110 公務人員升官等薦任 衛生技術 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考查常態分布的標準化、百分位數，以及樣本平均數的抽樣分布；最後一小題則使用二項分布。

若個體出生體重 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，標準分數為：

樣本數為 $n$ 時，若母群體為常態分布，樣本平均數 $\bar X$ 也服從常態分布：

題目給定 $\mu=3500$ 克、$\sigma=430$ 克。另已知標準常態分布右尾機率 $P(Z\geq 2.33)=0.010$、$P(Z\geq 1.645)=0.05$、$P(Z\geq 5.21)=0.000$。

解題方法與計算

（一）個別新生兒體重小於 2500 克的機率

先將 2500 克標準化：

因此：

標準常態分布對稱，所以 $P(Z<-2.33)=P(Z\geq 2.33)$。依題目所給資料：

機率約為 1.0%。

（二）出生體重分布最低 5% 的體重值

最低 5% 是第 5 百分位數。標準常態分布的左尾 5% 對應 $z=-1.645$，故：

解得：

因此，最低 5% 的體重界值約為：

（三）樣本數為 5 的樣本平均數分布最低 5% 的平均體重值

樣本平均數的標準誤為：

樣本平均數分布的最低 5% 對應 $z=-1.645$：

所以：

核心觀念

本題考查單一母體平均數的左尾檢定，以及型二誤差 $\beta$ 與檢定力的計算。題目提供母體標準差 $\sigma=41$，因此以已知母體標準差的 $Z$ 檢定處理。

未患冠心病男性的平均膽固醇水平預期低於患病者的平均水平。題目以 $244\ \mathrm{mg}/100\ \mathrm{ml}$ 作為虛無假設下的平均值，因此檢定方向為左尾。型二誤差是「真實平均值低於虛無假設所設的平均值，檢定卻未拒絕虛無假設」的機率；檢定力則為 $1-\beta$。

解題方法與計算

（一）虛無假設與對立假設

令 $\mu$ 為未患冠心病男性的母群體平均血清膽固醇水平。依題意，檢定未患冠心病者的平均值是否低於假設值 $244$：

這是左尾檢定，顯著水準 $\alpha=0.05$。

（二）計算型二誤差機率

樣本數 $n=25$，故樣本平均數的標準誤為：

左尾檢定在 $\alpha=0.05$ 下，臨界 $Z$ 值為 $-1.645$。因此拒絕域為：

也就是樣本平均數低於約 $230.51$ 時拒絕 $H_0$。題目指定真實平均數為 $\mu=219$，型二誤差是此真實平均數下未能拒絕 $H_0$ 的機率：

因此型二誤差約為 $0.081$，即 $8.1\%$。相對應的檢定力約為 $1-\beta=0.919$，即 $91.9\%$。

（三）降低型二誤差的方法

核心觀念

本題是配對病例對照資料：127 名心臟驟停患者各自與一名健康者配對。由於資料有配對關係，檢定退休狀態與心臟驟停的關聯，應比較每一對中退休狀態不一致的情形，使用 McNemar 檢定；不能直接把四格表當成兩組互相獨立的資料做一般卡方檢定。

依表格定義不一致配對：

• 健康者退休、心臟驟停者未退休：$b=12$
• 健康者未退休、心臟驟停者退休：$c=20$

兩者都退休或都未退休的配對，不提供 McNemar 檢定的比較資訊。

（一）退休狀態與心臟驟停的關聯檢定

虛無假設為配對中兩種相反的不一致情形機率相同，即 $H_0:b=c$；對立假設為 $H_1:b\ne c$。

不作連續性修正的 McNemar 卡方統計量為：

自由度為 1，$p\approx0.157$。在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，$p>0.05$，故不拒絕虛無假設。即沒有足夠統計證據顯示退休狀態與心臟驟停有顯著關聯。

若採連續性修正，統計量為 $(|12-20|-1)^2/32=1.531$，結論仍相同。

（二）退休相對勝算與 95% 信賴區間

題目要求比較「健康者相對於心臟驟停者」的退休勝算。配對勝算比只使用不一致配對：

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸：以懷孕週數 gestage 為解釋變項，以收縮壓 sbp 為反應變項。迴歸線的形式為

其中 $b_1$ 是估計斜率，$b_0$ 是估計截距。檢定母群體斜率是否為 $0$，可判斷懷孕週數與平均收縮壓之間是否有線性關聯。

（一）迴歸方程式與係數解釋

由表中 Parameter Estimate 可得截距估計值 $b_0=10.55207$，斜率估計值 $b_1=1.26438$。因此估計迴歸方程式為

• 估計斜率 $1.26438$：懷孕週數每增加 $1$ 週，低出生體重嬰兒的估計平均收縮壓增加約 $1.26438$ 個收縮壓測量單位。
• 估計截距 $10.55207$：懷孕週數為 $0$ 週時，模型所估計的平均收縮壓為 $10.55207$。但 $0$ 週遠離本研究低出生體重嬰兒資料的實際範圍，因此此截距主要是迴歸線的定位參數，未必有實際解釋價值。

（二）檢定母群體斜率是否為 0

設定雙尾假設：

斜率的檢定統計量為

樣本數為 $100$，簡單線性迴歸的誤差自由度為 $n-2=98$。表中斜率的雙尾 $p$ 值為 $0.005$。