112 關務特考四等 電機工程 電工機械概要 考古題詳解

核心觀念

串激式直流電動機的電樞與串激磁場繞組串聯，因此同一電流流過兩者。忽略旋轉損及雜散損時，電磁功率等於電磁轉換後的機械功率；磁路未飽和時，磁通與電流成正比。

常用關係式如下：

其中 $V$ 為端電壓、$E_a$ 為反電動勢。未外接串聯電阻時，令 $R_x=0$。

轉速為 $n$ 轉／分時，角速度為 $\omega=2\pi n/60$。

解題方法

(一) 電磁功率、電磁轉矩與電樞銅損

先由端電壓扣除電樞及串激磁場繞組的電阻壓降，求反電動勢：

因此電磁功率為：

轉速 $n=1000$ 轉／分，角速度為：

電磁轉矩為：

電樞繞組電阻消耗功率只計算 $R_a$ 的銅損：

核心觀念

本題考查自耦變壓器的容量換算與效率計算。自耦接法中，部分容量由繞組直接傳送，只有一部分容量經由電磁感應傳送，因此在相同繞組額定限制下，自耦變壓器的總容量會大於雙繞組變壓器的容量。

原雙繞組變壓器的額定容量為 $120\,\mathrm{kVA}$，兩側額定電流為

改接為 $720\,\mathrm{V}/480\,\mathrm{V}$ 自耦變壓器時，$720\,\mathrm{V}$ 由 $480\,\mathrm{V}$ 與 $240\,\mathrm{V}$ 繞組串聯相加而成；$480\,\mathrm{V}$ 低壓側直接跨接在原 $480\,\mathrm{V}$ 繞組兩端。

解題方法

（一）額定電流與額定容量

低壓側接在原 $480\,\mathrm{V}$ 繞組上，因此其額定電流為該繞組的額定電流：

串聯相加的 $240\,\mathrm{V}$ 繞組，其額定電流為 $500\,\mathrm{A}$。串聯段流過的電流等於高壓側電流，所以高壓側額定電流為

自耦變壓器額定容量為

亦可由低壓側計算：$480\times 750=360\,\mathrm{kVA}$。此處低壓側線電流 $750\,\mathrm{A}$ 由原 $480\,\mathrm{V}$ 繞組電流 $250\,\mathrm{A}$ 與串聯段的 $500\,\mathrm{A}$ 合成。

（二）自耦變壓器效率

低壓側負載操作於額定電壓與額定電流，負載視在功率為

核心觀念

本題考查三相鼠籠式感應電動機之：

• 滑差率與轉子電流頻率的關係： $f_2=sf_1$
• Y 接每相電壓： $V_\phi=\frac{V_L}{\sqrt{3}}$
• 每相等效電路阻抗與複數功率計算。
• 感應電動機轉矩： $T_e=\frac{P_{ag}}{\omega_s}$ 其中 $P_{ag}$ 為氣隙功率，$\omega_s$ 為同步角速度。

本題採用圖示之精確等效電路：$R_1+jX_1$ 串聯於並聯支路 $jX_m$ 與 $\left(\dfrac{R_2}{s}+jX_2\right)$。

（一）額定電壓、額定頻率運轉

1. 計算滑差率

已知：

$f_1=60\ \text{Hz},\qquad f_2=1.2\ \text{Hz}$

因此：

轉子等效電阻為：

2. 每相電壓

因為電動機為 Y 接：

定子串聯阻抗：

$Z_1=R_1+jX_1=0.4+j0.3\ \Omega$

轉子支路阻抗：

激磁支路阻抗：

$Z_m=jX_m=j10.7\ \Omega$

3. 並聯部分等效阻抗

代入：

因此輸入每相總阻抗：

其極座標形式為：

$Z_{\text{in}}\approx 14.471\angle 49.08^\circ\ \Omega$

4. 輸入相電流

$I_1=\frac{V_\phi}{Z_{\text{in}}}$

$I_1=\frac{219.39}{14.471\angle49.08^\circ}$

所以：

$\boxed{I_1\approx 15.16\angle -49.08^\circ\ \text{A}}$

亦即：

$\boxed{I_1\approx 9.92-j11.46\ \text{A}}$

Y 接時線電流等於相電流，因此此值亦為線電流。

5. 輸入總實功率與總虛功率

三相複功率為：

$S_{\text{in}}=3V_\phi I_1^*$

因此：

$P_{\text{in}}=3V_\phi |I_1|\cos49.08^\circ$

$\boxed{P_{\text{in}}\approx 16.3\ \text{kW}}$

總虛功率為：

$Q_{\text{in}}=3V_\phi |I_1|\sin49.08^\circ$

$\boxed{Q_{\text{in}}\approx 17.3\ \text{kvar}}$

因為感應支路為電感性，故虛功率為正，表示電動機吸收感性無效功率。

（二）線電壓為 $110\ \text{V}$ 時之啟動

1. 啟動時滑差率

啟動時轉子尚未轉動，因此：

$s=1$

轉子支路阻抗為：

核心觀念

本題考查三相同步發電機的同步轉速、功率因數與實功率，以及忽略電樞電阻時的相量關係。

• 四極、頻率為 $f$ 的同步機轉速： $n_s=\frac{120f}{P}\quad(\mathrm{r/min})$
• 三相額定容量與線電壓可求額定線電流： $S=\sqrt{3}V_LI_L$ Y 接時，$I_\phi=I_L$、$V_\phi=V_L/\sqrt{3}$。
• 功率因數為 $\cos\phi$ 時，三相輸出實功率： $P_{\mathrm{out}}=\sqrt{3}V_LI_L\cos\phi$
• 發電機忽略電樞電阻時，每相相量方程為： $\underline E_f=\underline V_\phi+jX_s\underline I_a$ 其中 $X_s=2\pi fL_s$。感性負載下，電流落後端電壓 $\phi$。

解題方法

先求轉速、額定電流與輸出功率

同步轉速為 $n_s=\frac{120(400)}{4}=12{,}000\ \mathrm{r/min}.$

額定線電流為

由於是 Y 接，$I_\phi=I_L=57.735\ \mathrm{A}$；相電壓為 $V_\phi=\frac{200}{\sqrt{3}}=115.47\ \mathrm{V}.$

功率因數角： $\phi=\cos^{-1}(0.9)=25.84^\circ.$

忽略電樞損失時，輸出實功率為

計算電磁轉矩

忽略電樞電阻與其損失時，電磁轉換功率等於輸出實功率。機械角速度為

因此電磁轉矩為