107 關務特考四等 電機工程 電工機械概要 考古題詳解

核心觀念

1. 自耦變壓器（Autotransformer）之接線與電壓關係：

• 升壓型接法（Step-up）中，輸入端（一次側）跨接於共用繞組（Common Winding，$N_C$），輸出端（二次側）則為共用繞組與串聯繞組（Series Winding，$N_{SE}$）串聯之總電壓。
• 加極性（Additive Polarity）下，二次側高壓端電壓為： $V_H = V_C + V_{SE} = V_L + V_{SE}$

2. 額定容量限制與功率傳遞機制：

• 自耦變壓器之最大操作容量，受限於原雙繞組變壓器各繞組所能容許之額定電流（溫升極限）。二次側線路電流即為流經串聯繞組之電流，故 $I_{H,\max} = I_{SE,\mathrm{rated}}$。
• 自耦變壓器輸出總視在功率包含「電磁感應傳導（Transformed Power）」與「電氣直接傳導（Conducted Power）」兩部分，其額定容量與原雙繞組容量之關係為： $\frac{S_{\mathrm{auto}}}{S_W} = \frac{V_H}{V_{SE}} = 1 + \frac{V_C}{V_{SE}}$

3. 串聯阻抗標麼值（Per-Unit Impedance）之轉換：

• 標麼阻抗定義為 $Z_{\mathrm{pu}} = Z_{\Omega} \times \frac{S_{\mathrm{base}}}{V_{\mathrm{base}}^2}$。
• 改接為自耦變壓器後，內部的實體等效電阻與漏抗未變，但因基準容量由 $S_W$ 擴增至 $S_{\mathrm{auto}}$，基準電壓由 $V_{SE}$ 提高至 $V_H$，使得自耦變壓器之標麼串聯阻抗縮小為原雙繞組變壓器的容量倍數倒數： $Z_{\mathrm{pu},\mathrm{auto}} = \frac{S_W}{S_{\mathrm{auto}}} Z_{\mathrm{pu},W} = \frac{V_{SE}}{V_H} Z_{\mathrm{pu},W}$

解題方法

已知條件

• 原雙繞組變壓器額定：$S_W = 200\ \mathrm{VA}$，$V_1 = 120\ \mathrm{V}$，$V_2 = 12\ \mathrm{V}$
• 共用繞組（高壓側）：$V_C = 120\ \mathrm{V}$
• 串聯繞組（低壓側）：$V_{SE} = 12\ \mathrm{V}$
• 一次側輸入電壓：$V_L = 120\ \mathrm{V}$
• 原繞組額定電流：
• 共用繞組額定電流： $I_{C,\mathrm{rated}} = \frac{S_W}{V_C} = \frac{200\ \mathrm{VA}}{120\ \mathrm{V}} = \frac{5}{3}\ \mathrm{A} \approx 1.67\ \mathrm{A}$
• 串聯繞組額定電流： $I_{SE,\mathrm{rated}} = \frac{S_W}{V_{SE}} = \frac{200\ \mathrm{VA}}{12\ \mathrm{V}} = \frac{50}{3}\ \mathrm{A} \approx 16.67\ \mathrm{A}$

1. 計算二次側電壓 $V_H$

此變壓器連接為加極性升壓型自耦變壓器，一次側電壓加在共用繞組上，二次側電壓為共用繞組與串聯繞組電壓之相加： $V_H = V_L + V_{SE} = 120\ \mathrm{V} + 12\ \mathrm{V} = 132\ \mathrm{V}$

2. 計算自耦變壓器最大操作額定容量 $S_{\mathrm{auto}}$

二次側電流 $I_H$ 直接流經串聯繞組，為確保串聯繞組不超過額定溫升與電流，二次側最大電流上限為： $I_{H,\max} = I_{SE,\mathrm{rated}} = \frac{50}{3}\ \mathrm{A}$ 因此，自耦變壓器的最大操作額定視在功率為： $S_{\mathrm{auto}} = V_H \times I_{H,\max} = 132\ \mathrm{V} \times \frac{50}{3}\ \mathrm{A} = 2200\ \mathrm{VA} = 2.2\ \mathrm{kVA}$

