113 關務特考三等 機械工程(選試英文) 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

核心觀念

本題考剪力圖與彎矩圖的繪製。集中力會使剪力圖產生跳躍；彎矩圖的斜率等於剪力，因此各段剪力為常數時，彎矩圖呈直線。

採用剪力正號為「截面左側向上」，彎矩正號為「正彎矩（下緣受拉、梁呈下凹）」。

解題方法

依圖示，$AB=2.5\,\text{m}$、$BC=3\,\text{m}$、$CD=2\,\text{m}$；$A$ 點向下作用 $20\,\text{kN}$，$C$ 點向下作用 $40\,\text{kN}$，支承位於 $B$、$D$。

先由整體平衡求支承反力。垂直力平衡為

以 $B$ 點取力矩，逆時針為正：

因此

剪力圖

沿梁由左向右，依集中力與支承反力逐點計算剪力：

• $A$ 點的 $20\,\text{kN}$ 向下載重使剪力降至 $-20\,\text{kN}$。
• $B$ 點反力 $46\,\text{kN}$ 向上，使剪力跳升至 $-20+46=+26\,\text{kN}$。
• $C$ 點的 $40\,\text{kN}$ 向下載重使剪力降至 $26-40=-14\,\text{kN}$。
• $D$ 點反力 $14\,\text{kN}$ 向上，使剪力回到 $0$。

因此剪力圖各段為

繪圖時各段畫水平線，並在 $A、B、C、D$ 依上述數值作垂直跳躍；$D$ 點之後回到零。

彎矩圖

核心觀念

本題考查定滑輪與動滑輪的繩長拘束。繩索不伸長，因此各段繩長總和為常數；對繩長拘束式微分一次可得速度關係，再微分一次可得加速度關係。

取圖示向下為正方向，令下方動滑輪中心的位置為 $x_P$。質點 $A$、$B$、$C$ 的速度與加速度均以向下為正。

解題方法

上方繩索一端連接 $A$，繞過定滑輪後，另一端連接下方動滑輪中心。其可變繩長為 $x_A+x_P$，所以

微分後得到

下方繩索兩端分別連接 $B$ 與 $C$，繞過下方動滑輪。兩段可變繩長分別為 $x_B-x_P$ 與 $x_C-x_P$，因此

整理並微分：

核心觀念

本題考查平面應力的莫爾圓、主應力與最大剪應力。以拉應力為正，依圖中箭頭可讀得

其中，右側面的法向應力為拉應力；上側面的法向應力向下，為壓應力。剪應力方向為上面向右、右面向上，採此符號慣例時 $\tau_{xy}=+40\text{ MPa}$。

解題方法

莫爾圓圓心與半徑為

畫圖時標出應力點 $A(\sigma_x,\tau_{xy})=(50,40)$ 與對徑點 $B(\sigma_y,-\tau_{xy})=(-10,-40)$，以 $C=(20,0)$ 為圓心、$R=50\text{ MPa}$ 作圓。莫爾圓與正應力軸的交點即為主應力。

主應力面法線的轉角滿足

因此

此角度是由原 $x$ 面的法線（$+x$ 方向）逆時針量起。第一主應力面法線方向為 $26.565^\circ$；

核心觀念

桁架各桿件只承受軸力，整體應變能為各桿件軸向應變能的總和：

其中 $N_i$ 為桿件軸力、$L_i$ 為桿長、$A_i$ 為斷面積、$E$ 為楊氏模數。拉力與壓力都會儲存應變能，代入時軸力平方，因此均以正值計算。

解題方法

先由圖形幾何求桿長，再用接點法求各桿軸力，最後逐桿代入應變能公式。圖中 $BC$、$CD$ 的水平距離為 $1.8\ \mathrm{m}$，垂直距離各為 $0.75\ \mathrm{m}$，因此：

而 $L_{BD}=0.75+0.75=1.50\ \mathrm{m}$。斜桿方向的水平、垂直方向比例為 $12/13$、$5/13$。

在接點 $C$ 假設斜桿軸力以拉力為正，平衡方程式為：

解得：

所以 $BC$ 為拉力，$CD$ 為壓力。接點 $D$ 的支承為靠垂直牆面的滾輪，僅提供水平方向反力；由接點 $D$ 的垂直平衡：