108 關務特考四等 電機工程 電工機械概要 考古題詳解

核心觀念

1. 三相變壓器單相等效電路與阻抗折算：

• 變壓器採 $Y-Y$ 連接時，相電壓 $V_{\phi}$ 與線電壓 $V_L$ 的關係為 $V_{\phi} = \frac{V_L}{\sqrt{3}}$。
• 單相匝數比（相電壓比）為： $a = \frac{V_{1\phi}}{V_{2\phi}} = \frac{V_{1L}}{V_{2L}}$
• 二次側負載阻抗折算至一次側的公式為： $Z_L' = a^2 Z_L$

2. 變壓器之損耗與運轉效率：

• 效率公式為： $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}} \times 100\% = \frac{P_{out}}{P_{out} + P_{loss}} \times 100\%$
• 本題未給定激磁支路參數（鐵損電阻 $R_c$ 或無載試驗數據），依國家考試命題慣例，激磁支路視為開路（忽略鐵損，即 $P_{\text{core}} = 0$），系統損耗僅計短路電阻產生之銅損（$P_{loss} = P_{cu}$）。

解題方法

步驟一：求匝數比 $a$ 變壓器為 $Y/Y$ 連接：

• 一次側線電壓 $V_{1L} = 11.4\,\mathrm{kV} = 11400\,\mathrm{V}$
• 二次側線電壓 $V_{2L} = 380\,\mathrm{V}$
• 匝數比（相電壓比）： $a = \frac{V_{1\phi}}{V_{2\phi}} = \frac{11400 / \sqrt{3}}{380 / \sqrt{3}} = \frac{11400}{380} = 30$

步驟二：將二次側負載阻抗折算至一次側 二次側每相負載阻抗為 $Z_L = 0.1 + j0.05\,\Omega$。折算至一次側之等效阻抗 $Z_L'$ 為： $Z_L' = a^2 Z_L = 30^2 \times (0.1 + j0.05) = 900 \times (0.1 + j0.05) = 90 + j45\,\Omega$

步驟三：求一次側每相總阻抗 已知變壓器每相短路阻抗為 $Z_{eq1} = 1 + j5\,\Omega$（折算至一次側），與負載阻抗串聯，得每相全迴路總阻抗 $Z_{\text{total}}$： $Z_{\text{total}} = Z_{eq1} + Z_L' = (1 + j5) + (90 + j45) = 91 + j50\,\Omega$

核心觀念

本題考查他激式直流電動機（Separately Excited DC Motor）之電樞迴路串聯電阻調速原理。解題關鍵在於掌握以下基本方程式與物理特性：

1. 他激式特性與磁通量： 他激式電動機的激磁繞組由獨立電源供電，在未特別變更激磁電壓或電阻的情況下，磁極磁通量 $\Phi$ 視為恆定（$\Phi = \text{常數}$）。

2. 感應反電動勢（Back EMF）公式： $E_a = K_a \Phi n$ 其中 $K_a$ 為電機常數，$n$ 為轉速（$\mathrm{rpm}$）。當磁通量 $\Phi$ 保持不變時，反電動勢與轉速成正比關係： $\frac{E_{a2}}{E_{a1}} = \frac{n_2}{n_1}$

3. 電磁轉矩（Electromagnetic Torque）與電樞電流： $T = K_t \Phi I_a$ 題目指明「驅動額定負載」且「無載轉矩忽略不計」，代表機械負載轉矩需求等於額定電磁轉矩（定轉矩負載特性）。在磁通量 $\Phi$ 恆定下，欲維持額定轉矩，電樞電流必須維持於額定值，即： $I_{a2} = I_{a1} = 20\,\mathrm{A}$

4. 電樞端電壓迴路方程式（KVL）： $V_t = E_a + I_a R_{total} = E_a + I_a (R_a + R_{ext})$ 其中 $V_t$ 為端電壓、$R_a$ 為電樞固有電阻、$R_{ext}$ 為外加串聯電阻。

解題方法

步驟一：計算額定運轉狀態下的反電動勢 $E_{a1}$

在額定運轉條件下（$V_t = 220\,\mathrm{V}$、$I_{a1} = 20\,\mathrm{A}$、$R_a = 0.2\,\Omega$）： $E_{a1} = V_t - I_{a1} R_a = 220 - (20 \times 0.2) = 220 - 4 = 216\,\mathrm{V}$