3. 計算輸入電流 $I_L$ 之大小

在額定操作情況下，可由總容量守恆求得一次側輸入電流： $I_L = \frac{S_{\mathrm{auto}}}{V_L} = \frac{2200\ \mathrm{VA}}{120\ \mathrm{V}} = \frac{55}{3}\ \mathrm{A} = 18\frac{1}{3}\ \mathrm{A} \approx 18.33\ \mathrm{A}$

亦可由輸入節點之克希荷夫電流定律（KCL）驗算： $I_L = I_C + I_H = \frac{5}{3}\ \mathrm{A} + \frac{50}{3}\ \mathrm{A} = \frac{55}{3}\ \mathrm{A} \approx 18.33\ \mathrm{A}$

核心觀念

本題評量直流分激（並激）電動機之穩態運轉分析、轉矩—速度特性推導，以及電樞反應對電機特性的影響。核心概念與公式如下：

1. 分激電路電流關係： $I_L = I_a + I_f$ 其中 $I_L$ 為電源輸入總電流，$I_a$ 為電樞電流，$I_f = \frac{V_t}{R_f}$ 為分激場電流（$V_t$ 為端電壓，$R_f$ 為磁場電路總電阻）。

2. 反電動勢（Back EMF）方程式： $E_a = V_t - I_a R_a = K\phi \omega_m = K_n \phi n$ 其中 $R_a$ 為電樞電阻，$\phi$ 為每極磁通量，$\omega_m$ 為機械角速度（$\mathrm{rad/s}$），$n$ 為轉速（$\mathrm{rpm}$），$K = \frac{P Z}{2\pi A}$，$K_n = \frac{P Z}{60 A}$。

3. 感應轉矩（電磁轉矩）方程式： $\tau_{\text{ind}} = K\phi I_a = \frac{E_a I_a}{\omega_m}$ 其中 $\omega_m = \frac{2\pi n}{60}$。

4. 轉矩—速度特性關係式： 由 $I_a = \frac{\tau_{\text{ind}}}{K\phi}$ 代入反電動勢式，可得： $\omega_m = \frac{V_t}{K\phi} - \frac{R_a}{(K\phi)^2} \tau_{\text{ind}}$ 若忽略電樞反應，因端電壓 $V_t$ 與場電阻 $R_f$ 固定，磁通 $\phi$ 恆為定值，轉速隨轉矩增加呈微幅線性下降（負斜率直線）。

5. 電樞反應（Armature Reaction）之影響： 電樞電流產生的磁動勢會造成主磁極磁場扭曲（交磁效應）。在磁路飽和效應下，交磁會伴隨去磁效應（Demagnetizing Effect），使淨磁通量 $\phi$ 隨載流 $I_a$ 增加而下降。

解題方法

（1）忽略電樞反應時之運轉點計算與特性曲線

步驟一：求磁場電流 $I_f$ 與無載參數

• 磁場電流： $I_f = \frac{V_t}{R_f} = \frac{260}{52} = 5\ \mathrm{A}$
• 在無載（No-Load）狀態下，無載電樞電流通常極小可視為零（$I_{a0} \approx 0\ \mathrm{A}$），無載反電動勢： $E_{a0} = V_t - I_{a0}R_a \approx 260\ \mathrm{V}$
• 無載角速度： $\omega_{m0} = \frac{2\pi \times n_0}{60} = \frac{2\pi \times 1200}{60} = 40\pi \approx 125.66\ \mathrm{rad/s}$
• 磁通比例常數： $K\phi = \frac{E_{a0}}{\omega_{m0}} = \frac{260}{40\pi} = \frac{6.5}{\pi} \approx 2.069\ \mathrm{V\cdot s/rad}$

