114 關務特考三等 機械工程(選試英文)科別 熱工學 考古題詳解

核心觀念

本題考查含再生器的布雷頓循環（Brayton cycle），核心公式如下：

1. 壓縮機功： $w_c=c_p(T_2-T_1)$

2. 渦輪機等熵效率：

3. 理想氣體等熵關係：

4. 循環淨功： $w_{\mathrm{net}}=w_t-w_c$

5. 太陽能提供的外部熱量，為狀態 3 至狀態 4 的加熱量： $q_{\mathrm{in}}=c_p(T_4-T_3)$

再生器屬於內部熱交換設備，雖然可降低外部所需熱量，但不直接改變循環淨功。

解題方法

由於所有管路及熱交換器均無壓降，因此：

$P_4=P_3=P_2=5\ \mathrm{bar}$

$P_5=P_1=1\ \mathrm{bar}$

1. 求渦輪機等熵出口溫度

渦輪機入口為狀態 4，等熵出口為狀態 $5s$：

代入：

2. 求渦輪機實際出口溫度

由渦輪機等熵效率：

$0.8=\frac{T_4-T_5}{T_4-T_{5s}}$

因此：

$T_5=T_4-0.8(T_4-T_{5s})$

$T_5\approx803.8\ \mathrm{K}$

3. 求壓縮機功與渦輪機功

壓縮機功：

$w_c=c_p(T_2-T_1)$

$w_c=1.005(520-310)$

$w_c=211.05\ \mathrm{kJ/kg}$

渦輪機功：

$w_t=c_p(T_4-T_5)$

$w_t=1.005(1140-803.8)$

$w_t\approx337.9\ \mathrm{kJ/kg}$

循環淨功：

$w_{\mathrm{net}}=w_t-w_c$

核心觀念

理想超臨界郎肯循環包含四個狀態：

1. 冷凝器出口（狀態 1）：$10\ \mathrm{kPa}$ 飽和液態水。
2. 泵出口（狀態 2）：理想泵將水等熵壓縮至 $30\ \mathrm{MPa}$。
3. 汽渦輪入口（狀態 3）：$30\ \mathrm{MPa}$、$550^\circ\mathrm{C}$ 的過熱蒸汽。
4. 汽渦輪出口（狀態 4）：理想渦輪等熵膨脹至 $10\ \mathrm{kPa}$。

「超臨界」表示鍋爐壓力高於水的臨界壓力，因此加熱過程沒有液汽兩相區的蒸發平台。熱效率以淨輸出功除以輸入熱量表示：

理想泵的比功可用飽和液體比體積近似：

理想渦輪為等熵過程，因此 $s_4=s_3$。渦輪出口位於濕蒸汽區時，乾度為：

解題方法

（一）$P$-$v$ 圖及 $T$-$s$ 圖

各狀態依序為 $1\to2\to3\to4\to1$：

• $1\to2$：泵等熵壓縮，壓力由 $10\ \mathrm{kPa}$ 升至 $30\ \mathrm{MPa}$。
• $2\to3$：在 $30\ \mathrm{MPa}$ 下加熱至 $550^\circ\mathrm{C}$。
• $3\to4$：汽渦輪等熵膨脹至 $10\ \mathrm{kPa}$。
• $4\to1$：在 $10\ \mathrm{kPa}$ 下冷凝至飽和液態水。

$P$-$v$ 圖（示意）

 P
 ↑
30 MPa│ 2 ───────────────────→ 3
 │ ↑ ╲
 │ │ ╲
 │ │ ╲
10 kPa│ 1 ←────────────────────────── 4
 └──────────────────────────────────→ v

狀態 3 位於臨界點以上的高壓加熱區；膨脹後的狀態 4 位於飽和液與飽和蒸汽之間。

$T$-$s$ 圖（示意）

 T
 ↑ 3
 │ ↑│
 │ 臨界點以上加熱 ││ 等熵膨脹
 │ 2 ───────────────┘│
 │ ╱ 4
 │ ╱ ╱
 │ 1 ←───────────────┘
 └──────────────────────────→ s