步驟二：求降速至 $1200\,\mathrm{rpm}$ 時的反電動勢 $E_{a2}$

因磁通量 $\Phi$ 保持不變，反電動勢與轉速成正比：

核心觀念

本題考查三相同步電動機（Three-Phase Synchronous Motor）之功率流程（Power Flow）與電磁功率計算。核心概念與公式如下：

1. 電動機額定容量定義： 依電機慣例，電動機之「額定容量」係指額定運轉時軸端輸出的機械功率 $P_{out}$（單位通常為 $\mathrm{W}$、$\mathrm{kW}$ 或 $\mathrm{HP}$）。
2. 輸入電功率與效率關係： 電動機自三相交流電源吸收之總輸入實功率 $P_{in}$ 與輸出功率 $P_{out}$、效率 $\eta$ 之關係式為： $P_{in} = \frac{P_{out}}{\eta}$
3. 三相實功率與線電流關係： 三相對稱平衡系統中，輸入實功率與線電壓 $V_L$、線電流 $I_L$ 及功率因數 $\cos\theta$ 之關係式為： $P_{in} = \sqrt{3} V_L I_L \cos\theta \implies I_L = \frac{P_{in}}{\sqrt{3} V_L \cos\theta}$
4. $Y$ 接定子繞組之電流關係： 定子繞組採星形（$Y$）接法時，電樞相電流 $I_a$ 等於線電流 $I_L$： $I_a = I_L$
5. 電樞銅損（定子銅損）： 三相電樞繞組每相電阻為 $R_a$，三相總銅損 $P_{cu}$ 為： $P_{cu} = 3 I_a^2 R_a$
6. 電磁功率（Electromagnetic Power, $P_{em}$）： 輸入電功率扣除定子電樞銅損後，藉由氣隙磁場感應傳遞至轉子的功率即為電磁功率（亦稱內生功率或發展功率 $P_{dev}$）。在未特別給定鐵損的情況下，依慣例忽略鐵損或視為旋轉損耗，其定義式為： $P_{em} = P_{in} - P_{cu} = P_{in} - 3 I_a^2 R_a$

解題方法

本題為三相交流電動機之功率轉換計算，按功率流程由「輸出 $\to$ 輸入 $\to$ 損耗 $\to$ 電磁功率」循序求解：

步驟一：計算三相總輸入電功率 $P_{in}$

題目給定額定輸出功率 $P_{out} = 10\,\mathrm{kW} = 10{,}000\,\mathrm{W}$，效率 $\eta = 92\% = 0.92$： $P_{in} = \frac{P_{out}}{\eta} = \frac{10{,}000}{0.92} \approx 10{,}869.57\,\mathrm{W}$

核心觀念

本題評量三相感應電動機之「功率潮流（Power Flow）」與「運轉效率計算」。核心公式與觀念包含：

1. 三相交流實功率輸入公式： 三相感應電動機自電源端所吸收之總實功率（輸入電功率）為： $P_{\mathrm{in}} = \sqrt{3} V_L I_L \cos\theta$ 式中 $V_L$ 為線電壓、$I_L$ 為線電流、$\cos\theta$ 為功率因數。

2. 感應電動機內部損失分類： 電動機運轉時之總損失 $P_{\mathrm{loss}}$ 為各項損耗之總和： $P_{\mathrm{loss}} = P_{\mathrm{cu1}} + P_{\mathrm{core}} + P_{\mathrm{cu2}} + P_{\mathrm{fw}} + P_{\mathrm{stray}}$

• 定子銅損（$P_{\mathrm{cu1}}$）
• 鐵損（$P_{\mathrm{core}}$）
• 轉子銅損（$P_{\mathrm{cu2}}$）
• 摩擦及風阻損（機械損，$P_{\mathrm{fw}}$）
• 雜散負載損（$P_{\mathrm{stray}}$，本題忽略不計）

3. 效率定義： 電動機效率 $\eta$ 為輸出機械功率與輸入電功率之比值： $\eta = \frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{in}}} \times 100\% = \frac{P_{\mathrm{in}} - P_{\mathrm{loss}}}{P_{\mathrm{in}}} \times 100\% = \left(1 - \frac{P_{\mathrm{loss}}}{P_{\mathrm{in}}}\right) \times 100\%$

解題方法

步驟一：計算輸入電功率 $P_{\mathrm{in}}$ 由題目已知條件：

• 線電壓 $V_L = 380\,\mathrm{V}$
• 定子電流（線電流）$I_L = 50\,\mathrm{A}$
• 功率因數 $\cos\theta = 0.8$

代入三相功率公式（取 $\sqrt{3} \approx 1.732$）： $P_{\mathrm{in}} = \sqrt{3} \times 380 \times 50 \times 0.8 = \sqrt{3} \times 15200 \approx 26326.4\,\mathrm{W}$ （若精準計算至小數點後兩位，$P_{\mathrm{in}} \approx 26327.17\,\mathrm{W}$）

步驟二：統整並計算電動機總損失 $P_{\mathrm{loss}}$ 將所有損失之單位統一換算為瓦特（$\mathrm{W}$）：

• 定子銅損 $P_{\mathrm{cu1}} = 1\,\mathrm{kW} = 1000\,\mathrm{W}$
• 轉子銅損 $P_{\mathrm{cu2}} = 500\,\mathrm{W}$
• 鐵損 $P_{\mathrm{core}} = 800\,\mathrm{W}$
• 摩擦及風阻損 $P_{\mathrm{fw}} = 400\,\mathrm{W}$
• 雜散損失 $P_{\mathrm{stray}} = 0\,\mathrm{W}$