步驟二：當電動機輸入電流 $I_L = 100\ \mathrm{A}$ 時

1. 電樞電流： $I_{a1} = I_L - I_f = 100 - 5 = 95\ \mathrm{A}$
2. 反電動勢： $E_{a1} = V_t - I_{a1}R_a = 260 - 95 \times 0.06 = 260 - 5.7 = 254.3\ \mathrm{V}$
3. 轉速 $n_1$： 因磁通 $\phi$ 保持不變，$n \propto E_a$： $n_1 = n_0 \times \frac{E_{a1}}{E_{a0}} = 1200 \times \frac{254.3}{260} = \frac{15258}{13} \approx 1173.69\ \mathrm{rpm}$
4. 感應轉矩 $\tau_{\text{ind1}}$： $\tau_{\text{ind1}} = K\phi I_{a1} = \frac{6.5}{\pi} \times 95 = \frac{617.5}{\pi} \approx 196.56\ \mathrm{N\cdot m}$ (亦可由 $\tau_{\text{ind1}} = \frac{E_{a1}I_{a1}}{\omega_{m1}} = \frac{254.3 \times 95}{1173.69 \times \frac{2\pi}{60}} \approx 196.56\ \mathrm{N\cdot m}$ 驗證)

步驟三：當電動機輸入電流 $I_L = 200\ \mathrm{A}$ 時

1. 電樞電流： $I_{a2} = I_L - I_f = 200 - 5 = 195\ \mathrm{A}$
2. 反電動勢： $E_{a2} = V_t - I_{a2}R_a = 260 - 195 \times 0.06 = 260 - 11.7 = 248.3\ \mathrm{V}$
3. 轉速 $n_2$： $n_2 = n_0 \times \frac{E_{a2}}{E_{a0}} = 1200 \times \frac{248.3}{260} = \frac{14898}{13} = 1146\ \mathrm{rpm}$
4. 感應轉矩 $\tau_{\text{ind2}}$：

核心觀念

三相同步發電機並聯運轉（Parallel Operation of Synchronous Generators）是電力系統與電工機械的必考經典。當運轉中的發電機 $G_1$ 欲與待併發電機 $G_2$ 閉合開關 $S$ 並聯時，兩者的電壓瞬時值必須完全吻合，否則將在兩機的電樞繞組間形成極大的電位差，產生巨大的環流與電磁衝擊轉矩，導致設備燒毀或系統跳脫。

並聯運轉必須滿足的四項基本條件：

1. 電壓大小相等：$V_{1} = V_{2}$（有效值相等）。
2. 頻率相同：$f_{1} = f_{2}$。
3. 相序相同：例如兩者皆為正相序 $A-B-C$。
4. 相位相同：同名相的電壓在閉合瞬間相角差為零（$\delta_{1} = \delta_{2}$）。

在檢驗工具方面，交流電壓表僅能測量電壓的有效值大小，無法辨別相序與相位；而三燈泡法（Three-Lamp Method）​是利用燈泡兩端的電位差變化，直觀檢驗相序是否相同的經典方法，同時亦可用於監控頻率差與決定閉合開關的相位時機。

解題方法

（1）並聯必須具備的四個條件與三燈泡法檢驗項目

一、並聯前必須具備的四個條件：

1. 端電壓大小相等（$V_1 = V_2$）：若電壓大小不相等，兩機之間會產生無效環流（Reactive circulating current），使繞組額外發熱並佔用機組容量，降低整體功率因數。
2. 電壓頻率相同（$f_1 = f_2$）：若頻率不相等，兩機電壓向量將產生相對旋轉，使電位差週期性在零與兩倍電壓間變動，引起巨大的功率震盪與轉矩脈動。
3. 電壓相序相同（Phase Sequence）：若相序不同（如一機為 $A-B-C$，另一機為 $A-C-B$），相當於在某些相發生異相短路，將產生破壞性的巨大短路電流。
4. 同名相對應電壓相位相同（Phase Angle）：若在相位不同（相角差 $\Delta \delta \neq 0$）的瞬間投入開關，兩機端電壓存在瞬時電位差，將引發極大的突波衝擊電流與機械衝擊力，甚至造成轉子震動失步。

二、三燈泡法適合檢驗的條件：

• 三燈泡法最適合用來檢驗​「相序相同」。
• 原因分析：端電壓大小可藉由兩組交流電壓表量測確認，但一般電壓表無法判斷三相旋轉方向（相序）。三燈泡法可依據燈泡呈現「同時明滅」或「輪流明滅」的視覺特徵，明確判別兩部發電機的相序是否一致，此項功能無法由一般電壓表取代。

