113 年關務特考三等機械工程(選試英文) 考古題與詳解

Question 1

一、卡諾循環熱機在 $527^\circ\mathrm{C}$ 之熱源與 $27^\circ\mathrm{C}$ 之低溫環境間運轉，熱以 $7200\ \mathrm{MJ/hr}$ 穩定供給熱機系統。

(一) 請問此系統熱效率應為多少？（15 分）

(二) 請計算此系統最大可能的輸出功率（MW）。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考卡諾熱機的理想熱效率，以及熱輸入率由 $\mathrm{MJ/hr}$ 換算成功率 $\mathrm{MW}$ 。卡諾熱機在兩個定溫熱源間運轉時，熱效率只由高、低溫熱源的絕對溫度決定：

\eta_{\mathrm{th}}=1-\frac{T_L}{T_H}

其中 $T_H$ 為高溫熱源溫度， $T_L$ 為低溫環境溫度，兩者皆須以 K 表示。

解題方法

先將攝氏溫度換成絕對溫度：

T_H=527+273=800\ \mathrm{K}

T_L=27+273=300\ \mathrm{K}

（一）熱效率

代入卡諾熱效率公式：

\eta_{\mathrm{th}} =1-\frac{300}{800} =0.625

因此熱效率為：

\boxed{\eta_{\mathrm{th}}=62.5\%}

（二）最大可能輸出功率

熱機每小時吸收的熱量為 $7200\ \mathrm{MJ/hr}$ 。先換算為 MW：

Question 2

二、假設一 $250\ \mathrm{MW}$ 火力發電廠以理想式朗肯循環（Ideal Rankine Cycle）運作，蒸汽渦輪機入口狀態為 $25\ \mathrm{MPa}$ 及 $600^\circ\mathrm{C}$ ；冷凝器操作壓力為 $20\ \mathrm{kPa}$ 。該化石燃料熱值為 $30\ \mathrm{MJ/kg}$ ，這個能量 $80\%$ 有效傳遞進入鍋爐產生蒸汽，發電系統之發電機效率為 $95\%$ 。請計算：

(一) 該朗肯循環之熱效率。（15 分）

(二) 發電廠之總效率（淨電力輸出與燃料熱值輸入之能量比）。（5 分）

(三) 燃料供應需求率（使用 tons/hour 單位）。（5 分）

【附表一：飽和水—壓力表（Saturated water—Pressure table）】

飽和壓力 $P$ （kPa）	飽和溫度 $T_{\mathrm{sat}}$ （ $^\circ\mathrm{C}$ ）	$v_f$ （ $\mathrm{m^3/kg}$ ）	$v_g$ （ $\mathrm{m^3/kg}$ ）	$u_f$ （kJ/kg）	$u_{fg}$ （kJ/kg）	$u_g$ （kJ/kg）	$h_f$ （kJ/kg）	$h_{fg}$ （kJ/kg）	$h_g$ （kJ/kg）	$s_f$ （kJ/kg·K）	$s_{fg}$ （kJ/kg·K）	$s_g$ （kJ/kg·K）
10	45.81	0.001010	14.670	191.79	2245.4	2437.2	191.81	2392.1	2583.9	0.6492	7.4996	8.1488
15	53.97	0.001014	10.020	225.93	2221.1	2448.0	225.94	2372.3	2598.3	0.7549	7.2522	8.0071
20	60.06	0.001017	7.6481	251.40	2204.6	2456.0	251.42	2357.5	2608.9	0.8320	7.0752	7.9073
25	64.96	0.001020	6.2034	271.93	2190.4	2462.4	271.96	2345.5	2617.5	0.8932	6.9370	7.8302

【附表二：過熱水（Superheated water）】

$P=25.0\ \mathrm{MPa}$

$T$ （ $^\circ\mathrm{C}$ ）	$v$ （ $\mathrm{m^3/kg}$ ）	$u$ （kJ/kg）	$h$ （kJ/kg）	$s$ （kJ/kg·K）
375	0.001978	1799.9	1849.4	4.0345
400	0.006005	2428.5	2578.7	5.1400
425	0.007886	2607.8	2805.0	5.4708
450	0.009176	2721.2	2950.6	5.6759
500	0.011143	2887.3	3165.9	5.9643
550	0.012736	3020.8	3339.2	6.1816
600	0.014140	3140.0	3493.5	6.3637
650	0.015430	3251.9	3637.7	6.5243
700	0.016643	3359.9	3776.0	6.6702

