110 關務特考四等 電機工程 基本電學 考古題詳解

110 年・關務特考・四等・電機工程
試題代碼 基本電學

第 一 題25 分

如圖一所示，為一條銀導線和一條銅導線所連接之導電線（僅為示意圖，沒有依實際尺寸比例畫圖），不考慮銀導線和銅導線連接處之接觸電阻。

假設在 20∘C20^\circ\mathrm{C} 時，銀導線之電阻係數為 1.63×10−6 Ω⋅cm1.63\times10^{-6}\,\Omega\cdot\mathrm{cm}，截面積為 0.02 cm20.02\,\mathrm{cm}^2，長度為 50 cm50\,\mathrm{cm}；銅導線之電阻係數為 11×10−6 Ω⋅cm11\times10^{-6}\,\Omega\cdot\mathrm{cm}，截面積為 0.02 cm20.02\,\mathrm{cm}^2。

圖示之銀導線和銅導線連接之導線，從 AA 到 BB 端，其電阻假設為 0.02 Ω0.02\,\Omega。求銅導線之長度為多少 cm\mathrm{cm}？

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核心觀念

銀導線與銅導線首尾相接，且題目不計接觸電阻，因此兩段導線串聯，總電阻為兩段電阻相加。均勻導線的電阻公式為

R=ρLAR=\rho\frac{L}{A}

其中 ρ\rho 為電阻係數、LL 為長度、AA 為截面積。

解題方法

先用銀導線的電阻係數、長度與截面積，求出銀導線電阻：

R銀=1.63×10−6500.02=0.004075 ΩR_{\text{銀}} =1.63\times10^{-6}\frac{50}{0.02} =0.004075\ \Omega

總電阻為 0.02 Ω0.02\ \Omega，所以銅導線的電阻為

R銅=0.02−0.004075=0.015925 ΩR_{\text{銅}} =0.02-0.004075 =0.015925\ \Omega
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第 二 題25 分

如圖二所示電路，其中 V1=10 VV_1=10\,\mathrm{V}，R1=10 ΩR_1=10\,\Omega，R2=10 ΩR_2=10\,\Omega，R3=10 ΩR_3=10\,\Omega，R4=20 ΩR_4=20\,\Omega。求 I2I_2 之電流為多少安培（A\mathrm{A}）？

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核心觀念

本題考電阻串並聯與惠斯登電橋平衡。電橋平衡時，中間橫向的 R3R_3 兩端電位相同，因此其中沒有電流。

圖中每一對同名的 R1R_1、R2R_2、R4R_4 分別接在相同兩個節點之間，故各自並聯：

R1,eq=R2,eq=R4,eq=10∥10=5 ΩR_{1,\mathrm{eq}}=R_{2,\mathrm{eq}}=R_{4,\mathrm{eq}} =10\parallel10=5\,\Omega

解題方法

先檢查電橋平衡條件。上方兩臂的等效電阻相等，左下臂與右下臂的等效電阻也相等：

R1,eqR2,eq=R3R4,eq=55=1\frac{R_{1,\mathrm{eq}}}{R_{2,\mathrm{eq}}} =\frac{R_3}{R_{4,\mathrm{eq}}} =\frac{5}{5}=1
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第 三 題25 分

如圖三所示電路，其中 V1=10 VV_1=10\,\mathrm{V}，R1=R2=R3=R5=2 kΩR_1=R_2=R_3=R_5=2\,\mathrm{k}\Omega，R4=1 kΩR_4=1\,\mathrm{k}\Omega，C1=C2=6 μFC_1=C_2=6\,\mu\mathrm{F}。假設 VC1(0)=VC2(0)=0 VV_{C1}(0)=V_{C2}(0)=0\,\mathrm{V}，求所有時間為正（t>0t>0）時，電容器 C2C_2 之電壓變化 VC2(t)V_{C2}(t) 為多少伏特（V\mathrm{V}）？

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核心觀念

此題考查一階 RC 電路的暫態響應。先將並聯電容合併，再由電容兩端看入電阻網路，求出戴維寧等效電壓 VThV_{\mathrm{Th}} 與等效電阻 RThR_{\mathrm{Th}}，最後代入

vC(t)=VTh+[vC(0)−VTh]e−t/(RThCeq).v_C(t)=V_{\mathrm{Th}}+\bigl[v_C(0)-V_{\mathrm{Th}}\bigr]e^{-t/(R_{\mathrm{Th}}C_{\mathrm{eq}})}.

