110 關務特考四等 電機工程 電工機械概要 考古題詳解

核心觀念

本題考同步發電機的短路比與同步電抗，以及由同步電抗求落後功率因數下的激磁電流。

短路比定義為：在相同轉速下，產生額定電壓所需的激磁電流，除以產生額定電樞電流所需的激磁電流。因此，

$$\mathrm{SCR}=\frac{I_{f,\mathrm{oc}}}{I_{f,\mathrm{sc}}}$$

忽略磁飽和時，同步電抗可由開路與短路特性求得。發電機的每相電壓方程式為

$$\underline{E}_f=\underline{V}_\phi+(R_a+jX_s)\underline{I}_a$$

題目忽略損失，取 $R_a=0$，故

$$\underline{E}_f=\underline{V}_\phi+jX_s\underline{I}_a$$

解題方法

已知開路實驗在額定端電壓時，激磁電流為 $8\ \mathrm{A}$；短路實驗在額定電樞電流時，激磁電流為 $4.5\ \mathrm{A}$。先用這兩個激磁電流求短路比，再以額定每相電壓除以額定電流求同步電抗。

（一）短路比與每相同步電抗

短路比為

$$\mathrm{SCR}=\frac{8}{4.5}=1.7778\approx 1.78$$

三相 $Y$ 接的線電流等於相電流，額定相電壓為

$$V_\phi=\frac{380}{\sqrt{3}}=219.39\ \mathrm{V}$$

額定線電流為

$$I_L=I_\phi=\frac{100\,000}{\sqrt{3}\times 380} =151.93\ \mathrm{A}$$

短路實驗時，額定電樞電流所需的激磁電流為 $4.5\ \mathrm{A}$。忽略磁飽和，開路電壓與激磁電流成正比；因此，在 $4.5\ \mathrm{A}$ 激磁下的開路相電壓為

$$E_{\mathrm{oc},\phi} =\frac{4.5}{8}\times \frac{380}{\sqrt{3}} =123.41\ \mathrm{V}$$

短路時端電壓為零，且忽略電樞電阻，所以每相同步電抗為

$$X_s=\frac{E_{\mathrm{oc},\phi}}{I_\phi} =\frac{123.41}{151.93} =0.8123\ \Omega$$

