110 公務人員升官等薦任 原子能 原子物理 考古題詳解

核心觀念

均勻帶電球的靜電自能為

其中 $Z$ 為質子數、$R$ 為核半徑。題目給定 $R=1.2\times10^{-13}A^{1/3}\ \mathrm{cm}$，換成常用單位即 $R=1.2A^{1/3}\ \mathrm{fm}$。

將鈾核近似為兩個質量數、電荷數各半的碎片，便可比較分裂前後的靜電自能。核靜電能的減少是分裂釋能的一個來源；它不等同於完整的核分裂釋能，因總能量變化還包括核力及其他能量項的改變。

解題方法

設分裂前鈾核的質量數與質子數分別為 $A$、$Z$，半徑為 $R$。分裂後兩個碎片各有質量數 $A/2$、質子數 $Z/2$，半徑為

分裂前的靜電自能為

每個碎片的靜電自能為

兩個碎片的總自能為

因此核的靜電能損失（取正值表示減少）為

核心觀念

光譜線的波長分布寬度，主要可由三種機制造成：

1. 熱都卜勒展寬：離子熱運動使離子相對觀測者有不同速度，發射光因都卜勒效應而產生波長位移。溫度越高，速度分布越寬，譜線越寬。
2. 密度相關的碰撞／斯塔克展寬：帶電粒子彼此碰撞，或受鄰近帶電粒子的微觀電場擾動，使能階與躍遷頻率改變。通常密度越高，展寬越大；實際數值取決於躍遷、碰撞截面及粒子種類。
3. 磁場造成的塞曼展寬：磁場使能階分裂成多個磁量子態，形成多個略有不同的譜線分量。磁場若不均勻，各位置的分裂量不同，觀測到的總波長分布便更寬。

波長變化極小的情況，是離子溫度、密度與磁場都低，或觀測的躍遷對碰撞及磁場不敏感；此外，儀器解析度不足也可能使細微分裂無法分辨。

解題方法與計算

題目未提供躍遷的能階量子數、有效朗德因子、碰撞截面或碰撞展寬係數。因此，熱都卜勒展寬可直接計算；塞曼展寬可在指定有效朗德因子的假設下估算；密度展寬則不能由題目資料唯一決定。

一、熱都卜勒展寬

碳離子質量取 $M\simeq 12u$，其中 $u=1.6605\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$。對熱平衡的 Maxwell 速度分布，若以高斯線形的半高全寬表示：

代入 $\lambda_0=500\ \mathrm{nm}$、$kT=20\ \mathrm{eV}=3.204\times10^{-18}\ \mathrm{J}$：

因此，熱運動造成的譜線半高全寬約為 $0.050\ \mathrm{nm}$。展寬與 $\sqrt{T/M}$ 成正比，較重的離子在相同溫度下展寬較小。

二、密度相關的碰撞展寬

在碰撞展寬的簡化模型中，碰撞頻率可寫成

其中 $\sigma$ 是有效碰撞截面，$v$ 是相對速度。以洛倫茲線形的半高全寬估算：

核心觀念

本題考查核分裂產物的放射性，以及中子慢化的原理。核分裂會產生質量數不相等的兩個主要分裂碎片，這些碎片通常富含中子，具有較高的中子／質子比，因而多為不穩定的放射性核種；它們會經由連續的 $\beta^-$ 衰變等方式，逐步轉變為較穩定的核種。

核分裂釋出的中子通常是快中子。對以熱中子引發的核分裂燃料而言，快中子須先經緩和劑減速，成為較容易被燃料吸收並引發後續分裂的熱中子。

（一）反應產物為何具有輻射活性

解題方法與說明

以鈾-235 吸收中子後的核分裂為例，可用下式表示其中一種可能的分裂道：

核分裂產物的質量數與電荷數必須守恆；但分裂後的中子與質子分配，通常不會恰好落在穩定核種所需的比例上。分裂碎片往往帶有過多中子，因此具有放射性。

這些富中子核種常以 $\beta^-$ 衰變降低中子／質子比：

其中中子轉變成質子，原子序增加 $1$，質量數則維持不變。分裂產物因此會形成一連串衰變鏈，直到到達較穩定的核種。部分產物也可能伴隨放出 $\gamma$ 射線；此外，核分裂直接產生的中子本身亦具穿透性，屬於游離輻射。