（2）三燈泡法電路圖與動作說明

三燈泡法中最具代表性且最常見的配置為​「全暗法」（Dark-Lamp Method），其電路連接與運作原理說明如下：

1. 電路圖（全暗法）

將三只額定電壓足夠的燈泡 $L_A$、$L_B$、$L_C$，分別跨接在三相並聯開關 $S$ 的同名相接點之間（即跨接於 $A_1-A_2$、$B_1-B_2$、$C_1-C_2$）：

 系統 / 運轉中發電機 G1 待併發電機 G2
 ─────────────────── ────────────
 A1 ───o o─────────────────────── A2
 │ S │
 └──(LA)──┘

 B1 ───o o─────────────────────── B2
 │ S │
 └──(LB)──┘

 C1 ───o o─────────────────────── C2
 │ S │
 └──(LC)──┘

2. 動作原理說明

燈泡兩端的端電壓為兩部發電機對應相的瞬時電位差： $v_{LA} = v_{A1} - v_{A2}$

核心觀念

本題評量三相感應電動機（Three-Phase Induction Motor）之基本運轉特性與參數計算，核心觀念包含：

1. 極數與同步轉速關係：感應電動機之定子旋轉磁場轉速稱為同步轉速 $n_s$，與電源頻率 $f$ 及極數 $P$ 的關係為： $n_s = \frac{120f}{P}\quad (\mathrm{rpm})$ 當電動機在電動機模式運轉時，轉子轉速 $n_r$ 必然略低於同步轉速（即 $n_r < n_s$）。
2. 轉差率（Slip, $s$）定義： $s = \frac{n_s - n_r}{n_s}$
3. 轉子電頻率（Rotor Frequency, $f_r$）：定子磁場以相對速度切割轉子導體所感應之電動勢頻率，與定子電源頻率 $f$ 的關係為： $f_r = s \cdot f$
4. 輸出軸轉矩（Shaft Torque, $T$）：電動機之額定機械輸出功率 $P_{\mathrm{out}}$ 與轉子機械角速度 $\omega_m$ 的關係為： $T = \frac{P_{\mathrm{out}}}{\omega_m} = \frac{P_{\mathrm{out}}}{\dfrac{2\pi n_r}{60}}$ 其中英制馬力與瓦特之換算為 $1\ \mathrm{hp} = 746\ \mathrm{W}$。

解題方法

1. 求此電動機的同步速度（$n_s$）

三相感應電動機在無載時，轉子轉速極度接近旋轉磁場的同步轉速。題目給定無載轉速為 $n_{\mathrm{nl}} = 1794\ \mathrm{rpm}$，滿載轉速為 $n_{\mathrm{fl}} = 1746\ \mathrm{rpm}$。 在電源頻率 $f = 60\ \mathrm{Hz}$ 下，不同極數對應的標準同步轉速如下：

• $P = 2$ 極：$n_s = \dfrac{120 \times 60}{2} = 3600\ \mathrm{rpm}$
• $P = 4$ 極：$n_s = \dfrac{120 \times 60}{4} = 1800\ \mathrm{rpm}$
• $P = 6$ 極：$n_s = \dfrac{120 \times 60}{6} = 1200\ \mathrm{rpm}$

因感應電動機運轉時 $n_r < n_s$，且轉速極接近 $1800\ \mathrm{rpm}$，故此電動機之極數必為 $P = 4$ 極。 代入公式推導： $n_s = \frac{120 \times 60}{4} = 1800\ \mathrm{rpm}$

2. 求此電動機在額定負載時的轉差率（$s_{\mathrm{fl}}$）

額定（滿載）轉速 $n_{\mathrm{fl}} = 1746\ \mathrm{rpm}$，代入轉差率公式： $s_{\mathrm{fl}} = \frac{n_s - n_{\mathrm{fl}}}{n_s} = \frac{1800 - 1746}{1800} = \frac{54}{1800} = 0.03 = 3\%$

3. 求在額定負載時的轉子電頻率（$f_r$）

定子電源頻率 $f = 60\ \mathrm{Hz}$，額定轉差率 $s = 0.03$： $f_r = s_{\mathrm{fl}} \cdot f = 0.03 \times 60\ \mathrm{Hz} = 1.8\ \mathrm{Hz}$