115 關務特考三等 關稅統計(選試英文) 抽樣方法 考古題詳解

核心觀念

本題考查抽樣設計的單位包含機率、估計量的抽樣分配與偏誤、均方誤（MSE），以及不同抽樣策略的相對有效性。

母體單元為 $y_1=15,\ y_2=5,\ y_3=30,\ y_4=50$，母體平均為

$$\bar Y=\frac{15+5+30+50}{4}=25.$$

抽樣策略的估計量是樣本中位數。樣本大小為 3，因此每個樣本的中位數就是三個觀察值排序後的中間值。四個可能樣本及其抽取機率如下：

樣本 $s$	$P(s)=\frac{1}{30}\sum_{i\in s}i$	樣本中位數 $\hat{\bar Y}(s)$
$(1,2,3)$	$6/30=1/5$	$15$
$(1,2,4)$	$7/30$	$15$
$(1,3,4)$	$8/30$	$30$
$(2,3,4)$	$9/30$	$30$

解題方法與計算

（一）第 3 個單元的包含機率

第 3 個單元會出現在樣本 $(1,2,3)$、$(1,3,4)$、$(2,3,4)$。因此，其包含機率為這三個樣本機率之和：

$$\pi_3 =P(1,2,3)+P(1,3,4)+P(2,3,4) =\frac{6+8+9}{30} =\frac{23}{30}.$$

（二）樣本中位數是否為母體平均的估計量

樣本中位數是母體平均的一個估計量；若進一步問它是否為不偏估計量，須比較其抽樣期望值與母體平均。

$$\begin{aligned} E(\hat{\bar Y}) &=\frac{1}{5}(15)+\frac{7}{30}(15) +\frac{8}{30}(30)+\frac{9}{30}(30)\\ &=\frac{225+240+270}{30} =\frac{735}{30} =24.5. \end{aligned}$$

由於 $E(\hat{\bar Y})=24.5\ne\bar Y=25$，樣本中位數不是母體平均的不偏估計量。其偏誤為

$$\operatorname{Bias}(\hat{\bar Y})=24.5-25=-0.5.$$

（三）抽樣策略的均方誤

均方誤定義為估計值與母體平均之平方差的期望：

$$\operatorname{MSE}(\hat{\bar Y}) =E\left[(\hat{\bar Y}-\bar Y)^2\right].$$

各樣本中位數的平方誤差為：中位數 $15$ 時，$(15-25)^2=100$；中位數 $30$ 時，$(30-25)^2=25$。因此

$$\begin{aligned} \operatorname{MSE}(\hat{\bar Y}) &=\left(\frac{1}{5}+\frac{7}{30}\right)(100) +\left(\frac{8}{30}+\frac{9}{30}\right)(25)\\ &=\frac{13}{30}(100)+\frac{17}{30}(25)\\ &=\frac{1725}{30} =\frac{115}{2} =57.5. \end{aligned}$$

核心觀念

本題是兩階段叢集抽樣：先以簡單隨機不放回抽樣（SRSWOR）選村，再於入選村內以 SRSWOR 抽農戶。村是第一階段抽樣單位，農戶是第二階段抽樣單位。

令全鄉村數 $M=8$，第一階段樣本村數 $m=4$；第 $i$ 村農戶數為 $N_i$，村內樣本數為 $n_i=10$，農戶使用量為 $y_{ij}$。全鄉農戶總數已知：

$$N=\sum_{i=1}^{8}N_i=400.$$

第一階段每村入選機率為 $m/M=1/2$；入選村內每戶入選機率為 $n_i/N_i$。農戶的最終入選機率為兩階段機率的乘積，其倒數即抽樣權重。

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(一) 抽樣設計

採用兩階段簡單隨機不放回叢集抽樣：

1. 以全鄉 8 個村為第一階段抽樣單位，簡單隨機不放回抽出 4 村。
2. 在每一個入選村內，以簡單隨機不放回抽出 10 戶農戶。
3. 對每戶樣本調查本年度化肥使用量。

入選村的機率為 $4/8$；給定該村入選後，村內各戶的條件入選機率為 $10/N_i$。

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(二) 編號 1 村內農戶的抽樣權重

村 1 的農戶入選機率為：

$$\pi_{1j} =\Pr(\text{村 1 入選})\Pr(\text{農戶 }j\text{ 入選}\mid\text{村 1 入選}) =\frac{4}{8}\cdot\frac{10}{20} =\frac14.$$

因此抽樣權重為：

$$w_{1j}=\frac{1}{\pi_{1j}}=4.$$

答：村 1 每位受訪農戶代表 4 戶農戶。

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(三) 不偏估計：總使用量與 95% 信賴區間

估計量與變異數公式

令第 $i$ 村樣本總量為 $\hat{t}_i=N_i\bar{y}_i$，其為該村農戶總使用量的無偏估計。兩階段總量的無偏估計量為：

$$\hat{T}_{HT}=\frac{M}{m}\sum_{i\in s}\hat{t}_i =\frac{8}{4}\sum_{i\in s}N_i\bar{y}_i.$$

其變異數估計可分成村際變異與村內變異：

$$\hat{V}(\hat{T}_{HT}) =M^2\left(1-\frac{m}{M}\right)\frac{s_{\hat{t}}^2}{m} +\frac{M}{m}\sum_{i\in s}N_i^2\left(1-\frac{n_i}{N_i}\right)\frac{s_i^2}{n_i},$$

