115 年關務特考三等機械工程(選試英文) 考古題與詳解

Question 1

如圖所示，有一簡支梁承受均變負載，試求其撓度的微分方程與最大撓度。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中：簡支梁 $AC$ 全長為 $L$ ，中央點為 $B$ ；梁承受以中央最大值 $w_0$ 、兩端為零的三角形均變負載，且 $AB=BC=\frac{L}{2}$ 。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 對稱三角形均變負載的合力與支承反力。 2. Euler–Bernoulli 梁的撓度微分方程： $$ EI\frac{d^4v}{dx^4}=w(x) $$ 其中 $E$ 為楊氏係數、$I$ 為截面二次慣性矩，$v$ 為向下撓度。 3. 彎矩與撓度的關係： $$ EI\frac{d^2v}{dx^2}=-M(x) $$ 以下取 $x$ 自左支承點 $A$ 向右量測，且撓度 $v$ 取向下為正。 --- 解題方法 一、求支承反力 三角形負載的總合力等於負載圖形面積： $$ W=\frac{1}{2}Lw0 $$ 由於負載對梁中央對稱，因此 $$ RA=RC=\frac{W}{2} =\frac{w0L}{4} $$ --- 二、建立負載函數與撓度微分方程 三角形負載函數為 $$ w(x)= \begin{cases} \dfrac{2w0}{L}x, &0\leq x\leq \dfrac{L}{2}\[8pt] \dfrac{2w0}{L}(L-x), &\dfrac{L}{2}\leq x\leq L \end{cases} $$ 因此，梁的撓度微分方程為 $$ EI\frac{d^4v}{dx^4} = \begin{cases} \dfrac{2w0}{L}x, &0\leq x\leq \dfrac{L}{2}\[8pt] \dfrac{2w0}{L}(L-x), &\dfrac{L}{2}\leq x\leq L \end{cases} $$ 簡支梁的邊界條件為 $$ v(0)=0,\qquad v(L)=0 $$ 且兩端彎矩為零： $$ v''(0)=0,\qquad v''(L)=0 $$ 由於負載與結構均對稱，中央截面斜率為零： $$ v'\left(\frac{L}{2}\right)=0 $$ --- 三、取左半段求彎矩 對於 $0\leq x\leq L/2$，截面左側的負載為從 $A$ 起算的三角形負載，其合力為 $$ Wx=\frac{1}{2}x\left(\frac{2w0x}{L}\right) =\frac{w0x^2}{L} $$ 此合力作用位置距離 $A$ 為 $2x/3，因此其對截面的力矩為 $$ Wx\left(x-\frac{2x}{3}\right) =\frac{w0x^3}{3L} $$ 故左半段彎矩為 $$ M(x)=RAx-\frac{w0x^3}{3L} $$ 代入 $RA=w0L/4$： $$ M(x)=\frac{w0L}{4}x-\frac{w0x^3}{3L} $$ 由 $EI v''=-M(x)

Question 2

如圖所示，有一槽連桿於 $O$ 點固定，其連桿以固定的角速度 $\dot{	heta}=4\ \mathrm{rad/s}$ 進行運動，使鉚釘 $P$ 沿著螺旋導軌 $r=0.5	heta\ \mathrm{m}$ 移動一距離，試求當 $	heta=\frac{\pi}{4}\ \mathrm{rad}$ 時，鉚釘 $P$ 徑向與橫向的速度與加速度？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查平面極座標運動。鉚釘 $P$ 的位置以極座標 $(r,	heta)$ 表示： - 徑向速度：$vr=\dot r$ - 橫向速度：$v	heta=r\dot	heta$ - 徑向加速度：$ar=\ddot r-r\dot	heta^2$ - 橫向加速度：$a	heta=r\ddot	heta+2\dot r\dot	heta$ 已知 $$ \dot	heta=4\ 	ext{rad/s},\qquad \ddot	heta=0 $$ 且螺旋導軌方程為 $$ r=0.5	heta\ 	ext{m} $$ 解題方法 先對 $r=0.5	heta$ 對時間微分。 $$ \frac{dr}{d	heta}=0.5,\qquad \frac{d^2r}{d	heta^2}=0 $$ 當 $$ 	heta=\frac{\pi}{4} $$ 時， $$ r=0.5\left(\frac{\pi}{4}ight)=\frac{\pi}{8}\ 	ext{m} $$ 徑向速度為 $$ \dot r=\frac{dr}{d	heta}\dot	heta =0.5(4)=2\ 	ext{m/s} $$ 徑向加速度為 $$ \ddot r =\frac{d^2r}{d	heta^2}\dot	heta^2 +\frac{dr}{d	heta}\ddot	heta =0 $$ 因此，徑向與橫向速度分量分別為 $$ vr=\dot r=2\ 	ext{m/s} $$

