111 關務特考四等 電機工程 電工機械概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查電工機械（變壓器章節）​中「理想變壓器（Ideal Transformer）」的定義、模型建立條件與基本數學表達式。

理想變壓器是一種為了簡化分析而建立的極限物理模型。實體變壓器存在繞組電阻（銅損）、鐵芯磁化損耗（磁滯損與渦流損）、漏磁通（漏電抗）以及鐵芯飽和與勵磁電流等非線性特性。理想變壓器模型將上述所有損失與非線性物理效應忽視不計，建立具備 100% 能量傳輸效率與完美磁耦合特性的四端網路模型。

關鍵公式包括：

1. 匝數比（Turn Ratio）定義： $a = \frac{N_1}{N_2}$
2. 電壓關係（法拉第電磁感應定律）： $\frac{V_1}{V_2} = \frac{E_1}{E_2} = \frac{N_1}{N_2} = a$
3. 電流關係（安培環路定律與無負載勵磁安匝為零）： $\frac{I_1}{I_2} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{a} \implies N_1 I_1 = N_2 I_2$
4. 阻抗折算關係： $Z_{in} = \frac{V_1}{I_1} = a^2 \frac{V_2}{I_2} = a^2 Z_L$
5. 功率與容量守恆： $S_1 = V_1 I_1^* = V_2 I_2^* = S_2 \implies P_1 = P_2 \text{ 且 } Q_1 = Q_2$

---

解題方法

針對申論題「試述理想變壓器的模型，其須符合那些條件？」，答題結構應包含​「模型定義」、「四大核心條件」​與​「理想模型控制方程式推導」​三個層面：

1. 定義說明：點出理想變壓器為無損失、無漏磁、無勵磁電流且磁路完全線性的靜止電磁能量轉換裝置。
2. 條列四大基本條件：

• 繞組無電阻（$R_1 = R_2 = 0$）。
• 鐵芯無損失（$P_c = P_h + P_e = 0$）。
• 磁路無漏磁（耦合係數 $k = 1$，$X_{l1} = X_{l2} = 0$）。
• 鐵芯磁導率無限大（$\mu \to \infty$，$R_m = 0$，$I_m = 0$）。

3. 推導基本電磁方程式：說明電壓比、電流比與阻抗變換之推導過程與實務意義。

---

選項分析

本題為申論題（問答題），非選擇題。以下針對理想變壓器模型所必須符合的四大核心條件及其相對應的非理想物理現象捨棄進行逐項深入解析與比較：

1. 條件一：繞組電阻為零（$R_1 = 0, R_2 = 0$）

• 理想狀態：一次側與二次側繞組導線無電阻。
• 物理意義：繞組無銅損（$I^2 R$ 損失為零），繞組內部不產生壓降。因此端電壓直接等於感應電動勢，即 $V_1 = E_1$ 且 $V_2 = E_2$。

2. 條件二：鐵芯磁導率無限大（$\mu \to \infty$）

• 理想狀態：磁路磁阻 $R_m = \frac{l}{\mu A} = 0$。
• 物理意義：建立主磁通所需的磁化電流（勵磁電流）為零（$I_m = 0$），鐵芯不發生磁飽和現象，B-H 磁化曲線為無滯後、無限陡峭的直線。無負載時的一次側輸入電流為零（$I_0 = 0$）。

3. 條件三：無漏磁通存在（耦合係數 $k = 1$）

• 理想狀態：一次側繞組產生的磁通完全約束於鐵芯內部，並 100% 鏈結至二次側繞組，即漏磁通

核心觀念

本題考查分激式直流發電機的：

1. 負載特性與端電壓下降原因。
2. 多部直流發電機並聯運轉條件。
3. 自激式分激發電機的電壓建立過程。

常用基本關係式如下：

$$E_a=k\phi\omega$$ $$V_t=E_a-I_aR_a-V_b$$

其中：

• $E_a$：電樞感應電勢
• $V_t$：端電壓
• $I_a$：電樞電流
• $R_a$：電樞電阻
• $V_b$：電刷接觸壓降
• $\phi$：每極磁通
• $\omega$：電樞角速度

