111 關務特考四等 電機工程 基本電學 考古題詳解

核心觀念

本題考查直流電阻網路的串聯、並聯化簡，以及端點等效電阻的定義。

• 串聯電阻： $R_{\text{eq}}=R_1+R_2+\cdots$

• 並聯電阻： $\frac{1}{R_{\text{eq}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\cdots$

由圖可見，兩條斜線交叉處沒有接點，因此兩條斜支路彼此不相接。

解題方法

設經過左側 $10\Omega$ 電阻後的上方節點為節點 $c$，右側上方節點為節點 $d$，下方導線皆為同一節點。

1. 化簡節點 $c$ 與節點 $d$ 之間的電阻

節點 $c$ 與節點 $d$ 之間有：

• 上方 $1\Omega$
• 斜向 $6\Omega$

兩者並聯，因此

2. 化簡節點 $d$ 到下方公共節點的電阻

節點 $d$ 到下方公共節點有三條並聯支路：

• $4\Omega$
• $12\Omega$
• 右側 $1\Omega$ 與 $5\Omega$ 串聯

右側支路為

因此

故

核心觀念

本題考查直流電路的節點電壓法與基爾霍夫電流定律（KCL）。

以下方公共導線為參考接地點，則：

• 左側 $50\text{ V}$ 電源上端電位為 $50\text{ V}$
• 右側 $40\text{ V}$ 電源上端電位為 $40\text{ V}$
• 設節點 $a$ 電壓為 $V_a$
• 設節點 $b$ 電壓為 $V_b$

題目要求：

解題方法

採用節點電壓法，分別對節點 $a$、$b$ 套用KCL。

1. 節點 $a$

流出節點 $a$ 的電流總和為零：

整理得：

因為：

所以：

全式乘以 $24$：

2. 節點 $b$

電流源方向由接地端流向節點 $b$，因此有 $8\text{ A}$ 電流注入節點 $b$。

由KCL：

整理：

核心觀念

直流穩態時：

• 電容器視為開路，故電容器支路電流為 $0$。
• 電感器視為短路，故電感器兩端電壓為 $0$。
• 電容器儲能：

$W_C=\frac{1}{2}CV_C^2$

• 電感器儲能：

$W_L=\frac{1}{2}LI_L^2$

• 電源輸出功率：

$P_{\text{out}}=VI$

解題方法

1. 計算電感器電流 $I_L$

電容器在直流穩態呈開路，因此中間的 $4\Omega$ 電阻支路沒有電流。

電感器在直流穩態呈短路，因此右側支路只剩下 $5\Omega$ 電阻。整個主迴路等效為 $1\Omega$ 與 $5\Omega$ 串聯：

迴路電流為：

方向與圖示箭頭相同，向下流經電感器。

2. 計算電容器電壓 $V_C$

由於 $4\Omega$ 電阻支路沒有電流，其電壓降為：

因此電容器上端電壓等於 $1\Omega$ 電阻右端節點電壓。

$1\Omega$ 電阻上的電壓降為：

所以電容器電壓為：

其極性與圖示相同，上端為正。

儲能與電源輸出功率

1. 電容器儲能

圖中：

因此：

核心觀念

本題考查：

1. 平衡三相四線式星形負載之相電壓、線電壓關係 $V_{\phi}=\frac{V_L}{\sqrt{3}}$
2. 阻抗、相量電流與複數功率 $\boldsymbol{S}=3\boldsymbol{V}_{\phi}\boldsymbol{I}_{\phi}^{*}$
3. 功率因數
4. 二瓦特計法之電表接線與讀值
5. 線路電抗造成的電壓降 $\boldsymbol{V}_{an}=\boldsymbol{V}_{a'n'}+j1\boldsymbol{I}_a$

負載每相阻抗為：

$Z_{\phi}=3+j3=3\sqrt{2}\angle45^\circ\ \Omega$

（一）三相負載吸收的複數功率與功率因數

1. 負載相電壓

負載側線電壓有效值為 $381\text{ V}$，因此：

$V_{\phi}=\frac{381}{\sqrt{3}}\approx220\text{ V}$

取 $a$ 相負載相電壓為參考相量：

$\boldsymbol{V}_{a'n'}=220\angle0^\circ\text{ V}$

2. 負載相電流

因此：

$\boldsymbol{I}_a=51.85\angle-45^\circ\text{ A}$

負載為平衡三相，三相電流大小相同。

3. 複數功率

每相複數功率為：

$S_{\phi}=\frac{V_{\phi}^{2}}{Z_{\phi}^{*}}$

故三相總複數功率：

$\boldsymbol{S}=3S_{\phi}$

$\boxed{\boldsymbol{S}=24200+j24200\text{ VA}}$

亦可寫成極座標形式：

$\boxed{\boldsymbol{S}=34.22\angle45^\circ\text{ kVA}}$

其中：

$P=24.20\text{ kW}$

$Q=24.20\text{ kvar}$

因為 $Q>0$，負載呈感性。

4. 功率因數

阻抗角為：

$\phi=45^\circ$

因此功率因數：

$\text{pf}=\cos45^\circ=0.707$

感性負載電流落後電壓，所以：

$\boxed{\text{功率因數}=0.707\text{ 落後}}$

（二）M1～M6 的種類與讀值

1. 電表種類判斷

依照圖中接線：

• M1、M2：電流線圈串聯在線路中，電壓線圈跨接兩條線，為瓦特表。
• M3、M4：串聯於線路中，為電流表。
• M5、M6：並聯跨接兩條線，為電壓表。

因此：

2. M3、M4 電流表讀值

平衡負載之線電流為：

$I_L=I_{\phi}=51.85\text{ A}$

所以：

$\boxed{M3=M4=51.85\text{ A}}$

3. M5、M6 電壓表讀值

M5、M6 均跨接負載側兩相線，因此量得線電壓：

$\boxed{M5=M6=381\text{ V}}$

4. M1、M2 瓦特表讀值

二瓦特計法中：

$W_1=V_LI_L\cos(30^\circ+\phi)$

$W_2=V_LI_L\cos(30^\circ-\phi)$

其中：

$V_L=381\text{ V},\qquad I_L=51.85\text{ A},\qquad \phi=45^\circ$

所以：

$M1=381(51.85)\cos75^\circ$

$\boxed{M1\approx5.11\text{ kW}}$

另一只瓦特表：