其中 $s_{\hat{t}}^2$ 是四個樣本村之 $\hat{t}_i$ 的樣本變異數。

計算

四個入選村的估計總量為：

$$\hat{t}_1=20(30)=600,\quad \hat{t}_5=30(20)=600,\quad \hat{t}_6=70(20)=1400,\quad \hat{t}_8=30(25)=750.$$

所以：

$$\hat{T}_{HT}=2(600+600+1400+750)=6700.$$

四個 $\hat{t}_i$ 的平均數為 $837.5$，樣本變異數為：

$$s_{\hat{t}}^2 =\frac{(600-837.5)^2+(600-837.5)^2+(1400-837.5)^2+(750-837.5)^2}{3} =151875.$$

第一階段變異數估計為：

$$8^2\left(1-\frac48\right)\frac{151875}{4}=1{,}215{,}000.$$

第二階段變異數估計為：

$$\frac84\sum_{i\in s}N_i^2\left(1-\frac{10}{N_i}\right)\frac{s_i^2}{10} =18{,}950.$$

因此：

$$\hat{V}(\hat{T}_{HT})=1{,}233{,}950,\qquad SE(\hat{T}_{HT})=\sqrt{1{,}233{,}950}\approx1110.83.$$

以常態近似的 95% 信賴區間，使用 $\hat{T}_{HT}\pm1.96SE$：

$$6700\pm1.96(1110.83) \approx(4523.99,\ 8876.01).$$

答：不偏估計總量為 $6700$，95% 信賴區間約為 $(4524,\ 8876)$。

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(四) 比例估計：總使用量與 95% 信賴區間

估計量與變異數公式

比例估計以已知全鄉農戶總數 $N=400$ 作為控制總數。令第一階段村的估計使用量對農戶數之比為：

核心觀念

本題考查分層隨機抽樣的估計與配置。先依住宅類型將全里家戶分成三層，再於各層內分別進行不放回簡單隨機抽樣。各層抽樣比例相同：

$$\frac{150}{1500}=\frac{200}{2000}=\frac{50}{500}=0.1$$

因此，本題為比例配置的分層隨機抽樣。估計全里滿意比例時，須以各層家戶占全里家戶的比例加權，不能直接把三層樣本比例作等權平均。

（一）抽樣設計

以住宅類型作為分層依據，分為無電梯公寓、有電梯之華廈／大樓、透天厝／別墅三層；再於每一層內，以不放回簡單隨機抽樣抽取樣本。各層抽樣率均為 $10\%$，故屬於分層隨機抽樣中的比例配置。

（二）滿意比例估計值與 95% 信賴區間

全里家戶總數為

$$N=1500+2000+500=4000$$

各層權數為

$$W_1=\frac{1500}{4000}=0.375,\qquad W_2=\frac{2000}{4000}=0.5,\qquad W_3=\frac{500}{4000}=0.125$$

分層抽樣下，全里滿意比例的估計值為各層樣本比例的加權平均：

$$\hat p_{\mathrm{st}} =\sum_{h=1}^{3}W_h\hat p_h =0.375(0.7)+0.5(0.5)+0.125(0.6) =0.59$$

故估計全里有 59% 的家戶滿意里長服務。

分層比例估計量的變異數估計為

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat p_{\mathrm{st}}) =\sum_{h=1}^{3}W_h^2 \left(1-\frac{n_h}{N_h}\right) \frac{s_h^2}{n_h}$$

對二元變數「滿意／不滿意」，以樣本比例估計層內變異數時，採用

$$s_h^2=\frac{n_h}{n_h-1}\hat p_h(1-\hat p_h)$$

代入各層資料：

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat p_{\mathrm{st}}) =\sum_{h=1}^{3}W_h^2 \left(1-\frac{n_h}{N_h}\right) \frac{\hat p_h(1-\hat p_h)}{n_h-1}$$ $$=0.375^2(0.9)\frac{0.7(0.3)}{149} +0.5^2(0.9)\frac{0.5(0.5)}{199} +0.125^2(0.9)\frac{0.6(0.4)}{49} \approx 0.0004851$$

因此標準誤為

核心觀念

本題考查「簡單隨機不放回抽樣」下，估計量的抽樣誤差如何計算，以及能否只由樣本數推得誤差上限。

題目調查的是「國內旅遊消費金額」，屬於數量變數。估計平均消費金額時，信賴區間的誤差限會受到母體變異程度影響；若要表示相對誤差百分比，還須知道平均數。抽樣不放回時，若母體有限且母體大小為 $N$，還須納入有限母體修正因子。

解題方法

在簡單隨機不放回抽樣下，母體平均數估計量的標準誤為

$$\operatorname{SE}(\bar y) = \sqrt{\left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{S^2}{n}},$$

其中 $n$ 為樣本數，$S^2$ 為母體變異數。使用常態近似時，信賴水準 $95\%$ 的誤差限約為

$$E=1.96\sqrt{\left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{S^2}{n}}.$$

若要將誤差表達為平均消費金額的相對百分比，則約為

$$\frac{E}{|\bar Y|}\times 100\% = 1.96\sqrt{\left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{S^2}{n}}\frac{1}{|\bar Y|} \times 100\%.$$

因此，除了樣本數 $n=1{,}200$，還需要母體大小 $N$、消費金額的變異程度，以及母體平均消費金額，才能計算相對誤差。題目均未提供，故不能僅憑樣本數宣稱誤差不超過 $2.83\%$。