解題方法

圖中 C1C_1、C2C_2 的兩端分別接在相同的兩個節點，因此兩電容並聯，且電壓相同：

Ceq=C1+C2=12 μF,VC1(t)=VC2(t).C_{\mathrm{eq}}=C_1+C_2=12\,\mu\mathrm{F}, \qquad V_{C1}(t)=V_{C2}(t).

1. 求穩態戴維寧電壓

直流穩態時，電容視為開路。此時 R5R_5 無電流，因此其兩端無壓降，電容右側節點電壓等於電源負端節點電壓。

R1R_1 與 R2R_2 並聯：

R1∥R2=1 kΩ.R_1\parallel R_2=1\,\mathrm{k}\Omega.

由左側節點經 R1∥R2R_1\parallel R_2、R4R_4 到電源負端的電阻為 2 kΩ2\,\mathrm{k}\Omega，與 R3=2 kΩR_3=2\,\mathrm{k}\Omega 相同。以電源負端為零電位，對電容左側節點寫 KCL：

VA−102 kΩ+VA2 kΩ=0,\frac{V_A-10}{2\,\mathrm{k}\Omega} +\frac{V_A}{2\,\mathrm{k}\Omega}=0,

解得 VA=5 VV_A=5\,\mathrm{V}。因此

VTh=VA−VB=5 V.V_{\mathrm{Th}}=V_A-V_B=5\,\mathrm{V}.

2. 求戴維寧等效電阻

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第 四 題25 分

如圖四所示電路，電源 V˙1=12∠0∘ V\dot{V}_1=12\angle0^\circ\,\mathrm{V}，R1=R2=12 ΩR_1=R_2=12\,\Omega，R3=6 ΩR_3=6\,\Omega，R4=2 ΩR_4=2\,\Omega，XC1=−j4 ΩX_{C1}=-j4\,\Omega。C1C_1 沒有初始電壓，求 V˙\dot{V} 的值為多少伏特（V\mathrm{V}）？

（備註：V˙1\dot{V}_1、V˙\dot{V} 為相量型式之電壓。）

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核心觀念

本題考查交流相量電路的阻抗計算與分壓。電阻以實數阻抗表示，電容阻抗為 XC1=−j4 ΩX_{C1}=-j4\,\Omega。圖中 V˙\dot V 是右側串聯支路（C1C_1 與 R4R_4）兩端的電壓。

解題方法

先將 R1R_1、R2R_2 合併，再把其餘電路對右側支路化為戴維寧等效電路。

由於 R1=R2=12 ΩR_1=R_2=12\,\Omega 並聯：

R1∥R2=12∥12=6 ΩR_1\parallel R_2=12\parallel12=6\,\Omega

將右側的 C1C_1、R4R_4 支路暫時移除，中央節點電壓由 6 Ω6\,\Omega 與 R3=6 ΩR_3=6\,\Omega 分壓：

V˙th=12⋅66+6=6 V\dot V_{\mathrm{th}} =12\cdot\frac{6}{6+6} =6\,\mathrm V

將理想電壓源短路後，從中央節點看入的等效電阻為：

Rth=(R1∥R2)∥R3=6∥6=3 ΩR_{\mathrm{th}} =(R_1\parallel R_2)\parallel R_3 =6\parallel6 =3\,\Omega

右側支路的總阻抗為：

Zload=R4+XC1=2−j4 ΩZ_{\mathrm{load}}=R_4+X_{C1}=2-j4\,\Omega

因此，支路電壓為：

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