106 臺灣港務公司招考員級 電機 台灣港務 第2次從業人員甄試 基本電學 考古題詳解

第 1 題

(1) 求端點 $a$ 與 $a'$ 間等效電阻

核心觀念

本題考查：

• 導線直接相連的節點具有相同電位。
• 並聯電阻： $R_{\parallel}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$
• 串聯電阻： $R_{\mathrm{s}}=R_1+R_2$

圖中每個電阻均為 $2\,\mathrm{k}\Omega$。

解題方法

左側上方節點與下方導線直接相連，因此左側節點與 $a'$ 為同一節點。

1. 中間節點至下方節點有兩個 $2\,\mathrm{k}\Omega$ 電阻並聯：

2. 右上節點 $a$ 至下方節點有兩個 $2\,\mathrm{k}\Omega$ 電阻並聯：

• 圖上方的 $2\,\mathrm{k}\Omega$
• 右側垂直的 $2\,\mathrm{k}\Omega$

因此：

3. 中間節點至 $a$ 之間的電阻為 $2\,\mathrm{k}\Omega$，故另一條路徑為：

4. 此 $3\,\mathrm{k}\Omega$ 路徑與 $R_2=1\,\mathrm{k}\Omega$ 並聯：

因此：

$\boxed{R_{\mathrm{eq}}=0.75\,\mathrm{k}\Omega=750\,\Omega}$

解題技巧

判斷圖形時，先沿著理想導線合併同一節點，再判斷電阻是否具有相同的兩端節點。圖中左側垂直導線使左上節點與 $a'$ 等電位，這是本題化簡的關鍵。

(2) 求諾頓等效電路

核心觀念

諾頓等效電路由下列兩部分組成：

• 諾頓電流 $I_N$：輸出端短路時的短路電流。
• 諾頓電阻 $R_N$：將獨立電壓源關閉後，由輸出端看入的等效電阻。

獨立電壓源關閉時，理想電壓源以短路代替。

解題方法一：求諾頓電阻 $R_N$

將電壓源 $v_s(t)$ 短路後，中間節點至下方節點有兩個 $R$ 並聯：

$R\parallel R=\frac{R}{2}$

由輸出端往左看，右側串聯電阻 $R$ 再接上上述並聯電阻，因此：

解題方法二：求諾頓電流 $I_N$

將輸出端短路。此時右側串聯電阻 $R$ 也形成一條接地支路，中間節點至下方節點有兩個 $R$ 並聯。

中間節點電壓為：

短路電流即流經右側電阻 $R$ 的電流：

核心觀念

本題考查基爾霍夫電流定律（KCL）、節點電壓法與歐姆定律。

先依電壓源極性設定節點電壓：

• 左側下方節點設為接地，電位為 $0\text{ V}$
• $50\text{ V}$ 電壓源上端電位為 $50\text{ V}$
• $10\text{ V}$ 電壓源負端接左、正端接右，因此 $V_b=10\text{ V}$