分激繞組通常直接並聯於電樞端，因此：

$$I_f=\frac{V_t}{R_f}$$

端電壓下降會使分激電流 $I_f$ 減小，進一步使磁通減小，造成感應電勢下降。

---

（一）負載加上後端電壓下降的原因

1. 電樞電阻壓降

負載增加時，電樞電流 $I_a$ 增加，電樞內部電阻壓降 $I_aR_a$ 增加，因此：

$$V_t=E_a-I_aR_a-V_b$$

在感應電勢 $E_a$ 暫時不變時，$I_aR_a$ 增加會直接造成端電壓下降。

2. 電刷壓降增加

電流增大時，電刷與換向器間的接觸壓降 $V_b$ 亦會造成端電壓降低。此項通常約為固定的電刷壓降，但在負載變化時仍須列入電壓方程式。

3. 電樞反應造成磁通減弱

負載電流流過電樞繞組後產生電樞磁勢，會造成主磁場：

• 橫向偏移；
• 部分抵消主磁通；
• 使有效磁通 $\phi$ 減小。

由於：

$$E_a=k\phi\omega$$

當 $\phi$ 減小時，感應電勢 $E_a$ 下降，端電壓也隨之降低。

4. 分激電流下降所造成的連鎖作用

分激式發電機的分激繞組接在端電壓兩端：

$$I_f=\frac{V_t}{R_f}$$

因此端電壓降低會使分激電流減小，主磁通進一步下降，造成 $E_a$ 再下降，形成電壓下降的連鎖作用。

【小結】

負載加上後端電壓下降，主要原因為：

$$\boxed{\text{電樞電阻壓降、電刷壓降、電樞反應及分激電流減少}}$$

其中最基本的直接原因是 $I_aR_a$ 壓降增加；電樞反應與分激電流減少則會使感應電勢進一步降低。

---

（二）並聯運轉之主要條件

分激式直流發電機並聯運轉時，須將各發電機接至同一對母線。主要條件如下。

1. 額定端電壓相同

各發電機的額定電壓必須相同，才能共同供應同一額定電壓的負載。

2. 極性相同

待並聯發電機的正端必須接至母線正端，負端接至母線負端。若極性接反，接上母線時會形成極大的短路電流，造成嚴重事故。

3. 並聯前端電壓應等於母線電壓

合閘前應調整待並聯發電機的勵磁，使其端電壓與母線電壓相等或極為接近：

$$V_{g}=V_{\text{bus}}$$

若待並聯發電機電壓過高或過低，合閘瞬間會產生循環電流。

4. 電壓調整特性應適當，以便穩定分擔負載

各發電機的外特性及電壓調整率應相近，並具適當的下降特性，使負載能依容量合理分配。

若兩部發電機的外特性差異過大，可能造成：

• 某一部機器承擔過多負載；
• 另一部機器負載過輕；
• 發生循環電流；
• 並聯運轉不穩定。

【補充】

直流發電機沒有交流系統中的「相位同步」問題，但仍必須注意極性與電壓相等。若為複激式或積複激式發電機，通常還須設置均壓線，以避免因串激繞組電流差異造成不均勻負載分配；單純分激式發電機則以極性、電壓及負載分配特性為主要條件。

---

（三）電壓建立過程

1. 磁極中存在殘磁

發電機停止運轉後，磁極鐵心仍保留少量磁通，稱為殘磁，記為 $\phi_r$。

啟動原動機使電樞旋轉後，即使分激繞組尚未有明顯電流，殘磁仍能產生初始感應電勢：

$$E_{a0}=k\phi_r\omega$$

此初始電壓通常很小，但它是自激建立電壓的起點。

2. 初始感應電勢使分激繞組產生電流

分激繞組接於發電機端子，因此初始感應電勢會產生分激電流：

$$I_f=\frac{V_t}{R_f}$$

此電流所產生的分激磁勢，若方向與殘磁方向相同，就會增加主磁通。

分激繞組的接法必須使其磁場具有累積作用，即：

$$\phi_f \text{ 與 } \phi_r \text{ 同向}$$

核心觀念

本題考查交流電路中的功率三角形與功率因數補償：

• 實功率：$P$，單位為 $\text{kW}$
• 虛功率：$Q$，單位為 $\text{kVAR}$
• 視在功率：$S$，單位為 $\text{kVA}$
• 功率因數：

