110 關務升官等考試簡任 技術類（選試機械設計學研究） 機械設計學研究 考古題詳解

110 年・關務升官等考試・簡任・技術類（選試機械設計學研究）
試題代碼 機械設計學研究

第 一 題25 分

如圖所示，裝有一小齒輪之實心圓軸，右端標示位置處裝有一大齒輪（圖中未呈現）。小齒輪施加 FA=9800 NF_A=9800\ \mathrm{N}、大齒輪施加 FB=5400 NF_B=5400\ \mathrm{N} 之負載於軸上（均為 −y-y 方向）。

動力由大齒輪輸入、小齒輪輸出，輸入功率 P=20 kWP=20\ \mathrm{kW}，圓軸轉速 n=500 rpmn=500\ \mathrm{rpm}。

軸之配置如下：軸承 1 位於 OO 點，軸承 2 位於 BB 點；小齒輪位於 AA 點，CC 點位於 AA 與 BB 之間。各點距離為 OA=75 mmOA=75\ \mathrm{mm}、AC=75 mmAC=75\ \mathrm{mm}、CB=45 mmCB=45\ \mathrm{mm}。大齒輪安裝於 BB 點右端標示位置。軸徑均為 dd。

假設軸材料之降伏強度 Sy=485 MPaS_y=485\ \mathrm{MPa}，考慮安全係數 N=1.5N=1.5，試計算 CC 處承受之最大彎矩 MCM_C；並基於「最大剪應力理論」，且不考慮應力集中影響下，決定軸徑 dd 不發生靜態破壞之最小尺寸（無條件進位至整數）。

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核心觀念

本題考查軸的受力分析，以及實心圓軸同時承受彎曲與扭轉時的靜態強度設計。題目指定採用最大剪應力理論（Tresca），因此需將彎曲正應力與扭轉剪應力合成，並與材料的容許剪應力比較。

依原圖判讀，軸承 1 在 OO 點、軸承 2 在 CC 點，大齒輪負載 FBF_B 作用於 BB 點；圖示尺寸為 OA=75 mmOA=75\ \mathrm{mm}、AC=75 mmAC=75\ \mathrm{mm}、CB=45 mmCB=45\ \mathrm{mm}。題幹文字若將軸承 2 寫在 BB 點，會與原圖不符；以下依原圖受力配置計算。

解題方法

先以 OO、CC 兩處軸承反力建立梁的平衡式，再求 CC 截面的彎矩。接著由功率與轉速求傳遞扭矩，將彎曲與扭轉應力依最大剪應力理論合成，求軸徑下限。

計算彎矩與扭矩

令軸承反力為 ROR_O、RCR_C，向上為正。垂直力平衡：

RO+RC=9800+5400=15200 NR_O+R_C=9800+5400=15200\ \mathrm{N}

以 OO 點取力矩，BB 點距 OO 為 75+75+45=195 mm75+75+45=195\ \mathrm{mm}：

RC(150)−9800(75)−5400(195)=0R_C(150)-9800(75)-5400(195)=0 RC=11920 N,RO=3280 NR_C=11920\ \mathrm{N},\qquad R_O=3280\ \mathrm{N}

在 CC 截面取右側自由體，右側只有 FBF_B，其力臂為 45 mm45\ \mathrm{mm}，故：

MC=5400(45)=243000 N mm=243 N mM_C=5400(45)=243000\ \mathrm{N\,mm} =243\ \mathrm{N\,m}

傳遞扭矩由 P=TωP=T\omega 求得：

T=P2πn/60=200002π(500/60)=381.97 N m=381970 N mmT=\frac{P}{2\pi n/60} =\frac{20000}{2\pi(500/60)} =381.97\ \mathrm{N\,m} =381970\ \mathrm{N\,mm}

以最大剪應力理論求軸徑

實心圓軸的彎曲正應力與扭轉剪應力為：

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第 二 題25 分

若已選擇某一型號之單列深槽滾珠軸承（內圈旋轉），其基本額定動載荷 C=52 kNC=52\ \mathrm{kN}、基本額定靜載荷 C0=36 kNC_0=36\ \mathrm{kN}，徑向及軸向負荷因子 XX 及 YY 可由下表查詢。

