108 公務人員升官等薦任 電力工程 電路學 考古題詳解

核心觀念

電路有三個網目。設三個網目電流皆為順時針方向：左側網目為 $I_1$、右上網目為 $I_2$、右下網目為 $I_3$。$4\text{ A}$ 電流源位於左側與右上網目的共用支路，因此先用電流源建立網目電流關係，再對這兩個網目列超網目方程。

水平 $50\,\Omega$ 電阻的電流方向依題目箭頭由左向右，故 $i_o=I_3-I_2$。

解題方法

電流源箭頭向上，而左側網目電流 $I_1$ 在共用支路向下、右上網目電流 $I_2$ 向上，因此：

將左側與右上網目合併成超網目，沿超網目外圍套用克希荷夫電壓定律。共用支路上的電流源不列入方程：

整理得：

再對右下網目列電壓方程。此網目經過 $50\text{ V}$ 電壓源時，從負端走向正端，為電壓上升：

核心觀念

串聯耦合線圈的總電感，除了各線圈的自感，還要計入線圈間的互感。互感項的正負由點標記判斷：

• 串聯電流同時流入兩線圈的點端，或同時流出兩線圈的點端：互感為正。
• 電流流入其中一線圈的點端、流出另一線圈的點端：互感為負。

解題方法

取電流由圖面左端流向右端。圖中 $12\,\text{H}$ 線圈的點在左端、$16\,\text{H}$ 線圈的點在右端、$20\,\text{H}$ 線圈的點在左端。

因此：

• $12\,\text{H}$ 與 $16\,\text{H}$：電流流入前者的點端、流出後者的點端，互感為負，$M_{12}=-8\,\text{H}$。

核心觀念

本題考查正弦穩態相量分析與節點電壓法。將電容、電感換成阻抗後，在 $v_o$ 所在節點套用克希荷夫電流定律（KCL）。

全題採用餘弦作為相量基準，且相量以峰值表示：

解題方法

由圖可知角頻率 $\omega=4\ \text{rad/s}$，因此

電壓源 $16\sin 4t$ 改寫為餘弦形式：

電流源為 $2\cos 4t\ \text{A}$，其相量為 $\widetilde I_s=2\angle0^\circ\ \text{A}$，方向流入 $v_o$ 節點。

從節點往左看，串聯阻抗為 $4-j3\ \Omega$；往右看，電感與電阻串聯，阻抗為 $6+j8\ \Omega$。以節點電壓 $\widetilde V_o$ 寫 KCL：

核心觀念

負載阻抗為 $Z=20+j15\ \Omega$，其中正的虛部代表感性負載，電流落後電壓。功率因數為電壓與總電流相位差的餘弦；平均功率可由 $P=V_{\mathrm{rms}}^2\operatorname{Re}(Y)$ 計算，其中 $Y=1/Z$。並聯電容提供容性無功功率，用來抵銷負載的感性無功功率。

解題方法

先求負載阻抗的大小與相角：

因此負載電流落後電壓 $36.87^\circ$，功率因數為

平均功率為

求校正電容時，先計算負載的感性無功功率：

核心觀念

本題考串聯電感與並聯 $RC$ 負載的交流分壓。輸出電壓 $v_o$ 是並聯電阻與電容兩端的電壓，因此可先求並聯支路阻抗，再使用阻抗分壓公式。

電感阻抗為 $Z_L=j\omega L$，電容導納為 $Y_C=j\omega C$。

解題方法

圖中 $L=10\,\text{H}$、$R=0.25\,\Omega$、$C=1\,\text{F}$。並聯 $RC$ 支路的導納與阻抗為

以 $Z_L$ 與 $Z_{RC}$ 作阻抗分壓：

代入 $Z_L=j10\omega$ 與 $Y_{RC}=4+j\omega$：