Question 3

如圖所示，有一直徑為 $20\ \mathrm{mm}$、長度 $L=1\ \mathrm{m}$ 的鋼軸，此鋼軸強度可承受 $t$ 的扭矩，其中 $tB$ 為 $150\ \mathrm{N\cdot m/m}$，試求其最大扭轉剪應力與扭轉角。（假設鋼軸剪切模數 $G$ 為 $80\ \mathrm{GPa}$） 圖中分佈扭矩為 $$ t=tB\frac{x}{L} $$ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查圓形實心軸在分佈扭矩作用下的： - 內部扭矩分布 - 扭轉剪應力公式 $$	au=\frac{Tc}{J}$$ - 扭轉角公式 $$\phi=\int0^L\frac{T(x)}{GJ}\,dx$$ 由圖可知鋼軸左端 $A$ 固定、右端 $B$ 為自由端，分佈扭矩為 $$ t(x)=tB\frac{x}{L} $$ 其中 $$ d=20\ \mathrm{mm}=0.02\ \mathrm{m},\qquad L=1\ \mathrm{m} $$ $$ tB=150\ \mathrm{N\cdot m/m},\qquad G=80\ \mathrm{GPa} $$ --- 一、內部扭矩分布 取距離固定端 $A$ 為 $x$ 的截面，該截面右側所承受的分佈扭矩合力即為內部扭矩： $$ T(x)=\intx^L t(s)\,ds $$ 代入 $$ t(s)=tB\frac{s}{L} $$ 得 $$ T(x)=\intx^L tB\frac{s}{L}\,ds =\frac{tB}{2L}\left(L^2-x^2ight) $$ 因為 $T(x)$ 隨 $x$ 增加而減少，所以最大內部扭矩發生在固定端 $A$，即 $x=0$： $$ T{\max}=T(0)=\frac{tB L}{2} $$ $$ T{\max}=\frac{150(1)}{2} =75\ \mathrm{N\cdot m} $$ --- 二、最大扭轉剪應力 圓形實心軸的極慣性矩為 $$ J=\frac{\pi d^4}{32} $$ 因此 $$ J=\frac{\pi(0.02)^4}{32} =1.5708	imes10^{-8}\ \mathrm{m^4} $$ 外緣最大半徑為 $$ c=\frac{d}{2}=0.01\ \mathrm{m} $$ 最大剪應力發生於固定端截面的外緣： $$ 	au{\max}=\frac{T{\max}c}{J} $$ $$ 	au{\max} =\frac{(75)(0.01)} {1.5708	imes10^{-8}} =4.775	imes10^7\ \mathrm{Pa} $$

Question 4

如圖所示，已知 $A$、$B$ 兩物塊重量分別為 $10\ \mathrm{kg}$ 與 $50\ \mathrm{kg}$，且滑輪系統的繩長度為固定。試求從靜止釋放後，當 $A$ 物塊速度達到 $0.5\ \mathrm{m/s}$ 時，$B$ 物塊之速度與 $A$ 物塊移動之距離各為何？（假設滑輪與支承座之重量可忽略不計、重力加速度為 $10\ \mathrm{m/s^2}$） 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 理想繩索長度不變所形成的速度約束。 - 可動滑輪組的受力分析。 - 牛頓第二定律。 - 等加速度運動公式。 由圖可知，物塊 $B$ 所連接的兩個可動滑輪，共有四段繩索長度會隨 $B$ 移動而改變。 --- 一、繩長約束關係 取向下為正方向，令 $sA$、$sB$ 分別為 $A$、$B$ 向下的位移，則繩長固定給出 $$ sA+4sB=	ext{常數} $$ 微分一次： $$ vA+4vB=0 $$ 再微分一次： $$ aA+4aB=0 $$ 因此，$A$、$B$ 的運動方向相反，且 $$ |vB|=\frac{|vA|}{4} $$ --- 二、受力分析與加速度 設繩張力為 $T$。 對物塊 $A$，向下為正： $$ mAaA=mAg-T $$ 代入 $mA=10\ \mathrm{kg}$、$g=10\ \mathrm{m/s^2}$： $$ 10aA=100-T $$ 對物塊 $B$，四段繩索共同向上支撐，因此向上的總拉力為 $4T$。取向下為正： $$ mBaB=mBg-4T $$ 代入 $mB=50\ \mathrm{kg}$： $$ 50aB=500-4T $$ 由繩長約束： $$ aB=-\frac{aA}{4} $$ 代入第二式： $$ 50\left(-\frac{aA}{4}ight)=500-4T $$ 整理得 $$ T=125+\frac{25}{8}aA $$ 又由物塊 $A$ 的方程式： $$ T=100-10aA $$ 聯立： $$ 100-10aA=125+\frac{25}{8}aA $$ $$ -\frac{105}{8}aA=25 $$ $$ aA=-\frac{40}{21}\ \mathrm{m/s^2} $$ 所以 $A$ 的加速度大小為 $$ |aA|=\frac{40}{21}\ \mathrm{m/s^2} $$ 方向向上。 由約束關係： $$ aB=-\frac{aA}{4} =\frac{10}{21}\ \mathrm{m/s^2} $$ 所以 $B$ 的加速度方向向下。 --- 三、當 $A$ 速度達到 $0.5\ \mathrm{m/s}$ 時，$B$ 的速度

115 關務特考三等機械工程(選試英文) 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）考古題詳解

第一題25 分

核心觀念

解題方法

一、求支承反力

二、建立負載函數與撓度微分方程

三、取左半段求彎矩

第二題25 分

第三題25 分

第四題25 分

其他考古題

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第 一 題25 分