此軸承將用以承載 Fr=4500 NF_r=4500\ \mathrm{N} 之徑向負荷和 Fa=1800 NF_a=1800\ \mathrm{N} 之軸向負荷，欲在工作轉速 n=1000 rpmn=1000\ \mathrm{rpm} 下達到 1000010000 小時之 L10L_{10} 疲勞壽命需求（可靠度 90%90\%），在不考慮幾何及其他工作環境因素下，試評估該軸承是否合適？

負荷因子查詢表：

Fa/C0F_a/C_0XX（當 Fa/Fr>eF_a/F_r>e）YY（當 Fa/Fr>eF_a/F_r>e）ee
0.0140.562.300.19
0.0280.561.990.22
0.0560.561.710.26
0.0840.561.550.28
0.1100.561.450.30
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核心觀念

單列深槽滾珠軸承的 L10L_{10} 疲勞壽命，以百萬轉表示時為

L10=(CP)3L_{10}=\left(\frac{C}{P}\right)^3

其中 CC 是基本額定動載荷，PP 是等效動載荷。內圈旋轉時，旋轉因子 V=1V=1；當軸向與徑向負荷比 Fa/FrF_a/F_r 大於表列的 ee，等效動載荷為

P=XFr+YFaP=XF_r+YF_a

L10L_{10} 表示可靠度為 90%90\% 時的疲勞壽命。

解題方法與計算

先計算兩項表列比值：

FaC0=180036000=0.050\frac{F_a}{C_0}=\frac{1800}{36000}=0.050 FaFr=18004500=0.400\frac{F_a}{F_r}=\frac{1800}{4500}=0.400

Fa/C0=0.050F_a/C_0=0.050 落在表中 0.0280.028 與 0.0560.056 之間，對 YY 與 ee 作線性內插。內插比例為

0.050−0.0280.056−0.028=1114\frac{0.050-0.028}{0.056-0.028}=\frac{11}{14}

因此

Y=1.99+(1.71−1.99)1114=1.77Y=1.99+(1.71-1.99)\frac{11}{14}=1.77 e=0.22+(0.26−0.22)1114≈0.251e=0.22+(0.26-0.22)\frac{11}{14}\approx0.251
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第 三 題25 分

有一平行軸圓柱螺旋齒輪組如下圖。主動軸之轉速 n1=1500 rpmn_1=1500\ \mathrm{rpm}、功率 P=2.0 kWP=2.0\ \mathrm{kW}。由右側觀察，主動軸以順時針旋轉。

已知主動輪齒數 z1=17z_1=17 齒、從動輪齒數 z2=37z_2=37 齒，兩齒輪之法向模數 mn=2 mmm_n=2\ \mathrm{mm}、節圓螺旋角 β=9∘\beta=9^\circ、法向節圓壓力角 αn=20∘\alpha_n=20^\circ。

試計算從動輪之扭矩 T2T_2 及齒輪標準中心距 AA。

若兩齒輪以標準中心距組裝，試求主動輪所受軸向力 FaF_a、徑向力 FrF_r 及切向力 FtF_t 之大小及方向（依圖中座標系統說明方向）。

圖示資訊：主動軸由右側觀察，座標系統之 xx 軸與 yy 軸如圖所示；主動軸兩側設有軸承，主動輪安裝於主動軸上。

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核心觀念

本題考平行軸斜齒輪的傳動比、標準中心距，以及主動輪的切向力、徑向力與軸向力分解。法向模數與法向壓力角須先換算成端面（橫向）參數：

mt=mncos⁡β,tan⁡αt=tan⁡αncos⁡βm_t=\frac{m_n}{\cos\beta},\qquad \tan\alpha_t=\frac{\tan\alpha_n}{\cos\beta}

其中 mtm_t 為端面模數，αt\alpha_t 為端面壓力角。標準中心距與齒輪節圓直徑為

A=mt(z1+z2)2,d1=mtz1A=\frac{m_t(z_1+z_2)}{2},\qquad d_1=m_tz_1

齒輪傳動忽略損失時，功率相同，扭矩則依齒數比成比例變化。

解題方法

先由輸入功率與主動軸轉速求主動輪扭矩：

T1=9550Pn1=9550(2.0)1500=12.73 N⋅mT_1=\frac{9550P}{n_1} =\frac{9550(2.0)}{1500} =12.73\ \mathrm{N\cdot m}

