112 關務升官等考試簡任 技術類（選試機械設計學研究） 機械設計學研究 考古題詳解

核心觀念

本題考螺旋齒輪的法向與橫向尺寸換算，以及複合齒輪減速箱的轉速比、扭力比。

螺旋角 $\beta$ 下，法向模數 $m_n$ 與橫向模數 $m_t$ 的關係為

橫向圓節為

兩組外嚙合齒輪串接，且齒輪 2 與齒輪 3 固聯於同一軸時，輸出轉速與輸入轉速的關係為

若忽略傳動損失，功率守恆，因此輸出扭力可由輸入扭力乘上減速比求得。

解題方法與計算

（一）齒輪 2 的橫向圓節

已知 $m_n=2\ \mathrm{mm}$、$\beta=15^\circ$，先換算橫向模數：

因此橫向圓節為

（二）齒輪 4 所固聯之輸出軸扭力

齒輪 1 帶動齒輪 2，齒輪 2 與齒輪 3 同軸；齒輪 3 再帶動齒輪 4。因此總減速比為

核心觀念

本題考查旋轉彎曲疲勞試驗中，試棒在單一方向、固定大小的彎矩作用下，表面材料隨試棒旋轉而交替承受拉應力與壓應力，因而產生的典型疲勞破壞斷面，以及疲勞裂縫從萌生到最終破裂的三個階段。

對圓形試棒施加固定方向彎矩時，試棒表面的材料點每轉半圈便由拉伸側轉至壓縮側，故該材料點承受近似完全反覆的彎曲應力：

其中 $M$ 為彎矩，$c$ 為試棒外表面至中性軸的距離，$I$ 為截面二次矩。圓形試棒實心截面直徑為 $d$ 時：

彎曲應力在外表面最大、中心軸為零，因此疲勞裂縫通常由表面開始，逐步向內擴展，最後由剩餘截面承受過大應力而瞬間破裂。

解題方法與典型斷面

作答時先畫出試棒的圓形破壞斷面，再依裂縫由外向內的擴展方向標示三個區域：裂縫萌生區、疲勞裂縫漸進擴展區、瞬間最終破裂區。典型斷面可示意如下：

 試棒表面
 ___________________
 .-' '-.
 .' ① 裂縫萌生區 '.
 / • 起裂點 \
 | )))))))))) ② 疲勞裂縫區 |
 | )) 擴展紋／海灘紋 )) |
 | )) )) |
 | )) ③ 瞬間破裂區 )) |
 \ )) 粗糙、顆粒狀斷面 /
 '. .'
 '-.___________________.-'
 ↑
 裂縫由表面向內擴展

示意圖呈現的是典型形貌，實際斷面上的區域形狀及比例會受材料、表面狀況、載荷大小與裂縫擴展方向影響。

第一階段：裂縫萌生

核心觀念

本題以固定端截面上方的 $A$ 點為危險點，將軸向力造成的正應力、橫向力造成的彎曲正應力，以及扭矩造成的剪應力合併，再用最大畸變能理論（von Mises 準則）求等效應力與安全係數。

由圖可判定 $A$ 位於圓棒截面的上緣，故 $y=+c$、$z=0$，其中 $c=d/2=15\ \mathrm{mm}$。向下的 $F$ 在固定端造成彎矩，使上緣受拉；軸力 $P$ 也為拉力，因此兩者的正應力相加。

解題方法與計算

圓棒直徑 $d=30\ \mathrm{mm}$，固定端至 $F$ 作用點的距離為 $L=100\ \mathrm{mm}$。

截面積、截面二次矩及極慣性矩為：

軸力 $P=10\ \mathrm{kN}$ 造成的軸向正應力為：

橫向力 $F=1.5\ \mathrm{kN}$ 在固定端造成的彎矩為：

在 $A$ 點，彎曲正應力為：

核心觀念

平面四連桿的葛氏判別式為：令最短桿長為 $s$、最長桿長為 $l$，其餘兩桿長為 $p、q$，則：

• $s+l\leq p+q$：葛氏機構，至少有一桿可作整周轉動。
• $s+l>p+q$：非葛氏機構，四桿皆不能整周轉動。

本題已知為「三搖桿之非葛氏機構」，因此固定桿兩側的連桿在可裝配的極限位置，會形成兩種共線情形。利用三角不等式分別求出桿 3 的長度界限，再套用非葛氏條件。

解題方法

設桿 3 長度為 $x$ cm。四桿長度為 $20、15、x、18$ cm，桿 1（$20$ cm）為固定桿。

要形成非退化的平面四連桿，任一桿長必須小於其餘三桿長度總和。對桿 1 而言：

此條件給出 $x>-13$，對正長度 $x>0$ 不構成額外限制。

在三搖桿機構中，桿 2 與桿 4 相對於固定桿擺動時，兩者的極限位置對應到桿 2、桿 3、桿 4 共線。依桿 3 位於兩側的兩種共線排列，可得：

以及

因此，能維持三搖桿構形的桿 3 長度須落在兩極限值之間：