106 臺灣港務公司招考員級 電機 第1次從業人員 基本電學 考古題詳解

核心觀念

本題考查戴維寧等效電路與最大功率傳輸定理。

將負載電阻 $R$ 兩端的外部電路化為戴維寧等效電路：

• 戴維寧電壓：$V_{\text{th}}=V_{ab}$（移除負載 $R$ 後的開路電壓）
• 戴維寧電阻：$R_{\text{th}}$（將獨立電壓源短路、獨立電流源開路後，由 $a$、$b$ 端看入的等效電阻）
• 最大功率傳輸條件：

最大負載功率為：

解題方法

1. 求開路電壓 $V_{\text{th}}$

先將負載電阻 $R$ 移除。

因為端點 $a$ 開路，通往 $4\Omega$ 電阻的支路沒有電流，因此 $4\Omega$ 電阻上的電壓降為 $0$。

同理，端點 $b$ 經由 $6\Omega$ 電阻連接到底部節點，但該支路沒有閉合電流，因此 $6\Omega$ 電阻上的電壓降也為 $0$。故可令底部節點與 $b$ 點電位相同。

左側 $10\text{ A}$ 電流源使中央直立的 $5\Omega$ 電阻流過 $10\text{ A}$，因此中央上方節點與底部節點的電壓差為：

圖中 $100\text{ V}$ 電壓源左端為正、右端為負，因此：

中央上方節點電位為 $50\text{ V}$，故：

又因 $V_b=0$，所以：

其大小為：

2. 求戴維寧電阻 $R_{\text{th}}$

將獨立電流源開路、獨立電壓源短路。

左上方的 $5\Omega$ 電阻因電流源開路而成為懸空支路，不影響 $a$、$b$ 端的等效電阻。

由 $a$ 到 $b$ 的有效路徑為：

因此：

3. 最大功率條件

依最大功率傳輸定理：

最大功率為：

核心觀念

本題考查交流電路中「最大功率傳輸定理」。負載 $Z_L$ 僅能取純電阻 $R_L$，因此必須使負載平均功率最大。

電壓源為

故角頻率 $\omega=1\ \text{rad/s}$，電感抗抗為

電路對負載而言的戴維寧等效阻抗為

其等效電阻與阻抗大小分別為

解題方法

由於負載為純電阻 $R_L$，電路電流的有效值為

原電壓為峰值 $50\ \text{V}$，因此

負載平均功率為

代入得

即

對 $R_L$ 求最大值，可得最大功率條件為

所以

將 $R_L=10\sqrt5$ 代回功率公式：

化簡為

核心觀念

本題考查戴維寧等效電路與交流最大功率傳輸定理。

對負載端而言，原電路可化為：

• 戴維寧等效電壓 $E_{th}$：負載開路時的端電壓。
• 戴維寧等效阻抗 $Z_{th}$：將獨立電壓源短路後，由負載端看入的等效阻抗。
• 交流電路最大功率傳輸條件：

$Z_L=Z_{th}^{*}$

題目寫作 $Z_L=R_L+X_L$，阻抗的標準表示應解讀為：

$Z_L=R_L+jX_L$

解題方法

（1）求 $Z_{th}$ 與 $E_{th}$

令

$Z_1=R_1+Z_{C1}=4-j4\ \Omega$

$Z_2=R_2+Z_{C2}=4-j4\ \Omega$

其中 $Z_1$ 為左側串聯支路，$Z_2$ 為右側串聯支路。

求戴維寧等效電壓 $E_{th}$

負載開路時，電路為 $Z_1$ 與 $Z_2$ 串聯，輸出端電壓等於 $Z_2$ 兩端電壓：

$E_{th}=V_s\frac{Z_2}{Z_1+Z_2}$

由於 $Z_1=Z_2$，因此：

$E_{th}=24\angle0^\circ\cdot\frac{1}{2}$

所以

$\boxed{E_{th}=12\angle0^\circ\ \mathrm{V}}$

求戴維寧等效阻抗 $Z_{th}$

將獨立電壓源 $V_s$ 短路，從負載端看入時，$Z_1$ 與 $Z_2$ 並聯：

$Z_{th}=Z_1\parallel Z_2$

因為兩者相等：

$Z_{th}=\frac{4-j4}{2}$

因此

$\boxed{Z_{th}=2-j2\ \Omega}$

亦可表示為極座標形式：

$\boxed{Z_{th}=2\sqrt{2}\angle-45^\circ\ \Omega}$

（2）負載最大功率

戴維寧阻抗為：

$Z_{th}=R_{th}+jX_{th}=2-j2\ \Omega$

因此最大功率傳輸時，負載必須為其共軛複數：

$Z_L=Z_{th}^{*}=2+j2\ \Omega$

所以可調負載元件應設定為：

$\boxed{R_L=2\ \Omega,\qquad X_L=2\ \Omega}$

戴維寧等效電路中的最大負載功率為：

$P_{\max}=\frac{|E_{th}|^2}{4R_{th}}$

代入 $|E_{th}|=12\ \mathrm{V}$、$R_{th}=2\ \Omega$：

核心觀念

本題考查三相平衡電路、Y 接負載及相量法。

由圖可知，每一相電源內阻為 $R=4\ \Omega$，負載為：

$Z_Y=4+j8\ \Omega$

三相負載平衡，因此三相電流大小相等、相位互差 $120^\circ$，且：

$I_A+I_B+I_C=0$

所以中性線電阻 $R_X=50\ \Omega$ 中沒有電流，負載中性點 $n$ 與電源中性點 $N$ 等電位。每一相可直接視為電源相電壓串聯 $R+Z_Y$。

解題方法

每相總阻抗為：

$Z_{\text{相}}=R+Z_Y=4+(4+j8)=8+j8\ \Omega$

將其化為極座標：

$Z_{\text{相}}=8\sqrt{2}\angle45^\circ\ \Omega$

因此各相電流分別為：

A 相電流

矩形式為：

$I_A=60-j60\ \text{A}$

B 相電流

矩形式為：

$I_B\approx21.96+j81.96\ \text{A}$

C 相電流

矩形式為：

$I_C\approx-81.96-j21.96\ \text{A}$

由三相平衡性：

$I_A+I_B+I_C=0$

故：

$I_{R_X}=0$

三相系統電源提供之總功率

每一相電流有效值平方為：

$|I|^2=(84.85)^2=7200\ \text{A}^2$

每相總阻抗的電阻部分為：

$R+\operatorname{Re}(Z_Y)=4+4=8\ \Omega$

因此每相消耗的有功功率為：

三相總有功功率：

其中：

• 三相線路電阻消耗功率：

$P_R=3(84.85)^2(4)=86.4\ \text{kW}$

• 三相負載電阻消耗功率：

核心觀念

本題考查惠斯登電橋的平衡條件，以及串聯、並聯電阻的等效化簡。

若電橋平衡，則中間支路 $R_5$ 無電流通過，條件為：

此時可將左右兩支路分別視為串聯電路，再彼此並聯。

解題方法

1. 先求各電阻

由題意：

已知 $R_1=10\ \Omega$，因此：

所以：

2. 判斷電橋是否平衡

檢查比例：

兩者相等，因此電橋平衡，中間電阻 $R_5$ 兩端電位相同：

所以 $R_5$ 不影響電源端所見的等效電阻。

3. 求等效電阻

左側支路為：

右側支路為：

兩支路並聯，因此：

4. 求流經 $R_1$ 與 $R_2$ 的電流

左側支路電流即為流經 $R_1$ 的電流：