從動輪轉速比為 n2/n1=z1/z2n_2/n_1=z_1/z_2，因此其扭矩為

T2=T1z2z1=12.733717=27.68 N⋅mT_2=T_1\frac{z_2}{z_1} =12.73\frac{37}{17} =27.68\ \mathrm{N\cdot m}

法向模數換算為端面模數：

mt=2cos⁡9∘=2.0249 mmm_t=\frac{2}{\cos9^\circ}=2.0249\ \mathrm{mm}

故標準中心距為

A=2.0249(17+37)2=54.67 mmA=\frac{2.0249(17+37)}{2} =54.67\ \mathrm{mm}

接著求主動輪節圓直徑與端面壓力角：

d1=mtz1=2.0249(17)=34.42 mmd_1=m_tz_1=2.0249(17)=34.42\ \mathrm{mm} αt=tan⁡−1(tan⁡20∘cos⁡9∘)≈20.22∘\alpha_t =\tan^{-1}\left(\frac{\tan20^\circ}{\cos9^\circ}\right) \approx20.22^\circ
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第 四 題25 分

有一直徑 d=65 mmd=65\ \mathrm{mm} 之轉軸，與一皮帶輪透過兩個方鍵（寬 16 mm×16\ \mathrm{mm}\times 高 16 mm16\ \mathrm{mm}）結合。

已知轉軸材料之降伏強度 Sy1=450 MPaS_{y1}=450\ \mathrm{MPa}、皮帶輪材料之降伏強度 Sy2=580 MPaS_{y2}=580\ \mathrm{MPa}、方鍵材料之降伏強度 Sy3=300 MPaS_{y3}=300\ \mathrm{MPa}。

此轉軸之轉速 n=225 rpmn=225\ \mathrm{rpm}、傳遞動力 P=134 kWP=134\ \mathrm{kW}。若此軸僅受純扭矩，試在安全係數 N=2N=2 下決定鍵之長度（請四捨五入至最接近整數）。

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核心觀念

本題考查方鍵傳遞扭矩時的強度設計。鍵可能因剪力而破壞，也可能因鍵側面承受擠壓而造成鍵、軸或皮帶輪材料降伏。設計時須分別檢核這些失效模式，並以所需鍵長中的最大值作為設計長度。

兩個方鍵平均分擔扭矩；方鍵寬度 b=16 mmb=16\ \mathrm{mm}、高度 h=16 mmh=16\ \mathrm{mm}。安全係數 N=2N=2，各材料的容許剪應力與容許正應力依降伏強度除以安全係數計算。

解題方法

先由功率與轉速求軸所傳遞的扭矩：

T=Pω=134 0002π(225/60)=5 687.4 N⋅m=5.6874×106 N⋅mmT=\frac{P}{\omega} =\frac{134\,000}{2\pi(225/60)} =5\,687.4\ \mathrm{N\cdot m} =5.6874\times10^6\ \mathrm{N\cdot mm}

兩個鍵平均分擔扭矩，因此每個鍵傳遞的扭矩為 T/2T/2。鍵作用半徑為 d/2d/2，故每個鍵所受切向力為

F=T/2d/2=Td=5.6874×10665=87 498 NF=\frac{T/2}{d/2}=\frac{T}{d} =\frac{5.6874\times10^6}{65} =87\,498\ \mathrm{N}

一、鍵的剪應力檢核

每個鍵的剪切面積為 bLbL，其中 LL 為鍵長。剪應力為

τ=FbL\tau=\frac{F}{bL}

鍵材料的容許剪應力採最大剪應力理論，降伏時 τy=Sy3/2\tau_y=S_{y3}/2，因此

τallow=Sy32N=3002(2)=75 MPa\tau_{\mathrm{allow}}=\frac{S_{y3}}{2N} =\frac{300}{2(2)} =75\ \mathrm{MPa}

令 τ≤τallow\tau\leq\tau_{\mathrm{allow}}：

L≥Fbτallow=87 49816(75)=72.9 mmL\geq\frac{F}{b\tau_{\mathrm{allow}}} =\frac{87\,498}{16(75)} =72.9\ \mathrm{mm}

二、鍵、軸與皮帶輪的承壓檢核

鍵側面承壓的投影面積為 (h/2)L(h/2)L。軸與皮帶輪在鍵槽側面的承壓容許應力，分別以各自材料的降伏強度除以安全係數：

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