也可用 $X_s=V_\phi/(\mathrm{SCR}\,I_\phi)$ 驗算，結果相同。

（二）電樞電流、輸出功率與激磁電流

額定視在功率為 $100\ \mathrm{kVA}$，額定線電壓為 $380\ \mathrm{V}$，因此電樞電流（$Y$ 接時線電流即相電流）為

$$I_a=I_L=\frac{100\,000}{\sqrt{3}\times 380} =151.93\ \mathrm{A}$$

核心觀念

永磁式直流電動機的磁通量為定值，因此反電動勢與轉速成正比，電磁轉矩與電樞電流成正比：

$$E_a = k\Phi\omega,\qquad T_e = k\Phi I_a$$

電樞電路的電壓方程式為：

$$V_a = E_a + I_aR_a$$

其中 $V_a$ 為外加電樞端電壓，$E_a$ 為反電動勢，$R_a=0.4\ \Omega$。

已知轉速 $1200\ \mathrm{rpm}$ 時，$E_a=100\ \mathrm{V}$，故反電動勢與轉速的關係為：

$$E_a = 100\left(\frac{n}{1200}\right)$$

又因磁通量固定，若兩種運轉狀態的電磁轉矩相同，則其電樞電流也相同。

解題方法

（一）轉速 $1740\ \mathrm{rpm}$ 時的電樞電流與電磁轉矩

先依轉速比例求反電動勢：

$$E_{a1}=100\left(\frac{1740}{1200}\right)=145\ \mathrm{V}$$

由電樞電壓方程式：

$$I_{a1}=\frac{V_{a1}-E_{a1}}{R_a} =\frac{150-145}{0.4} =12.5\ \mathrm{A}$$

電磁轉矩可由電磁功率除以角速度求得：

$$T_{e1}=\frac{E_{a1}I_{a1}}{\omega_1}$$

轉速換算為角速度：

$$\omega_1=\frac{2\pi n_1}{60} =\frac{2\pi(1740)}{60} =58\pi\ \mathrm{rad/s}$$

因此：

$$T_{e1}=\frac{145(12.5)}{58\pi} \approx 9.94\ \mathrm{N\cdot m}$$

核心觀念

本題考查理想單相變壓器的匝數比、額定電流，以及負載阻抗折算與功率計算。理想變壓器的電壓比等於匝數比，電流比則與匝數比成反比；額定容量在高、低壓側相同。

令高壓側為一次側、低壓側為二次側，則：

$$\frac{V_H}{V_L}=\frac{N_H}{N_L}=a,\qquad \frac{I_H}{I_L}=\frac{1}{a},\qquad S=V_HI_H=V_LI_L$$

本題為單相變壓器，容量關係使用 $S=VI$。

解題方法

（一）計算高壓側匝數

已知低壓側電壓 $V_L=240\ \mathrm{V}$、匝數 $N_L=160$ 匝，高壓側電壓 $V_H=3300\ \mathrm{V}$。由匝數比等於電壓比：

$$\frac{N_H}{160}=\frac{3300}{240}=13.75$$ $$N_H=160\times13.75=2200\ \text{匝}$$

（二）計算兩側額定電流

額定容量為 $S=120\ \mathrm{kVA}=120{,}000\ \mathrm{VA}$。單相額定電流為 $I=S/V$。

高壓側：

$$I_H=\frac{120{,}000}{3300} \approx36.36\ \mathrm{A}$$

低壓側：

$$I_L=\frac{120{,}000}{240}=500\ \mathrm{A}$$

驗算電流比：

$$\frac{I_L}{I_H}\approx\frac{500}{36.36}\approx13.75 =\frac{3300}{240}$$

低壓側電流較大，符合變壓器電壓與電流反比的關係。

（三）計算高壓側電流及負載消耗功率

理想變壓器的電壓比為：

$$a=\frac{3300}{240}=13.75$$

高壓側端電壓為 $3025\ \mathrm{V}$，因此低壓側端電壓為：

$$V_L=3025\left(\frac{240}{3300}\right)=220\ \mathrm{V}$$

低壓側負載阻抗為：

核心觀念

本題考查單相感應電動機的同步轉速、滑差、效率與轉矩，以及並聯電容器改善功率因數的計算。

兩極、$60\ \mathrm{Hz}$ 電動機的同步轉速為

$$n_s=\frac{120f}{P}$$

滑差率定義為

$$s=\frac{n_s-n}{n_s}$$

單相電動機的輸入實功率為 $P_{\mathrm{in}}=VI\cos\phi$；效率為輸出功率與輸入實功率之比。輸出轉矩則由機械功率與角速度的關係求得。

功率因數改善時，並聯電容器供應原負載所需的無效功率；若改善至功率因數 $1$，電源只需供應負載實功率。

解題方法

（一）滑差率、輸出功率與輸出轉矩

已知 $f=60\ \mathrm{Hz}$、極數 $P=2$，同步轉速為

$$n_s=\frac{120\times 60}{2}=3600\ \mathrm{轉／分}$$

實際轉速 $n=3510\ \mathrm{轉／分}$，故滑差率為

$$s=\frac{3600-3510}{3600}=0.025=2.5\%$$

電動機輸入實功率為

$$P_{\mathrm{in}}=VI\cos\phi =220\times 4\times 0.7 =616\ \mathrm{W}$$

效率 $\eta=70\%=0.7$，因此輸出功率為

$$P_{\mathrm{out}}=\eta P_{\mathrm{in}} =0.7\times 616 =431.2\ \mathrm{W}$$

以實際轉速換算輸出轉矩：

$$T=\frac{P_{\mathrm{out}}}{\omega} =\frac{P_{\mathrm{out}}}{2\pi n/60} =\frac{60P_{\mathrm{out}}}{2\pi n}$$ $$T=\frac{60\times 431.2}{2\pi\times 3510} \approx 1.17\ \mathrm{N\cdot m}$$

（二）並聯電容值與電源提供電流

原負載的視在功率為