112 公務人員升官等薦任 工業工程 工程統計學與品質管制 考古題詳解

核心觀念

$n p$ 管制圖用於監控每組固定樣本數中的不合格品數。中心線是平均不合格數，管制界限以平均不合格數的標準差計算：

本題每次抽樣的樣本數固定為 $n=600$，適用 $n p$ 管制圖。

解題方法

32 次抽樣的不合格數總和為：

所以不合格率為：

中心線為：

核心觀念

本題考製程能力指標。規格中心為 $1.500$ 英吋，因此：

$C_p$ 衡量製程變異相對於規格寬度的大小，不考慮平均值是否偏心：

$C_{pk}$ 同時考慮製程變異與平均值偏離規格中心的程度：

依題目提供的樣本數據，以樣本平均值 $\bar{x}$ 及樣本標準差 $s$ 代入計算。

解題方法與計算

（一）供應商 C 的 $C_{pk}$

供應商 C 的 $\bar{x}=1.495$、$s=0.0015$：

取兩者較小值：

（二）供應商 A 的 $C_p$

核心觀念

本題考的是常態分配的機率計算與二項分配的應用（常態分配作為二項分配的基礎事件），是工業工程「工程統計學」中「製程能力分析」常見的命題模式。需要用到的核心工具：

1. 常態分配標準化公式：若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，則 $Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$。
2. 標準常態分配表 $\Phi(z) = P(Z \le z)$ 的查表與線性內插技巧。
3. 二項分配公式：將「某事件發生與否」視為白努力試驗（Bernoulli trial），再利用二項分配 $P(Y=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ 計算「在 $n$ 次抽樣中發生 $k$ 次」的機率。

本題的關鍵銜接點是：第(一)小題求出的「單一零件超過某長度的機率」，正是第(二)小題二項分配中的參數 $p$，兩小題環環相扣，這是這類題目的典型出題手法。

解題方法

設 $X$ 為 A001 零件長度，已知 $X \sim N(118, 3.2^2)$，即 $\mu=118$、$\sigma=3.2$。

(一) 求 $P(X>122)$

標準化：

$Z = \frac{X-\mu}{\sigma} = \frac{122-118}{3.2} = \frac{4}{3.2} = 1.25$

因此：

$P(X>122) = P(Z>1.25) = 1-\Phi(1.25)$

查標準常態分配表得 $\Phi(1.25) = 0.8944$，故：

$P(X>122) = 1-0.8944 = 0.1056$

【答案】約 $0.1056$（即 $10.56\%$）

(二) 求「任取四個零件，最多只有一個長度超過 120 公分」之機率

第一步：求單一零件長度超過 120 公分的機率 $p$

$Z = \frac{120-118}{3.2} = \frac{2}{3.2} = 0.625$

標準常態表通常只列到小數點後兩位，故需線性內插：

$\Phi(0.62)=0.7324,\qquad \Phi(0.63)=0.7357$

$\Phi(0.625) \approx \frac{0.7324+0.7357}{2} = 0.73405$

於是：

$p = P(X>120) = P(Z>0.625) = 1-0.73405 = 0.26595 \approx 0.2660$

令 $q = 1-p = 0.7340$。

第二步：建立二項分配模型

核心觀念

本題是有重複試驗的 $2\times2$ 因子實驗，反應值為產量。清洗方式為因子 A，蝕刻方式為因子 B；每一種 A、B 組合各觀察 3 次。

二因子變異數分析將總變異分解為因子 A、因子 B、交互作用 $A\times B$ 及誤差：

主效應以各因子水準的平均數差衡量；交互作用則看一個因子的效果是否會隨另一因子的水準而改變。顯著性以 $F=MS_{\text{因子}}/MS_E$ 判斷。

（一）因子 A、因子 B 的影響及交互作用

先計算各組合平均數及邊際平均數：

總平均數為 $\bar y_{\cdot\cdot}=374/12=31.167$。

• 因子 A：新方法平均數為 $191/6=31.833$，現行方法平均數為 $183/6=30.500$。主效應差為 $31.833-30.500=1.333$。
• 因子 B：新方法平均數為 $202/6=33.667$，現行方法平均數為 $172/6=28.667$。主效應差為 $33.667-28.667=5.000$。
• 交互作用差異中的差異為：

換言之，蝕刻由現行方法改為新方法時，清洗採新方法的平均產量增加 $9.667$；清洗採現行方法時，平均產量增加 $0.333$。兩者差異顯示有交互作用的變化型態。

以平衡設計公式計算變異數分析：

其中 $df_A=df_B=df_{AB}=1$、$df_E=8$，故 $MS_E=242/8=30.250$。變異數分析表如下：

核心觀念

本題考查以樣本資料製作直方圖、辨認資料最集中的組距，以及用樣本平均數預測下一瓶的填充量。

直方圖將連續數值分組，並以各組的次數表示資料分布。題目沒有指定組數或組距，因此以下採用 組距 0.04 公升，涵蓋全部資料。預測下一瓶時，若假設填充製程穩定，樣本平均數可作為單瓶填充量的點估計：

解題方法

（一）直方圖

先取資料最小值與最大值：

全距為 $2.109-1.894=0.215$ 公升。採用 0.04 公升組距，將資料分成下列各組並計算次數：

以橫條表示直方圖的各組高度如下（每個「█」代表 1 個樣本）：