Accepted Answer

核心觀念 理想朗肯循環包含鍋爐加熱、渦輪機等熵膨脹、冷凝器放熱及幫浦壓縮。循環熱效率為 $$ \eta{\mathrm{Rankine}} =\frac{w{\mathrm{net}}}{q{\mathrm{in}}} =\frac{(h1-h2)-(h4-h3)}{h1-h4} $$ 其中狀態 1 為渦輪機入口、狀態 2 為渦輪機出口、狀態 3 為冷凝器出口、狀態 4 為幫浦出口。渦輪機理想等熵，故 $s2=s1$；幫浦液體比容近似不變，故 $wp \simeq vf(P4-P3)$。 電廠總效率還要乘上鍋爐有效傳熱率與發電機效率： $$ \eta{\mathrm{plant}} =\eta{\mathrm{Rankine}}	imes 0.80	imes 0.95 $$ 解題方法 採用題目附表的數值。假設 $250\ \mathrm{MW}$ 為電廠淨電力輸出，燃料熱值為 $30\ \mathrm{MJ/kg}$。 1. 渦輪機入口（狀態 1） 由 $25\ \mathrm{MPa}$、$600^\circ\mathrm{C}$ 過熱水表： $$ h1=3493.5\ \mathrm{kJ/kg},\qquad s1=6.3637\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} $$ 2. 渦輪機出口（狀態 2） 冷凝器壓力為 $20\ \mathrm{kPa}$。由飽和水表： $$ hf=251.42,\quad h{fg}=2357.5\ \mathrm{kJ/kg} $$ $$ sf=0.8320,\quad s{fg}=7.0752\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} $$ 理想渦輪機等熵膨脹，因此 $s2=s1$。出口乾度為 $$ x2=\frac{s2-sf}{s{fg}} =\frac{6.3637-0.8320}{7.0752} =0.78184 $$ 所以出口焓為 $$ h2=hf+x2h{fg} =251.42+(0.78184)(2357.5) =2094.62\ \mathrm{kJ/kg} $$ 3. 冷凝器出口與幫浦出口（狀態 3、4） 冷凝器出口為 $20\ \mathrm{kPa}$ 飽和液體： $$ h3=hf=251.42\ \mathrm{kJ/kg},\qquad vf=0.001017\ \mathrm{m^3/kg} $$ 幫浦壓力由 $20\ \mathrm{kPa}$ 升至 $25{,}000\ \mathrm{kPa}$，故 $$ wp\simeq vf(P4-P3) =(0.001017)(25{,}000-20) =25.40\ \mathrm{kJ/kg} $$ $$ h4=h3+wp=276.82\ \mathrm{kJ/kg} $$ 4. 計算循環熱效率 渦輪機比功、循環淨比…

Question 3

三、一空氣標準狄塞耳循環（Diesel Cycle），其空氣壓縮比為 $20$，停氣比（cutoff ratio）為 $2.5$。壓縮過程開始時，空氣狀態：$120\ \mathrm{kPa}$，溫度 $37^\circ\mathrm{C}$。空氣性質：定壓比熱 $cp=1.005\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$，定容比熱 $cv=0.718\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$，氣體常數 $R=0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$。請計算： (一) 加熱過程後的溫度。（10 分） (二) 熱效率。（10 分） (三) 平均有效壓力（mean effective pressure）。（5 分）

Accepted Answer

核心觀念 空氣標準狄塞耳循環由四個過程組成： 1. $1	o2$：等熵壓縮。 2. $2	o3$：定壓加熱，$3$ 點為加熱過程終點。 3. $3	o4$：等熵膨脹。 4. $4	o1$：定容放熱。 已知壓縮比 $r=V1/V2=20$、停氣比 $rc=V3/V2=2.5$。空氣比熱比為 $$ k=\frac{cp}{cv}=\frac{1.005}{0.718}\approx1.3997 $$ 以下依空氣標準循環的定比熱假設計算。 解題方法 （一）加熱過程後的溫度 $T3$ $1	o2$ 為等熵壓縮，使用 $$ \frac{T2}{T1}=r^{k-1} $$ 初溫為 $T1=37+273.15=310.15\ \mathrm{K}$，因此 $$ T2=310.15(20)^{1.3997-1}\approx1027.0\ \mathrm{K} $$ $2	o3$ 為定壓加熱。定壓下體積與絕對溫度成正比，所以 $$ \frac{T3}{T2}=\frac{V3}{V2}=rc=2.5 $$ $$ T3=2.5(1027.0)\approx2567.5\ \mathrm{K} $$ （二）熱效率 循環熱效率為 $$ \eta{\mathrm{th}}=1-\frac{q{\mathrm{out}}}{q{\mathrm{in}}} $$ 定壓加熱的單位質量吸熱量為 $$ q{\mathrm{in}}=cp(T3-T2) =1.005(2567.5-1027.0) \approx1548.2\ \mathrm{kJ/kg} $$ $3	o4$ 等熵膨脹，且 $V4=V1$。由 $V3/V2=rc$ 及 $V1/V2=r$ 可得 $$ \frac{V4}{V3}=\frac{V1}{V3}=\frac{r}{rc} $$ 因此 $$ T4=T3\left(\frac{V3}{V4}ight)^{k-1} =T3\left(\frac{rc}{r}ight)^{k-1} \approx1118.4\ \mathrm{K} $$ $4	o1$ 為定容放熱，故