在 $T$-$s$ 圖中，$1\to2$ 理想泵送與 $3\to4$ 理想膨脹均為等熵過程，因此分別近似為垂直線；$4\to1$ 為定壓冷凝過程。

（二）循環熱效率

泵功為：

其中壓力以 $\mathrm{kPa}$ 代入。故泵出口焓：

核心觀念

本題考查二級等熵壓縮與中間冷卻器的熱力分析。採用空氣理想氣體、定比熱及完全中間冷卻假設：

$T_3=T_1=290\ \mathrm{K}$

等熵壓縮關係式為

壓縮機單位質量所需功為

$w_c=c_p(T_{\mathrm{out}}-T_{\mathrm{in}})$

其中

$c_p=1.005\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\qquad k=1.4$

(一) 二級壓縮功

已知

$P_1=100\ \mathrm{kPa},\qquad P_4=1600\ \mathrm{kPa}$

最佳中間壓力為

第一級壓縮出口溫度：

$T_2=T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{(k-1)/k}$

完全中間冷卻後：

$T_3=T_1=290\ \mathrm{K}$

第二級壓縮出口溫度：

$T_4=T_3\left(\frac{P_4}{P_3}\right)^{(k-1)/k}$

因此第一級壓縮功為

$w_{c1}=c_p(T_2-T_1)$

第二級壓縮功為

$w_{c2}=c_p(T_4-T_3)$

總壓縮功：

(二) $P$-$v$ 圖與 $T$-$s$ 圖

壓縮過程如下：

• $1\to2$：第一級等熵壓縮，壓力由 $100$ kPa 升至 $400$ kPa。
• $2\to3$：中間冷卻器等壓冷卻，壓力維持 $400$ kPa，溫度由 $430.94$ K 降至 $290$ K。
• $3\to4$：第二級等熵壓縮，壓力由 $400$ kPa 升至 $1600$ kPa。

$P$-$v$ 示意圖：

P
│ 4
│ ／
│ 2 ─────── 3
│ ／
│ 1
└──────────────────────── v

核心觀念

本題考查冷空氣標準奧圖循環（Otto cycle）的狀態關係與性能計算。循環由兩個等熵過程及兩個定容過程組成：

• $1\to2$：等熵壓縮；
• $2\to3$：定容吸熱；
• $3\to4$：等熵膨脹；
• $4\to1$：定容放熱。

壓縮比為 $r=V_1/V_2$。冷空氣標準假設下，比熱視為定值，且有

定容加熱則滿足

解題方法

已知壓縮過程起點為狀態 1，且 $T_1=10+273.15=283.15\ \mathrm{K}$。先用壓縮比求狀態 2，再由定容吸熱求狀態 3。因為 $2\to3$ 為定容過程，體積不變，故 $P_3/P_2=T_3/T_2$，而最高壓力、最高溫度都出現在狀態 3。

已知

（一）最高壓力及溫度

等熵壓縮 $1\to2$：

定容加熱 $2\to3$：

由定容關係 $P_3/P_2=T_3/T_2$：

因此，最高溫度為 $T_3$，最高壓力為 $P_3$。

（二）熱效率

奧圖循環等熵膨脹 $3\to4$ 後，狀態 4 的溫度為

定容放熱量的大小為

核心觀念

本題考查管流的不可逆性、風力發電的能量轉換與風速效應、濕空氣的相對濕度與絕對濕度，以及燃燒的絕熱火焰溫度。作答時須分清：

• 壓力下降描述流動狀態的變化；熵增加來自摩擦等不可逆效應。
• 相對濕度是水蒸氣分壓與同溫度下飽和蒸氣壓的比值；絕對濕度表示空氣中的水蒸氣含量。
• 絕熱火焰溫度是絕熱燃燒的能量平衡結果，受燃料、空氣量及反應物條件影響。

(一) 管流壁面摩擦造成的壓降與溫升如何影響熵？

管內流體因壁面摩擦而產生不可逆耗散，機械能轉為內能，因此壓力下降，且流體溫度通常上升。對穩定流動而言，熵平衡可寫成「出口熵流率減入口熵流率等於熵產生率」；摩擦使熵產生率為正，因此出口比熵大於入口比熵：

若以理想氣體近似，熵變為：

摩擦造成 $p_{\text{out}}<p_{\text{in}}$，第二項因此為正；若溫度上升，第一項也為正。兩種效應都使出口熵增加。

**解題技巧：**不要把「壓降」直接當作熵減少。判斷方向時，先辨認摩擦是不可逆過程，再用熵平衡確認熵產生為正。

(二) 風力發電原理及功率與風速的關係

風具有動能。風流經葉片時，葉片產生升力與阻力並帶動轉子旋轉，轉子再驅動發電機，將風的機械能轉換為電能。

若風速為 $V$、空氣密度為 $\rho$、掃掠面積為 $A$，單位時間通過葉片掃掠面的空氣質量為 $\dot m=\rho AV$。風所具有的動能流率為：

風力機可取得的功率為：

其中 $C_p$ 為功率係數，實際值受葉片設計及運轉狀態影響。因此，在空氣密度、掃掠面積及功率係數相同時，風力機功率與風速的三次方成正比：風速加倍，理想可取得的風能功率為原來的八倍