$$\cos\phi=\frac{P}{S}$$

功率三角形關係為：

$$Q=P\tan\phi$$

工廠原本為「$0.6$ 落後」，表示負載吸收感性虛功率；同步電動機以超前功率因數運轉時，可供應超前虛功率，用以抵銷工廠原有的部分感性虛功率。

本題未提供同步電動機的實功率，因此依題意採用功率因數補償的標準假設：同步電動機視為同步調相機，主要供應虛功率，其實功率消耗相對忽略。

解題方法

先求工廠原有的感性虛功率，再求改善至功率因數 $0.9$ 後所允許的總虛功率，兩者差值即為同步電動機必須供應的超前虛功率。

（一）同步電動機所供應的虛功率

原工廠負載：

$$P=1000\text{ kW}$$

原功率因數為 $0.6$ 落後，因此：

$$\cos\phi_1=0.6$$

由功率因數三角形：

$$\tan\phi_1 =\frac{\sqrt{1-0.6^2}}{0.6} =\frac{0.8}{0.6} =\frac{4}{3}$$

原工廠虛功率為：

$$Q_1=P\tan\phi_1 =1000\times\frac{4}{3} =1333.33\text{ kVAR}$$

改善後功率因數為 $0.9$ 落後：

$$\cos\phi_2=0.9$$

因此：

$$\tan\phi_2 =\frac{\sqrt{1-0.9^2}}{0.9} =\frac{\sqrt{0.19}}{0.9} \approx 0.4843$$

改善後工廠所需的總虛功率為：

$$Q_2=P\tan\phi_2 =1000\times0.4843 \approx484.32\text{ kVAR}$$

同步電動機需供應的超前虛功率：

核心觀念

本題考查感應電動機的：

1. 同步轉速
2. 轉差率
3. 線性轉矩—速度特性

所用公式為：

同步轉速

$$N_s=\frac{120f}{P}$$

其中：

• $N_s$：同步轉速，單位為 rpm
• $f$：電源頻率，單位為 Hz
• $P$：極數

轉差率

$$s=\frac{N_s-N_r}{N_s}$$

其中 $N_r$ 為轉子實際轉速。

感應電動機的轉矩—速度特性，在接近同步轉速的正常運轉區域可視為直線。當轉矩為零時，轉速為同步轉速，因此可利用轉差轉速與轉矩成正比的關係解答第三小題。

---

解題方法

（一）同步轉速

已知：

$$P=2,\qquad f=50\text{ Hz}$$

代入同步轉速公式：

$$N_s=\frac{120f}{P} =\frac{120\times 50}{2} =3000\text{ rpm}$$

因此，

$$\boxed{N_s=3000\text{ rpm}}$$

---

（二）轉差率

已知轉子轉速：

$$N_r=2950\text{ rpm}$$

同步轉速與轉子轉速之差為轉差轉速：

$$N_s-N_r=3000-2950=50\text{ rpm}$$

因此轉差率為：

$$s=\frac{N_s-N_r}{N_s} =\frac{3000-2950}{3000} =\frac{50}{3000} =\frac{1}{60} =0.01667$$

換算為百分比：

$$s=0.01667\times 100\% =1.667\%$$

所以，

$$\boxed{s\approx 1.67\%}$$

---

（三）轉矩加倍時的轉速

題目給定機械負載功率為 $15\text{ kW}$。在原來的 $2950\text{ rpm}$ 下，負載轉矩為：

$$T_1=\frac{P_{\text{mech}}}{\omega_1}$$

其中角速度：

$$\omega_1=\frac{2\pi N_1}{60} =\frac{2\pi\times 2950}{60} \text{ rad/s}$$

因此：

$$T_1 =\frac{15000}{2\pi(2950/60)} \approx 48.6\text{ N}\cdot\text{m}$$

當轉矩加倍時：

$$T_2=2T_1$$