108 關務特考四等 電機工程 基本電學 考古題詳解

核心觀念

本題考查重疊定理：在線性電路中，某一支路的電壓或電流，等於各獨立電源分別單獨作用時所產生的電壓或電流代數和。

計算時，將未作用的理想電壓源以短路取代；電阻仍保留。依圖中極性，$V_2$ 的正端在上、負端在下。

解題方法

分別計算 $V_A$ 與 $V_B$ 單獨作用時，$R_2$ 兩端的電壓，再將兩者相加。

1. 僅 $V_A=10\text{ V}$ 作用

將理想電壓源 $V_B$ 短路後，$R_3$ 與 $R_2$ 並聯：

此並聯電阻與 $R_1$ 串聯，故依分壓定則：

2. 僅 $V_B=16\text{ V}$ 作用

將理想電壓源 $V_A$ 短路後，$R_1$ 與 $R_2$ 並聯：

核心觀念

這題考查一階 RC 電路的時間常數與暫態響應。電容電壓不可突變，且時間常數為

其中 $R_{\text{th}}$ 是從電容兩端看入、將獨立電壓源設為短路後的等效電阻。題目不是選擇題，沒有選項需要逐一分析。

解題方法

先求電容端的戴維寧等效電路。將 $V_{CC}$ 短路後，從 $C_3$ 兩端看入，$R_3$ 與 $R_2+R_1$ 並聯，因此

時間常數為

電容穩態時視為開路，電流流經 $R_1、R_2、R_3$ 串聯，所以

電容電壓的最終值為 $R_3$ 上的電壓：

核心觀念

本題旨在測驗實效電感與電容並聯電路（RL-C 並聯諧振電路）​之交流穩態分析與共振特性，核心觀念如下：

1. 並聯共振定義：當外加交流電源使電路之總導納 $Y$（或等效阻抗 $Z$）的虛部為零時，電路呈現純電阻性，功率因數 $PF = 1$，此時的頻率即為共振頻率 $f_r$。
2. 實效電感的導納轉換：電感器含有繞線電阻 $R$，該支路阻抗為 $Z_L = R + j\omega L$。透過有理化求其導納 $Y_L$，可分離出等效並聯電導 $G$ 與等效並聯感納 $B_L$。
3. 共振角頻率公式：由總虛部導納等於零（感納等於容納）推導而得： $\omega_r = \sqrt{\frac{1}{LC} - \left(\frac{R}{L}\right)^2}\ \ (\mathrm{rad/s}), \quad f_r = \frac{\omega_r}{2\pi}\ \ (\mathrm{Hz})$
4. 電感品質因數（Quality Factor）：在共振頻率下，電感器之感抗與其繞線電阻之比值： $Q = \frac{\omega_r L}{R} = \frac{X_L}{R}$

解題方法

(一) 求共振頻率 $f_r$

1. 建立電路之總導納式 $Y$： 電感支路阻抗為 $Z_L = R + j\omega L$，電容支路導納為 $Y_C = j\omega C$。 電路總導納 $Y$ 為兩並聯支路導納之和： $Y = Y_L + Y_C = \frac{1}{R + j\omega L} + j\omega C$ 將第一項分子分母同乘共軛複數 $(R - j\omega L)$ 進行有理化： $Y = \frac{R - j\omega L}{R^2 + (\omega L)^2} + j\omega C = \frac{R}{R^2 + \omega^2 L^2} + j\left( \omega C - \frac{\omega L}{R^2 + \omega^2 L^2} \right)$

2. 令導納虛部等於零（共振條件 $\mathrm{Im}(Y) = 0$）： $\omega_r C - \frac{\omega_r L}{R^2 + \omega_r^2 L^2} = 0$ 由於 $\omega_r \neq 0$，同除以 $\omega_r$ 後整理得： $C = \frac{L}{R^2 + \omega_r^2 L^2} \implies R^2 + \omega_r^2 L^2 = \frac{L}{C}$ $\omega_r^2 L^2 = \frac{L}{C} - R^2 \implies \omega_r^2 = \frac{1}{LC} - \frac{R^2}{L^2}$ 取正根得共振角頻率： $\omega_r = \sqrt{\frac{1}{LC} - \left(\frac{R}{L}\right)^2}$

3. 代入數值計算： 已知 $L = 100\ \mathrm{mH} = 0.1\ \mathrm{H}$，$R = 1\ \Omega$，$C = 1\ \mu\mathrm{F} = 10^{-6}\ \mathrm{F}$： $\frac{1}{LC} = \frac{1}{0.1 \times 10^{-6}} = 10^7\ \mathrm{rad^2/s^2}$

核心觀念

本題旨在測驗交流電路中鐵心線圈之等效參數的物理意義與基本計算，核心在於釐清「直流電阻」與「有效電阻（交流電阻）」的差異，以及「交流阻抗」的定義：

1. 阻抗大小（$Z$）： 在交流穩態電路中，線圈兩端的端電壓有效值 $V$ 與流經線圈的電流有效值 $I$ 之比值即為阻抗的大小： $Z = \frac{V}{I}$

2. 有效電阻（$R_{eff}$，又稱交流電阻 $R_{ac}$）： 線圈通入交流電時，消耗的總實功率（有功功率）$P$ 不僅包含導線電阻所造成的銅損（$I^2 R_{dc}$），還包含鐵心內的鐵損（包含磁滯損與渦流損）及集膚效應造成的附加損耗。 電機工程上將這些損耗等效為一純電阻消耗的功率，依定義可得： $P = I^2 R_{eff} \implies R_{eff} = \frac{P}{I^2}$ 因此，含鐵心線圈的有效電阻必定大於其純直流歐姆電阻（$R_{eff} > R_{dc}$）。

解題方法

步驟一：計算線圈阻抗 $Z$

題目已知交流電源電壓 $V = 120\ \mathrm{V}$，電流 $I = 1.2\ \mathrm{A}$，直接代入交流阻抗大小定義式： $Z = \frac{V}{I} = \frac{120}{1.2} = 100\ \Omega$

步驟二：計算線圈有效電阻 $R_{eff}$

已知量測到的總實功率 $P = 35\ \mathrm{W}$，電流 $I = 1.2\ \mathrm{A}$，依據有效電阻的功率定義式：