解題技巧

回答「反應產物為何具輻射活性」時，應指出不穩定的核子比例是根本原因，並說明主要衰變方式及其核種變化。不能只寫「因為反應釋出能量」；放出能量是核分裂現象，產物具放射性的主要原因則是分裂碎片的原子核不穩定。

（二）核分裂反應為何需要緩和劑，以及緩和劑的元素選擇

核心觀念

游離能 $EI$ 是將基態原子中的一個電子移至無窮遠處，使原子形成正離子所需的最小能量；數值也等於該電子束縛能量的絕對值。

判斷游離能變化時，主要看：

• 有效核電荷：原子核對價電子的淨吸引力。吸引力越強，電子束縛越緊，游離能越大。
• 電子層與遮蔽效應：價電子離核越遠，且受到內層電子遮蔽越強，越容易移除，游離能越小。
• 電子組態：若移除電子後形成穩定的閉殼層組態，游離能會較大。

游離能定義為：

第二游離能則是從單價正離子再移除一個電子：

解題方法

（一）比較 H、He、Li 的游離能

• **H $\rightarrow$ He：游離能上升。**兩者的電子都在第一電子層。He 的核電荷為 $+2$，而 H 為 $+1$；He 的電子受到較強核吸引，因此較難移除。數值由 $13.6\ \mathrm{eV}$ 升至 $24.6\ \mathrm{eV}$。
• **He $\rightarrow$ Li：游離能大幅下降。**He 的電子組態為 $1s^2$，第一層已填滿；Li 的電子組態為 $1s^2 2s^1$，游離的是第二層 $2s$ 價電子。這個電子距核較遠，並受到 $1s^2$ 內層電子遮蔽，束縛較弱，因此游離能由 $24.6\ \mathrm{eV}$ 降至 $5.4\ \mathrm{eV}$。

因此，三者的游離能關係為：

（二）計算 He 的第二游離能

He 的第一游離能是 $24.6\ \mathrm{eV}$，表示從中性 He 移除一個電子所需能量。移除後得到 He$^+$，其電子組態為 $1s^1$，只剩一個電子。

第二游離能是再移除 He$^+$ 的唯一電子。此時電子受到核電荷 $Z=2$ 的吸引，He$^+$ 是類氫離子，能階公式為：

基態為 $n=1$，故 He$^+$ 基態能量為：

核心觀念

本題考查波爾氫原子模型的角動量量子化假設，以及它如何與德布羅伊提出的電子物質波駐波條件相互對應。波爾模型以量子化條件限制電子只能處於特定軌道，因此能階具有選擇性。

解題方法與推導

（一）造成能階選擇性的假設

波爾假設電子繞原子核作圓周運動時，其軌道角動量只能取普朗克常數約化後的整數倍：

其中 $m$ 為電子質量、$v$ 為電子速率、$r$ 為軌道半徑，$\hbar=h/(2\pi)$。

這項角動量量子化假設使電子不能任意選取軌道半徑與能量，只能處於離散的允許軌道，因而造成能階的選擇性。對氫原子而言，允許能階為

因此能量不是連續分布，而是由主量子數 $n$ 決定的離散值。

（二）德布洛伊駐波與波爾軌道的關聯

德布洛伊指出，運動中的電子具有物質波，其波長為

核心觀念

氘核可簡化為質子與中子在有限球形方形位能井中相互作用。角量子數 $l=0$ 時，應使用徑向波函數 $u(r)=rR(r)$；徑向機率由 $|u(r)|^2$ 積分得到：

其中 $u(r)$ 已作全空間歸一化。方均根半徑為 $r_{\rm rms}=\sqrt{\langle r^2\rangle}$。

解題方法與題目資訊檢核

若井的作用範圍是 $0\le r\le b$，井內的 $s$ 波徑向函數可寫成 $u_{\rm in}(r)=A\sin(k_i r)$。井外束縛態則為 $u_{\rm out}(r)=B e^{-\kappa(r-b)}$，其中

有限井的束縛態必須在 $r=b$ 同時滿足波函數與導數連續，因此