設中間上方節點電壓為 $V_x$，負載上端節點 $a$ 電壓為 $V_a$。

負載電流方向由 $a$ 往 $b$ 向下，因此由歐姆定律：

$I_L=\frac{V_a-V_b}{R_L}$

解題方法

1. 對節點 $x$ 寫 KCL

流出節點 $x$ 的電流總和等於電流源注入的 $1.5\text{ A}$：

$\frac{V_x-50}{10}+\frac{V_x-V_a}{10}=1.5$

整理得：

2. 對節點 $a$ 寫 KCL

節點 $a$ 的電流分別流向節點 $x$、$b$ 及負載：

$\frac{V_a-V_x}{10}+\frac{V_a-10}{20}+\frac{V_a-10}{5}=0$

全式乘以 $20$：

$2(V_a-V_x)+(V_a-10)+4(V_a-10)=0$

整理得：

3. 聯立求節點電壓

由式 $(1)$：

$V_a=2V_x-65$

代入式 $(2)$：

$7(2V_x-65)-2V_x=50$

$12V_x=505$

$V_x=42.083\text{ V}$

因此：

$V_a=2(42.083)-65=19.167\text{ V}$

4. 計算負載電流

$I_L=1.833\text{ A}$

選項分析

第 3 題

(1) 反相放大器

核心觀念

本題考查理想運算放大器的反相放大器電路。運算放大器具有：

• 輸入端電流近似為 $0$
• 負回授作用下，反相端電壓等於正相端電壓，稱為虛短路
• 正相端接地，因此反相端為虛地，電壓為 $0\text{ V}$

反相放大器的電壓增益公式為：

解題方法

已知：

因此：

負號表示輸出電壓與輸入電壓反相。

此結果以運算放大器工作在線性區、且電源電壓足以支應 $-75\text{ V}$ 為前提。若實際電源電壓不足，輸出會受電源電壓限制而飽和。

解題技巧

看到「正相端接地、輸入經電阻接反相端、輸出經電阻回授」即可直接判定為反相放大器，增益為：

其中回授電阻較輸入電阻大 $15$ 倍，所以輸出大小為輸入的 $15$ 倍，且相位反轉。

【答案】$V_o=-75\text{ V}$

(2) 非反相放大器

核心觀念

本題考查非反相放大器。輸入訊號接至正相輸入端，輸出端經由電阻分壓回授至反相輸入端。

非反相放大器的電壓增益公式為：

其中：

• $R_2$ 為輸出端至反相端的回授電阻
• $R_1$ 為反相端至地的電阻

解題方法

已知：

核心觀念

本題考查：

• 串聯與並聯電阻的等效化簡。
• 歐姆定律：$V=IR$。
• 串聯電路的總電流相同。
• 並聯電路各支路兩端電壓相同。
• 電壓極性依圖中標示判定。

其中 $R_2$、$R_3$ 並聯後，再與 $R_1$ 串聯。

解題方法

先求 $R_2$ 與 $R_3$ 的並聯等效電阻：

因此全電路總電阻為：

流經 $R_1$ 的總電流為：

由於 $R_1$ 與並聯組合串聯，$R_1$ 兩端電壓即為：

並聯組合 $b$、$c$ 兩端的電壓為：

也可由克希荷夫電壓定律驗算：

因為 $R_2$、$R_3$ 並聯，兩者端電壓皆為 $V_{bc}=19.2\text{ V}$，所以：

支路電流驗算：

核心觀念

本題考查交流串聯 $R$-$L$ 電路的相量分析：

• 電阻阻抗：$Z_R=R$
• 電感阻抗：$Z_L=jX_L$
• 串聯總阻抗為各阻抗相加： $Z_T=R+jX_L$
• 歐姆定律： $I=\frac{E}{Z_T}$
• 電阻電壓與電流同相；電感電壓超前電流 $90^\circ$。
• 感性電路的功率因數為滯後。

解題方法

1. 求總阻抗 $Z_T$

已知：

$R=5\text{ k}\Omega,\qquad X_L=12\text{ k}\Omega$

因此：

$Z_T=R+jX_L=5+j12\text{ k}\Omega$

換成極座標：

$|Z_T|=\sqrt{5^2+12^2}=13\text{ k}\Omega$

$\theta_Z=\tan^{-1}\left(\frac{12}{5}\right)=67.38^\circ$

所以：

$\boxed{Z_T=13\angle 67.38^\circ\text{ k}\Omega}$

2. 求電流 $I$

電壓源為：

$E=26\angle0^\circ\text{ V}$

由相量歐姆定律：

$\boxed{I=2\angle-67.38^\circ\text{ mA}}$

直角座標表示為：

$I=0.769-j1.846\text{ mA}$

3. 求電阻電壓 $V_R$

電阻電壓為：

$V_R=IR$

$V_R=(2\angle-67.38^\circ)(5)\text{ V}$

因此：

$\boxed{V_R=10\angle-67.38^\circ\text{ V}}$

4. 求電感電壓 $V_L$

電感阻抗為：

$Z_L=jX_L=12\angle90^\circ\text{ k}\Omega$

因此：

$V_L=IZ_L$

$V_L=(2\angle-67.38^\circ)(12\angle90^\circ)\text{ V}$

$\boxed{V_L=24\angle22.62^\circ\text{ V}}$

電阻與電感電壓相量相加應等於電源電壓：

$V_R+V_L=26\angle0^\circ\text{ V}$

5. 求功率因數

串聯 $R$-$L$ 電路的功率因數為：

$\cos\phi=\frac{R}{|Z_T|}$

$\cos\phi=\frac{5}{13}=0.3846$