113 關務特考三等 機械工程(選試英文) 自動控制 考古題詳解

核心觀念

本題考查「質量－彈簧－阻尼器」系統的運動方程式，以及利用拉氏轉換求解常數外力下的位移響應。

依圖中位移 $x(t)$ 與外力 $f(t)$ 的箭頭方向，取向下為正。系統運動方程式為

題目給定 $M=1$、$b=8$、$k=7$，且 $f(t)=7$，所以

解題方法

對方程式兩側取拉氏轉換。由於初始位移與初始速度皆為零，$\mathcal{L}\{\ddot{x}(t)\}=s^2X(s)$、$\mathcal{L}\{\dot{x}(t)\}=sX(s)$，而常數外力的拉氏轉換為 $7/s$：

因為 $s^2+8s+7=(s+1)(s+7)$，可得

部分分式展開：

核心觀念

相似轉換令原狀態與新狀態滿足 $x(t)=P\bar{x}(t)$。由此可得新系統參數：

其中 $P$ 必須可逆；本題的 $P$ 行列式不為零，因此轉換成立。

解題方法

題目給定

所以

將 $x=P\bar{x}$ 代入原狀態方程，可得

先計算

因此

核心觀念

本題考信號流程圖（SFG）與方塊圖的對應，以及 Mason 增益公式。Mason 公式為

其中 $P_k$ 是由輸入到輸出的前向路徑增益；$\Delta$ 為 $1$ 減去各個單一迴路增益總和，再加上彼此不接觸的兩迴路增益乘積總和；$\Delta_k$ 則只計入不接觸第 $k$ 條前向路徑的迴路。

等效方塊圖

以下以 $\Sigma_E$、$\Sigma_B$、$\Sigma_Y$ 表示加總點。從訊號流程圖逐支路轉成方塊圖如下：

R ──▶ ΣE ──▶ E ──[G1]──▶ A ──[G2]──▶ ΣB ──▶ [G3] ──▶ C ──[1]──▶ ΣY ──▶ Y
 ▲ │ ▲ ▲
 │ └────[G4]─────────┼───────────────────┘
 │ │
 ├──────────────[−H1]◀────── A └──[−H2]──▶ ΣB
 └──────────────[−H3]◀────────────────────── C

在 $\Sigma_E$，$R$ 為正輸入、$A$ 經 $-H_1$ 與 $C$ 經 $-H_3$ 為負向回授；在 $\Sigma_B$，$G_2A$ 為正輸入、$C$ 經 $-H_2$ 為負向回授。$A$ 經 $G_4$ 與 $C$ 經單位增益 $1$ 在 $\Sigma_Y$ 相加。因為要求的是 $E/R$，通往 $Y$ 的 $G_4$ 支路不影響此轉移函數。

核心觀念

單位負回授系統的誤差傳遞函數為

$G(s)$ 在原點有兩個極點，因此是 第二型系統。若閉迴路穩定，位置誤差常數 $K_p$、速度誤差常數 $K_v$、加速度誤差常數 $K_a$ 可用來求穩態誤差：

解題方法

輸入 $r(t)=7+2t+t^2$ 含有步階、斜坡及拋物線三種成分。其拉氏轉換為

先計算誤差常數：