供兩個反力分量。纜索只受拉，判斷纜索數量時須留意其受力方向與是否鬆弛。

解題方法

（一）三維空間桁架

圖中有 $8$ 個節點、$12$ 根原有桿件；$A、B、C、D$ 四處支承提供 $r=4(3)=12$ 個反力分量。因此：

雖然計數結果為零，原結構仍是立方體框架。立方體的側面是未加斜撐的四邊形，框架可發生剪切變形，因此幾何上不穩定；計數式不能取代幾何穩定判斷。

底面四個節點已受支承約束。考察上方 $E、F、G、H$ 四節點：四根立柱各提供一個約束，頂面四根周邊桿再提供四個約束，共有 $12$ 個自由度約束中的 $8$ 個，尚有 $4$ 個機構自由度。因此最少需加 4 根桿件。

可在四個側面各加一根斜桿，例如加在 $ABFE、BDHF、DCGH、CAEG$ 四個側面。每個側面因此形成三角形，消除四個剪切機構。

穩定後共有 $m=12+4=16$ 根桿件，故：