Question 4

四、一燃氣渦輪機發電廠以布雷頓循環（Brayton Cycle）運行，空氣為工作流體，可提供 $40\ \mathrm{MW}$ 電力，循環中的最低和最高溫度分別為 $350\ \mathrm{K}$ 和 $1000\ \mathrm{K}$ ，壓縮機出口空氣壓力是入口處壓力 $12$ 倍，壓縮機等熵效率為 $88\%$ ，渦輪機的等熵效率為 $90\%$ 。空氣性質：定壓比熱 $c_p=1.005\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$ ，定容比熱 $c_v=0.718\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$ 。請計算：

(一) 渦輪機輸出功（kJ/kg）。（10 分）

(二) 壓縮機輸入功（kJ/kg）。（10 分）

(三) 通過循環的空氣質量流率。（5 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查實際布雷頓循環中，壓縮機與渦輪機的等熵效率，以及穩態循環的淨比功與質量流率。

空氣視為理想氣體，並以定比熱計算。比熱比為

k=\frac{c_p}{c_v} =\frac{1.005}{0.718} =1.3997\approx 1.4

理想氣體等熵過程的溫壓關係為

\frac{T_{2s}}{T_1} =\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{(k-1)/k}, \qquad \frac{T_{4s}}{T_3} =\left(\frac{P_4}{P_3}\right)^{(k-1)/k}

其中下標 $s$ 表示等熵狀態。壓縮機等熵效率定義為

\eta_c=\frac{h_{2s}-h_1}{h_2-h_1} =\frac{T_{2s}-T_1}{T_2-T_1}

渦輪機等熵效率定義為

\eta_t=\frac{h_3-h_4}{h_3-h_{4s}} =\frac{T_3-T_4}{T_3-T_{4s}}

因 $c_p$ 固定，焓差可用 $c_p\Delta T$ 表示。

解題方法

以布雷頓循環狀態編號表示： $1\to2$ 為壓縮機， $2\to3$ 為加熱， $3\to4$ 為渦輪機膨脹， $4\to1$ 為排熱。循環壓力比為 $P_2/P_1=12$ ，渦輪膨脹壓力比相同，即 $P_3/P_4=12$ 。已知最低與最高溫度分別為 $T_1=350\ \mathrm{K}$ 、 $T_3=1000\ \mathrm{K}$ 。

先用等熵關係求理想出口溫度，再以效率換算實際出口溫度，最後計算比功及質量流率。

(一) 渦輪機輸出功

渦輪機的等熵出口溫度為

T_{4s} =T_3\left(\frac{P_4}{P_3}\right)^{(k-1)/k} =1000\left(\frac{1}{12}\right)^{(1.3997-1)/1.3997} \approx 520.4\ \mathrm{K}

由渦輪機等熵效率，

\eta_t=\frac{T_3-T_4}{T_3-T_{4s}}

因此實際出口溫度

T_4=T_3-\eta_t(T_3-T_{4s}) =1000-0.90(1000-520.4) \approx 568.4\ \mathrm{K}

渦輪機輸出比功為

w_t=c_p(T_3-T_4) =1.005(1000-568.4) \approx 433.8\ \mathrm{kJ/kg}

113 關務特考三等機械工程(選試英文) 熱工學考古題詳解

第一題25 分

核心觀念

解題方法

第二題25 分

第三題25 分

核心觀念

解題方法

（一）加熱過程後的溫度 $T_3$

（二）熱效率

第四題25 分

核心觀念

解題方法

(一) 渦輪機輸出功

其他考古題

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第 一 題25 分

核心觀念

解題方法

第 二 題25 分

第 三 題25 分

核心觀念

解題方法

（一）加熱過程後的溫度 T3T_3T3​

（二）熱效率

第 四 題25 分

核心觀念

解題方法

(一) 渦輪機輸出功

其他考古題

113 年機械工程(選試英文)的其他科目

113 關務特考三等機械工程(選試英文) 熱工學考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

第三題25 分

（一）加熱過程後的溫度 $T_3$

第四題25 分