109 關務特考四等 電機工程 基本電學 考古題詳解

核心觀念

本題考查節點電壓法、克希荷夫電流定律（KCL）與電阻消耗功率。題目給定 $4\,\Omega$ 電阻兩端電壓為 $0\,\mathrm{V}$，因此其兩端節點等電位，流經該電阻的電流也為零。

依圖中 $12\,\mathrm{V}$ 電壓源的極性，上端為正端。將電壓源下端設為 $0\,\mathrm{V}$，上端即為 $12\,\mathrm{V}$。

解題方法

設中央上、下兩個節點的電位分別為 $V_1$、$V_2$。因為 $4\,\Omega$ 電阻兩端電壓為零：

右側電流源方向向下。由右側上、下端節點的 KCL，流經 $6\,\Omega$ 與 $7\,\Omega$ 電阻的電流大小均為 $I_S$。

在中央上節點套用 KCL：

流向 $3\,\Omega$ 電阻的電流為 $(V-12)/3$，流向右側支路的電流為 $I_S$。由於 $4\,\Omega$ 電阻電流為零：

因此：

在中央下節點套用 KCL：

核心觀念

並聯電容器兩端電壓相同，等效電容量為各電容量相加；串聯電容器的電荷量相同，等效電容量滿足

解題方法

圖二(a)中，$C_3=1\,\mu\mathrm{F}$ 與 $C_4=2\,\mu\mathrm{F}$ 並聯，因此

電路化為 $C_1=4\,\mu\mathrm{F}$、$C_2=6\,\mu\mathrm{F}$、$C_{34}=3\,\mu\mathrm{F}$ 三個電容串聯。其等效電容量為

加入 $9\,\mathrm{V}$ 電源後，串聯電荷量相同：

因此，

並聯支路的電壓為

核心觀念

負載取得最大平均功率時，應等於負載端戴維寧等效阻抗的共軛：

若 $Z_{\mathrm{Th}}=R_{\mathrm{Th}}+jX_{\mathrm{Th}}$，則最大功率為

其中相量電壓以有效值計算。

解題方法

先將負載移除，求負載端的戴維寧電壓；再將理想電壓源短路，求負載端的戴維寧阻抗。

1. 求戴維寧電壓

負載開路時，右側的 $5\,\Omega$ 與 $-j10\,\Omega$ 支路沒有電源，因此負載右端電壓為零。負載左端電壓由 $2\,\Omega$ 與 $j6\,\Omega$ 分壓：

因此

2. 求戴維寧阻抗

將 $20\angle0^\circ\ \mathrm{V}$ 理想電壓源短路。負載左端至地的阻抗為

核心觀念

圖四的電源 $100\angle 0^\circ\text{ V}$ 加在兩個並聯支路上，因此每個支路的電壓都是 $100\angle 0^\circ\text{ V}$。每個支路內的元件為串聯，先合併成支路阻抗，再計算支路複功率。

複功率與功率因數的關係為：

其中 $P$ 為有效功率，$Q$ 為無效功率；電感性負載的 $Q>0$，電容性負載的 $Q<0$。總視在功率為 $|S|=\sqrt{P^2+Q^2}$，功率因數為 $\mathrm{PF}=P/|S|$。

解題方法

左支路是 $6\,\Omega$ 電阻與 $-j8\,\Omega$ 電容串聯，故

其支路電流為

因此左支路複功率為

右支路是 $j4\,\Omega$ 電感與 $3\,\Omega$ 電阻串聯，故

其支路電流為

右支路複功率為